§9.Числові характеристики функції випадкових величин 1. Математичне сподівання і дисперсія функції випадкової величини. В задачах, пов’язаних з оцінкою точності роботи автоматичних систем, тощо, доводиться розглядати функції однієї або декількох випадкових величин. В найпростішому випадку задача ставиться таким чином: на вхід деякого технічного пристрою поступає випадковий сигнал , і технічний пристрій, виконуючи над деяке функціональне перетворення , дає на виході випадкову величину , яка є функцією від (1) Розглянемо таку задачу: за відомим законом розподілу випадкового аргумента знайти числові характеристики функції , не знаходячи закону розподілу . Нехай дискретна випадкова величина, задана рядом розподілу
X
…
P
…
де , (); , тоді і функція теж дискретна випадкова величина. Складемо таблицю значень величини і ймовірностей цих значень
Y
…
P
…
Ця таблиця не є рядом розподілу , оскільки деякі значення можуть повторюватися. Проте математичне сподівання можна визначати за формулою (2) Дійсно, величина (2) не може змінитися від того. що під знаком суми деякі члени будуть наперед об’єднані , а порядок членів змінений. Міркуючи аналогічно, отримаємо формулу для обчислення дисперсії
або робочу формулу (3) Якщо аргумент - неперервна випадкова величина, то і функція теж неперервна випадкова величина, математичне сподівання якої визначається за формулою (4) якщо інтеграл (4) збігається, а дисперсія або - (5) де початковий момент другого порядку . Таким чином, для знаходження числових характеристик функції досить знати закон розподілу її аргумента. Зауваження. Надалі будемо записувати тільки вираз для початкового моменту другого порядку, оскільки дисперсія обчислюється за робочою формулою- Приклад 1. Задано закон розподілу випадкового аргументу X -2 -1 0 1 2
P 0,15 0,15 0,4 0,12 0,18
Знайти математичне сподівання і дисперсію функції , не знаходячи її закону розподілу. Розв’язання. Можливі значення функції , , , , . Складаємо таблицю можливих значень функції та ймовірностей цих значень
4 1 0 1 4
P 0,15 0,15 0,4 0,12 0,18
Отже,
4,95-. Приклад 2. Задана щільність розподілу аргументу . Знайти математичне сподівання і дисперсію функції , не знаходячи її закону розподілу . Розв’язання. . Отже, =. ==. = В деяких випадках для знаходження числових характеристик функції не потрібно навіть знати закону розподілу аргумента, а тільки його числові характеристики. 1.1. Математичне сподівання і дисперсія лінійної функції. Нехай випадкові величини та зв'язані між собою лінійно: , (6) де – невипадкові величини, причому відомі і . Враховуючи властивості математичного сподівання і дисперсії, отримаємо , (7) тобто математичне сподівання лінійної функції є лінійною функцією математичного сподівання її аргументу, а дисперсія = (8) 1.2. Математичне сподівання і дисперсія мінімальної із двох величин: випадкової і невипадкової . Випадкова величина як мінімальна із двох величин зв'язана з залежністю ==. (9) Знайдемо її математичне сподівання і дисперсію. Нехай - неперервна випадкова величина, щільність розподілу якої . За формулою (4) знайдемо математичне сподівання =+=+ (10) де - функція розподілу випадкової величини . Початковий момент другого порядку =+=+ (11) Нехай - дискретна випадкова величина, яка приймає значення , з відповідними ймовірностями . За формулою (2) знайдемо математичне сподівання + (12) де - номер максимального з можливих значень випадкової величини , яке не більше : . Початковий момент другого порядку + (13) Приклад 1. Напруга , яка подається на вхід обмежувача, розподілена за нормальним законом з параметрами і . Обмежувач працює за принципом =. Знайти математичне сподівання і дисперсію напруги на виході обмежувача. Ввести змінну Приклад 2. В обчислювальний центр за зміну надходить випадкове число інформаційних документів, яке розподілене за законом Пуассона з параметром . Число інформаційних документів, що обробляються в ОЦ за зміну, не може перевищувати (ціле число): =. Знайти математичне сподівання і дисперсію випадкової величини . (Е.С.Вентцель, Л.А.Овчаров. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. - М.: Наука.- 1988.-480 с.) 1.3. Математичне сподівання і дисперсія максимальної із двох величин: випадкової і невипадкової