Чисельні методи уточнення коренів
нелінійних рівнянь та систем.
Нехай дане рівняння
f (x) = 0 (1)
де f (x) – алгебраїчна або трансцендентна функції з одним невідомим.
Сукупність значень змінної х, при яких рівняння перетворюється в тотожність називається розв’язком. Кожне значення х* з цієї сукупності називається коренем рівняння або нулем функції.
Як відомо, прості лінійні або квадратні рівняння можна легко розв’язати з допомогою відповідних формул. Алгебраїчні рівняння 3-ї та 4-ї степені також можна розв’язати аналітичними методами, хоча й відповідні формули дуже складні. Навіть вже в цих випадках чисельні методи мають незаперечні переваги. Не мають розв’язку в елементарних функціях рівняння типу
х6 + 4х5 – 5х4 + х3 + 3х2 – 9х +11 = 0.
Практичне використання чисельних методів розв’язування нелінійних рівнянь можна продемонструвати на такому прикладі.
Рівняння термопари описується, як правило, поліномом високих порядків.
Наприклад, для термопари Ni – Cr/Ni
t( = 25,4498U – 0,559195U 2 + 0,10452439 U 3 – 8,776153(10– 3 U 4 +3,76041•10
U– 8,64943(10– 6 U 6 + 1,021005(10– 7 U 7 – 4,891009(10– 10 U 8
де U – термо е.р.с., mV;
t( – температура (C.
Якщо ставиться задача – знайти значення термо е.р.с. при даній t( , то відповідь можна одержати розв’язавши рівняння
А (U ) – t( = 0.
Надалі будемо вважати, що рівняння (1) має лише ізольовані корені, тобто для кожного кореня існує проміжок, який не містить інших коренів рівняння.
Наближене обчислення ізольованих дійсних коренів рівняння (1) складається з двох етапів:
відокремлення коренів – знаходження проміжку, що належить області існування функцій f (x), на якому розміщений один і тільки один корінь.
уточнення наближених коренів, тобто обчислення їх із заданою похибкою. Є два методи відокремлення:
1. Графічний метод – а) будується графік у = f (x). Точки перетину графіка з віссю Ох дають значення кореня , і за графіком легко визначити два числа a i b, між котрими знаходиться один корінь (рис1.)

б) Всі члени рівняння розбивають на дві групи, одну з них записують в лівій частині рівняння, а другу – в правій , тобто . Після цього будують графік і . Абсциси точок перетину графіків цих двох функцій і є коренями даного рівняння. (х0 – корінь рівняння, рис.2).
Приклад. Відокремлення коренів рівняння х3 – 3х – 1 = 0.
у у
–3 –2 –1 0 1 2 3 х –3 –2 –1 0 1 2 3 х
g, ?


1
х
1
2. Аналітичний – базується на теоремі Больцано – Коші:
якщо на проміжку [a;b] функція неперервна і набуває на кінцях проміжку значень різних знаків, тобто f(a) ( f(b) < 0, то на [a;b] рівняння f (x) = 0 має хоча б один корінь. Цей корінь буде єдиним, якщо перша похідна f /(x) існує і зберігає сталий знак у середині проміжку [a;b] .
1) похідна міняє знак f(a) ( f(b) < 0, але існує 4-и корені, тобто ця умова гарантує існування розв’язку рівняння, але не дозволяє визначити число коренів.
y
x
a b

2) Крім цього важливе значення має вимога неперервності. Існує точка розриву, тому твердження теореми про наявність хоча б одного кореня – невірне.
y

a b x
Процес відокремлення коренів починається із встановлення знаків f (x) в граничних точках х = а і х = b в області її існування. Після цього визначаються знаки функції f (x) в ряді проміжних точок х = а1, а2, ... , вибір яких враховує особливості функції f (x). Якщо виявиться, що f (аk) > 0, f (ak+1) < 0, то через розглянуту вище теорему в інтервалі [аk, ak+1] існує корінь рівняння f (x) = 0. Потрібно переконатися, чи є цей корінь єдиним.
Необхідно пам’ятати, що алгебраїчне рівняння n-ї степені
а0хn + а1хn–1 +…+ а0 = 0
має не більше n дійсних коренів. Тому, якщо для такого рівняння ми одержимо (n + 1) зміну знаків, то всі корені його відокремленні.
Приклад. Відокремити корені рівняння
f (x) = х3 – 6х + 2 = 0.
Складаємо приблизну схему
х
–
– 3
– 1
0
1
3
+

f (x)
–
–
+
+
–
+
+

Отже, рівняння має три дійсних корені, які лежать в інтервалах (–3, –1), (0, 1), (1, 3).
Розглянемо поняття стійкості методу. Нехай за значенням вхідної величини х шукається значення вихідної величини y. Якщо х має абсолютну похибку ?х, то розв’язок має похибку ?у. Метод називається стійким за вхідним параметром х, якщо малі похибки у вхідному параметрі х викликають малі похибки і в розв’язку у. Відсутність стійкості (нестійкий метод) означає, що навіть незначні похибки у вхідних даних ведуть до значних похибок в розв’язку, або до зовсім неправильного результату.
Ітераційні (або наближені) методи – це методи послідовних наближень. В них необхідно задати деякий наближений розв’язок – так зване початкове наближення. Після цього з допомогою деякого алгоритму проводиться один цикл обчислень, котрий називається ітерацією. В результаті ітерації знаходять нове наближення. Ітерації проводять до тих пір, доки не одержать розв’язок із заданою похибкою. Об’єм обчислень при цьому наперед не відомий.
При використанні ітераційних методів виникає проблема збіжності чисельного методу. Вона (збіжність) означає близькість одержаного після проведення ітерації розв’язку до істинного розв’язку. Збіжність ітераційного процесу: якщо в результаті проведення ітерацій одержуємо деяку послідовність х1, х2, … , хn (не важливо, це скалярні чи векторні величини), та якщо ця послідовність збігається до точного розв’язку х = а, тобто існує границя цієї послідовності , то метод є збіжним.
Метод поділу проміжку навпіл (половинного ділення).
Алгоритм методу половинного ділення.
Ввести, задати значення параметрів а, b та граничної абсолютної похибки ( .
Обчислити значення функції f (x) в точці а, тобто обчислити f (а).
Поділити проміжок [а, b] навпіл, тобто знайти точку xs
xs = (a + b)/2.
Перевірити умову f (xs) = 0? Якщо так, то перейти до п.7.
Якщо добуток f (а)( f (x*)>0?, то a: = xs, в протилежному випадку b: = xs.
Якщо |b - a| > ( , то перейти до п.3.
Надрукувати (вивести) значення xs.
Закінчити виконання програми.
Значення ( задається в межах 10 –4(10 –6.
Метод, як правило використовується для грубого знаходження кореня рівняння. При підвищенні точності (тобто при зменшенні ( ) значно зростає об’єм обчислювальної роботи.
Число ітерацій значне (при |b - a| > ( ), тому збіжність його повільна.
Однак збіжність ця гарантована завжди (надійний метод). Крім того, простота реалізації методу зменшує число допоміжних операцій і частково компенсує затрати машинного часу через повільну збіжність.
Приклад. Методом половинного ділення уточнити корені рівняння
х4 + 2х3 – х – 1 = 0, які лежать на відрізку [0,5;1]
f(0,5) = – 1,19 f(1) = 1 f(0,8594) = – 0,043
f(0,75) = –0,59 f(0,875) = 0,05
f(0,8125) = – 0,304 f(0,8438) = – 0,135
Метод хорд (метод помилкового положення,
метод пропорційних частин)
Цей метод забезпечує швидку збіжність, ніж метод половинного ділення. Ідея методу полягає в тому, що на достатньо малому проміжку [a,b] функція f(x) змінюється лінійно і тому дуга кривої f(x) замінюється хордою, яка її стягує. За наближене значення кореня можна прийняти точку перетину хорди з віссю абсцис (точка А на рис.)
y
M’
x
M
Абсциса точки А, є наближеним коренем х1, яка була знайдена з рівняння прямої, якщо покласти у = 0, тоді х = х1
(2)
Якщо значеня кореня х1 нас не задовольняють, його можна уточнити, застосувавши метод хорд до відрізку [х1,b].
(3)
Ітераційна формула (4)
За наведеними формулами обчислюють корені і тоді, коли f(a) > 0; f(b) < 0; f’(x) < 0; f’’(x) < 0, тобто, коли f’(x) ·f’’(x) > 0.
y
b
x
a

У випадку, коли перша і друга похідні мають різні знаки, тобто f’(x) ·f’’(x) < 0,то ітераційна формула має вигляд
(5)
y y
b a
x x
a b
Відмітимо, що формули (5) і (4) тотожні.
Метод хорд має лінійну збіжність – похибка на наступній ітерації пропорційна (лінійно) похибці на попередній ітерації.
Приклад. Знайти додатній корінь рівняння х3 – 2х2 +3х –5 = 0.
Визначаємо знаки функцій в різних точках
х
0
1
2
1,5
1,8
1,9

f(x)
–
–
+