Приклад 4. Із колоди з 36 карт навмання виймають 3 карти. Яка ймовірність того, що серед них буде точно один туз? Три карти з 36 можна вибрати способами. Одного туза можемо вибрати способами, при цьому дві інші карти можна вибрати способами. Отже, m=· , n=, і ПАРАГРАФ2 Приклад 1. В партії з 20 деталей є 16 стандартних. Знайти ймовірність того, що серед навмання взятих трьох деталей виявиться принаймні одна стандартна. Розв’язання. Нехай подія : виявиться точно одна стандартна; подія: виявиться дві стандартні; подія: виявиться три стандартні деталі. Ці події попарно несумісні. Нехай подія: серед навмання взятих трьох деталей виявиться принаймні одна стандартна. Отже, і за формулою (3) маємо . Обчислимо ймовірності подій ,,: ; ; . Отже, . Інший спосіб. При розв’язуванні задач часто буває зручно переходити до протилежної події. Так, якщо подія : не виявиться жодної стандартної деталі, то є протилежною до події , і події , ,, утворюють повну групу попарно несумісних подій. Отже, за формулою (2) . Обчисливши ймовірність , отримаємо . Приклад 2. Підкидають гральний кубик. Нехай подія (випала парна кількість очок), подія (випала кількість очок, більше трьох). Між цими подіями є зв’язок. Дійсно, зводиться до трьох елементарних подій: випало 4, 5, 6 очок. Якщо подія наступила, то події сприятимуть дві елементарні події: випало 4 або 6 очок. Отже, . Приклад 3. Ймовірності появи кожної з двох незалежних подій і задані і . Знайти ймовірність появи тільки однієї з цих подій. Розв’язання. Введемо позначення , , , . Нехай подія : поява тільки події ; подія : поява тільки події . Події і несумісні, отже . Події і незалежні, отже незалежні і події , , тому , . Отже, . Приклад 4. Ймовірність того, що при одному пострілі стрілець попаде в “десятку”, дорівнює 0,6. Скільки пострілів він повинен зробити, щоб з ймовірністю не менше 0,8 він попав в “десятку” принаймні один раз? Розв’язання. За умовами задачі 0,6: 0,4. . За формулою (13) або . Остання нерівність виконується для . Отже, стрілець повинен зробити не менше двох пострілів. Приклад 5. Два стрільці стріляють по мішені незалежно один від одного по одному разу. Ймовірність влучення в ціль для першого стрільця ; для другого - . В мішені виявлено одне влучення. Знайти ймовірність того, що влучив перший стрілець. Розв’язання. Подія : в мішені виявлено одне влучення. Розглянемо такі гіпотези: : обидва не влучили; : обидва влучили; - перший влучив, другий не влучив; - другий влучив, перший не влучив. Обчислимо ймовірності цих гіпотез: =. =. Контроль: +++=0,08+0,48+0,12+0,32=1. Оскільки умовні ймовірності =0, =0, =1, =1, то за формулою повної ймовірності (16) ==0,44. Отже, шукана ймовірність . ПАРАГРАФ3 . Приклад 1. Гральний кубик підкидають тричі. Яка ймовірність того, що при цьому двічі випаде 6 очок? Розв’язання. Нехай подія : при одному кидку випаде 6 очок. Ймовірність , відповідно . Тут Отже, за формулою (1) = Цей результат потрібно трактувати так: якщо такий дослід проводити багато разів, то в середньому в 5 випадках із 72 грань з 6 очками випаде рівно два рази. Приклад 2. Підприємство випускає 85% продукції вищого гатунку. Знайти найімовірніше число виробів вищого гатунку в партії із 150 виробів. Розв’язання. Тут Із нерівності (7) маємо
або . Звідки Приклад 3. Яка ймовірність того, що подія наступить рівно 80 разів в 400 спробах, якщо ймовірність появи події в кожній спробі Розв’язання. Тут Обчислимо та : ==8. За таблицею значень функції знаходимо Отже, Підрахунок за формулою Бернуллі дає Приклад 4. На підприємстві ймовірність випуску бракованих виробів дорівнює Перевіряють 500 виробів. Яка ймовірність того, що серед них бракованих буде від 10 до 20? Розв’язання. Тут Обчислимо = Отже, за формулою (10) маємо Приклад 5. Верстат штампує деталі. Ймовірність того, що виготовлена деталь бракована, дорівнює 0,01. Яка ймовірність того, що серед 200 деталей виявиться 4 бракованих? Розв’язання. Тут За формулою (13) отримаємо Приклад 6. На телефонну станцію протягом однієї години поступає в середньому 30 викликів. Яка ймовірність того, що протягом хвилини поступить не більше двох викликів? Розв’язання. Враховуючи, що 1 год=60 хв, . Шукана ймовірність ++=++=0,98. ПАРАГРАФ4 Приклад 1. При трьох підкиданнях монети в.в.- число появ герба – може приймати значення із відповідними ймовірностями, які обчислимо за формулою Бернуллі
0 1 2 3
Р
Побудуємо функцію розподілу При при при при при . ПАРАГРАФ5 Приклад 1. Дискретна випадкова величина задана рядом розподілу
