Історія чисельних методів.
Можна виділити три основні періоди.
Перший почався (3 ÷ 4) тисячі років назад. Він був пов’язаний з веденням конторських книг, обчисленням площ, об’ємів, розрахунком найпростіших механізмів. Чисельними засобами служили спочатку власні пальці, а потім – рахівниці. Вхідні дані містили мало цифр, більшість викладок виконувалось точно, без заокруглень.
Другий почався з Ньютона. В цей період вирішувались задачі астрономії, геодезії, розрахунку механічних конструкцій. Вони зводились або до алгебраїчних систем з великим числом невідомих, або до звичайних диференціальних рівнянь. Обчислення виконувались із заокругленням; часто від результату вимагалась висока точність, доводилось зберігати до 8 значущих цифр.
Обчислювальні засоби стали різноманітніші: таблиці елементарних функцій, потім арифмометр і логарифмічна лінійка, пізніше з’явились клавішні машини з електродвигуном. Але швидкість всіх цих засобів була невелика, обчислення займали дні, тижні і навіть місяці.
Третій період почався приблизно з 1940р. Військові задачі, наприклад, наводка зенітних гармат на швидкісний літак – вимагали від людини швидкості і призвели до розробки електричних систем. З’явились ЕОМ. Їх швидкодія настільки перевищувала швидкодію механічних засобів, що стало можливим проводити обчислення великого об’єму. Це дозволило чисельно вирішувати нові класи задач. Спочатку використовувались чисельні методи, які були розробленні в “доелектронному” періоді. Але застосування ЕОМ привело до переоцінки методів. Багато старих методів виявилось непридатними для автоматизованих обчислень. Почали скоро розроблятися нові методи, орієнтовані прямо на ЕОМ.
Чисельні методи – методи наближеного або точного рішення задач чистої або прикладної математики, що базуються на побудові скінченної послідовності дій над скінченою множиною чисел.
При рішенні задач прикладної математики найбільш ефективною вважають таку методологію. По-перше складають математичну модель. Її формулюють звичайно в термінах інтегральних і диференціальних рівнянь функцій неперервного аргументу. Це так звана континуальна математична модель. По-друге здійснюють перехід від континуальної математичної моделі до дискретної математичної моделі. Цей перехід полягає в заміні функції неперервного аргументу функціями дискретного аргументу, а рівняння континуальної математичної моделі – зазвичай різницевими рівняннями. При цьому інтеграл замінюють кінцевою сумою, а похідну – різницевим відношенням. Внаслідок цього приходять, як правило, до системи з великою кількістю рівнянь з багатьма невідомими (дискретна математична модель). По-третє складають обчислювальний алгоритм (ОА) для рішення одержаної системи рівнянь з деякою певною точністю. По-четверте здійснюють програмування.
Перехід від континуальної до дискретної математичної моделі приводить до появи похибки апроксимації. При практичних розрахунках необхідно враховувати і похибку заокруглення внаслідок обмеженої кількості значущих цифр при операціях в ЕОМ над машинними числами. Враховуючи це одержують реальний ОА. Це привело до необхідності проводити аналіз похибок і гарантовану оцінку точності реальних обчислень.
Особливe значення при цьому отримав аналіз стійкості ОА. Мається на увазі аналіз критеріїв і умов росту похибок заокруглення і апроксимації. В багатьох обчислювальних алгоритмах, розроблених до появи ЕОМ, враховувались тільки похибки апроксимації, а похибки заокруглення не бралися до уваги, внаслідок чого ці ОА часто виявлялись нестійкими.
Практичний інтерес представляють лише ті наближені алгоритми, які володіють властивістю збіжності. Алгоритм збіжний, якщо існують параметри, належний вибір яких (при умові точного завдання вхідних даних і точного виконання елементарних операцій) дозволяє зробити похибку ? як завгодно малою для вхідних функцій із заданого класу.
Система параметрів називається мінімальною для наближеного аргументу, якщо відмова від будь-якої з них порушує властивість збіжності.
Стійкість означає, що малі зміни вхідних даних приводять до малих змін результату.
Похибки по різному впливають на хід обчислення. Одні похибки зменшуються і при цьому не складають серйозних труднощів, а другі можуть зростати настільки сильно, що обчислення може виявитися непотрібним. Стійкість чисельного методу залежить від швидкості росту таких похибок. Чи будуть малі вихідні похибки породжувати невеликі похибки результатів? Якщо так, то метод стійкий; однак якщо навіть малі вихідні похибки надають згубну дію на результат, то метод виявляється нестійким.
Математичні моделі і чисельні методи
Відомо, що сучасних інженерів, дослідників в області електронної техніки, автоматики і т.д. математика цікавить перш за все як засіб розв’язування практичних задач, котрі виникають в даній області. Наприклад, потрібно побудувати систему автоматичного регулювання або якусь аналогову, цифрову схему. Одним із методів розв’язування є експеримент надто повільний і, як правило, дорогий метод. Приклад із своєї області – (BRM, RD). Як побачимо далі, експеримент використовують з метою перевірки математичної моделі.
Другий метод – математичний аналіз даної схеми або пристрою. Але такий метод застосовується не до реальних явищ, а до деяких математичних моделей цих явищ. Тому, перший етап роботи – це формування математичної моделі (постановка задачі).
Звичайно явища, що вивчаються, як правило, складні. Математична модель повинна охоплювати важливі сторони явища (для даної задачі). Якщо математична модель вибрана недостатньо ретельно, то, незалежно від застосовуваних методів розрахунку, всі результати будуть недостатньо надійними, а в деяких випадках можуть бути і неправильними.
Другий етап роботи – математичні дослідження. В залежності від складності моделі застосовуються різні математичні підходи. Для найбільш грубих і нескладних моделей часто вдається отримати аналітичний розв’язок. Для більш точних і складних моделей аналітичний розв’язок вдається отримати порівняно рідко. Наcамкінець, для найбільш важких і точних моделей основним методом роз’язку є чисельні, як правило, вони потребують розрахунку на ЕОМ.
Третій етап роботи – це осмислення математичного розв’язку і співставлення його з експериментальними даними. Якщо розрахунок і експеримент не узгоджуються, то модель необхідно переглянути і уточнити.
Чисельні методи є одними із потужних засобів розв’язування задач. Є задачі, де без достатньо складних чисельних методів не вдалося одержати відповіді; класичний приклад – відкриття Нептуна по аномаліях руху Урана. Часто потрібно велике число дій за короткий час, інакше відповідь буде непотрібна. Наприклад, добовий прогноз погоди повинен бути вирахуваний за декілька годин; корекцію траєкторії польоту ракети потрібно розрахувати за декілька хвилин (а іноді і секунд); режим роботи прокатного стана повинен коригуватися за секунду. Це є неможливим без застосування потужних ЕОМ.
Сучасні чисельні методи і потужні ЕОМ дали можливості вирішувати багато складних задач. Але застосовувати чисельні методи непросто. ЕОМ – це засіб праці сучасного інженера, яка може виконувати тільки елементарні арифметичні і логічні операції. Тому під час розробки автоматичної моделі, потрібна ще розробка алгоритму, який зводить всі обчислення до послідовності алгоритмічних і логічних дій. Сам алгоритм і програма повинні бути ретельно пеоревірені, про це свідчить навіть відомий вислів: “в будь-якій найменшій програмі є хоч одна помилка ”. Перевірка алгоритму є ще складнішою, бо для складних алгоритмів не часто вдається доказати збіжність класичними методами.
Розділ математики, який має справу із створенням і впровадженням чисельних алгоритмів для розв’язування складних задач різноманітних сфер науки, часто називають прикладною математикою.
Головна задача прикладної математики – фактичне знаходження розв’язку з необхідною точністю; цим вона відрізняється від класичної математики, яка основну увагу приділяє дослідженню умов існування і властивостей розв’язку.
Теоретично дослідження в сфері чисельних методів в основному групуються навколо типових математичних задач: задачі аналізу (наближення функцій, наближені диференціювання і інтегрування), задачі алгебри, розв’язування диференціальних і інтегральних рівнянь, задачі оптимізації і т.д.
Похибки обчислень.
Джерела і класифікація похибок.
Похибки обчислень зумовлені наступними причинами:
Математичний опис задачі являється неточним, зокрема неточно задані початкові дані опису.
Вживаний для розв’язку метод часто не є точним; одержання точного розв’язку вимагає необмеженого або недопустимо великого числа арифметичних операцій, тому замість одержання точного розв’язку задачі користуються наближеним розв’язком.
При вводі даних в машину, при виконанні арифметичних операцій і при виводі даних виконуються округлення.
Похибки, що відповідають цим причинам, називають:
неусувна похибка;
похибка методу;
обчислювальна похибка.
Основні задачі дослідження похибок.
Оцінка точності результату в залежності від різних видів похибок або оцінка повної похибки;
Створ