§ 8. Числові характеристики системи випадкових величин. 1. Моменти Введемо поняття початкових і центральних моментів системи. Початковим моментом порядку системи називається математичне сподівання добутку –го степеня випадкової величини і –го степеня випадкової величини = (1) Початкові моменти обчислюються за формулами = (2) для системи двох дискретних випадкових величин, де ймовірність того, що система прийме значення . Для системи двох неперервних випадкових величин =. (3) Найбільш вживані початкові моменти першого порядку ==, ==. Це математичні сподівання складових системи, вони визначають координати точки – центру розсіювання системи на площині . Формули для обчислення математичного сподівання =, = (4) для системи двох дискретних випадкових величин; =, = (5) для системи двох неперервних випадкових величин Центральним моментом порядку системи називається математичне сподівання добутку –го степеня і –го степеня відповідних центрованих випадкових величин =. (6) Центральні моменти обчислюються за формулами = (7) для системи двох дискретних випадкових величин; = (8) для системи двох неперервних випадкових величин. Найбільш вживані центральні моменти другого порядку , , . Моменти ===, і === є не чим іншим, як дисперсіями складових системи. Дисперсії обчислюються за відомими робочими формулами , , де , обчислюються за формулами (4) або (5), а =, або = (9) і аналогічно для . 2. Момент зв’язку. Коефіцієнт кореляції. Важливу роль у дослідженнях систем відіграє мішаний центральний момент другого порядку , який називається моментом зв’язку або кореляційним моментом (або коваріацією). Позначимо його ==. (10) Легко вивести робочу формулу для обчислення кореляційного моменту = (11) де обчислюється за формулами для дискретних випадкових величин (12) і для неперервних випадкових величин. (13) Зауважимо, що може бути додатним або від’ємним числом. Оскільки , , , то для системи вводять кореляційну матрицю , (14) яка є симетричною матрицею. Момент зв’язку характеризує взаємний вплив випадкових величин – складових системи. Для оцінки цього впливу використовують безрозмірну величину – коефіцієнт кореляції випадкових величин та (15) Покажемо, що значення коефіцієнта кореляції лежать в межах . Для цього представимо коефіцієнт кореляції у вигляді математичного сподівання добутку двох нормованих величин =, =: == (16) Оскільки ==1, ==1, то з формули (16), враховуючи властивості математичного сподівання , маємо =+=, або . Тобто , звідки , або , звідки . Об’єднавши ці нерівності, отримаємо . (17) Коефіцієнт кореляції досягає граничних значень –1 і 1 тільки у випадку лінійної функціональної залежності між величинами та . 3.Корельованість і незалежність випадкових величин Дві випадкові величини називаються некорельованими, якщо для них ; і корельованими, якщо . Якщо випадкові величини незалежні, то вони і некорельовані, тобто їх коефіцієнт кореляції . Дійсно, нехай та незалежні, тоді . Отже,
В цьому випадку подвійний інтеграл перетворюється в добуток двох інтегралів, кожний з яких дорівнює нулеві, оскільки вони представляють математичні сподівання центрованих випадкових величин. Таким чином , а з ним і . Обернене твердження, взагалі кажучи, невірне: може існувати система залежних випадкових величин, для якої коефіцієнт кореляції дорівнює нулеві. Таким чином, якщо та незалежні, то вони і некорельовані; але із некорельованості випадкових величин не випливає факт їх незалежності. У зв’язку з поняттям залежності двох випадкових величин відзначимо таку властивість для математичного сподівання їх добутку (18) Дійсно, за означенням . Перетворимо цей вираз
Звідки . Як ми вже знаємо, для незалежних випадкових величин Покажемо, що дисперсія суми двох корельованих випадкових величин . Дійсно, за означенням дисперсії і враховуючи (18), маємо
Приклад 1. За умов прикладу 3 §7 побудувати кореляційну матрицю системи. Розв’язання. Знайдемо і за формулами (4): ;