Метод Ейлера
Однокрокові методи призначені для розв’язування диференціальних рівнянь першого порядку виду
(1)
Метод Ейлера є найпростішим методом розв’язування задачі Коші. Він дозволяє інтегрувати ДР першого порядку. Точність його не велика.
- настільки мале, що значення
функції мало відрізняється від
лінійної функції
- тангенс кута нахилу дотичної в

x
h
Тобто крива заміняється дотичними. Рух відбувається не по інтегральній кривій, а по відрізках дотичної .
Метод Ейлера базується на розкладі функції в ряд Тейлора в околі точки

(2)
Якщо мале, то, члени розкладу, що містять в собі і т.д. є малими високих порядків і ними можна знехтувати.
Тоді (3)
Похідну знаходимо з рівняння (1), підставивши в нього початкову умову. Таким чином можна знайти наближене значення залежної змінної при малому зміщенні від початкової точки. Цей процес можна продовжувати, використовуючи співвідношення.
,
роблячи як завгодно багато кроків.
Похибка методу має порядок , оскільки відкинуті члени, що містять в другій і вище степенях.
Недолік методу Ейлера - нагромадження похибок, а також збільшення об’ємів обчислень при виборі малого кроку з метою забезпечення заданої точності.
В методі Ейлера на всьому інтервалі тангенс кута нахилу дотичної приймається незмінним і рівним . Очевидно, що це призводить до похибки, оскільки кути нахилу дотичної в точках та різні. Точність методу можна суттєво підвищити, якщо покращити апроксимацію похідної.
Це можна зробити, якщо, наприклад, використати середнє значення похідної на початку та в кінці інтервалу. В т.з. модифікованому методі Ейлера (метод Ейлера з перерахунком) спочатку обчислюється значення функції в наступній точці за звичайним методом Ейлера.
(4)
Воно використовується для обчислення наближеного значення похідної в кінці інтервалу .
Обчисливши середнє між цим значенням похідної та її значенням на початку інтервалу, знайдемо більш точне значення :
(5)
Цей прийом ілюструється на рисунку.


xn h/2 xn+1
Принцип модифікованого методу можна пояснити інакше. Якщо в розкладі в ряд Тейлора зберегти член з
(6)
Замість другої похідної можна використати наближення кінцевою різницею
(7)

. Підставивши (7) в (6) одержимо
(8)
Що співпадає по формі з (5). Відмінність між (8) та (5): в (5) точне значення похідної замінимо на . Похибка при такій заміні має порядок .
Відмітимо, що за підвищення точності доводиться платити додатковими затратами машинного часу.
В обчислювальній практиці використовується також метод Ейлера-Коші з ітераціями:
знаходиться грубе початкове наближення (за звичайним методом Ейлера)

будується ітераційний процес
(9)
Ітерації продовжують до тих пір, доки два послідовні наближення не співпадуть з заданою похибкою . Якщо після декількох ітерацій співпадання нема, то потрібно зменшити крок .

Тобто в модифікованому методі Ейлера, в методі Ейлера-Коші з ітераціями спочатку (на першому етапі) знаходиться наближення для , а потім воно вже коригується за формулами (5) або (9).