§ 8. Числові характеристики системи випадкових величин.
1. Моменти
Введемо поняття початкових і центральних моментів системи.
Початковим моментом порядку системи називається математичне сподівання добутку –го степеня випадкової величини і –го степеня випадкової величини
= (1)
Початкові моменти обчислюються за формулами = (2)
для системи двох дискретних випадкових величин,
де ймовірність того, що система прийме значення .
Для системи двох неперервних випадкових величин =. (3)
Найбільш вживані початкові моменти першого порядку ==, ==.
Це математичні сподівання складових системи, вони визначають координати точки – центру розсіювання системи на площині .
Формули для обчислення математичного сподівання =, = (4)
для системи двох дискретних випадкових величин;
=, = (5)
для системи двох неперервних випадкових величин
Центральним моментом порядку системи називається математичне сподівання добутку –го степеня і –го степеня відповідних центрованих випадкових величин
=. (6)
Центральні моменти обчислюються за формулами
= (7)
для системи двох дискретних випадкових величин;
= (8)
для системи двох неперервних випадкових величин.
Найбільш вживані центральні моменти другого порядку , , .
Моменти ===,
і === є не чим іншим, як дисперсіями складових системи. Дисперсії обчислюються за відомими робочими формулами
, ,
де , обчислюються за формулами (4) або (5), а
=, або = (9)
і аналогічно для .
2. Момент зв’язку. Коефіцієнт кореляції.
Важливу роль у дослідженнях систем відіграє мішаний центральний момент другого порядку , який називається моментом зв’язку або кореляційним моментом (або коваріацією). Позначимо його ==. (10)
Легко вивести робочу формулу для обчислення кореляційного моменту
= (11)
де обчислюється за формулами

для дискретних випадкових величин (12)
і
для неперервних випадкових величин. (13)
Зауважимо, що може бути додатним або від’ємним числом.
Оскільки , , , то для системи вводять кореляційну матрицю
, (14)
яка є симетричною матрицею.
Момент зв’язку характеризує взаємний вплив випадкових величин – складових системи. Для оцінки цього впливу використовують безрозмірну величину – коефіцієнт кореляції випадкових величин та
(15)
Покажемо, що значення коефіцієнта кореляції лежать в межах . Для цього представимо коефіцієнт кореляції у вигляді математичного сподівання добутку двох нормованих величин
=, =:

=
= (16)
Оскільки ==1, ==1, то з формули (16), враховуючи властивості математичного сподівання , маємо
=

+
=,
або

.
Тобто , звідки , або , звідки . Об’єднавши ці нерівності, отримаємо . (17)
Коефіцієнт кореляції досягає граничних значень –1 і 1 тільки у випадку лінійної функціональної залежності між величинами та .
3.Корельованість і незалежність випадкових величин
Дві випадкові величини називаються некорельованими, якщо для них ;
і корельованими, якщо .
Якщо випадкові величини незалежні, то вони і некорельовані, тобто їх коефіцієнт кореляції . Дійсно, нехай та незалежні, тоді
.
Отже,


В цьому випадку подвійний інтеграл перетворюється в добуток двох інтегралів, кожний з яких дорівнює нулеві, оскільки вони представляють математичні сподівання центрованих випадкових величин. Таким чином , а з ним і .
Обернене твердження, взагалі кажучи, невірне: може існувати система залежних випадкових величин, для якої коефіцієнт кореляції дорівнює нулеві.
Таким чином, якщо та незалежні, то вони і некорельовані; але із некорельованості випадкових величин не випливає факт їх незалежності.
У зв’язку з поняттям залежності двох випадкових величин відзначимо таку властивість для математичного сподівання їх добутку
(18)
Дійсно, за означенням
.
Перетворимо цей вираз

Звідки .
Як ми вже знаємо, для незалежних випадкових величин
Покажемо, що дисперсія суми двох корельованих випадкових величин
.
Дійсно, за означенням дисперсії і враховуючи (18), маємо




Приклад 1. За умов прикладу 3 §7 побудувати кореляційну матрицю системи.
Розв’язання.
Знайдемо і за формулами (4):
;