Лекция 6. Z-преобразование. Фильтры первого порядка
Z-преобразование
Иногда вместо преобразования Фурье используют Z-преобразование. Оно определяется формулой
(1)
В формуле (1) ряд является формальным, если же он сходится, то определяет аналитическую функцию. Для Z -преобразования справедливы аналоги свойств, доказанных для преобразования Фурье. Это же относится и к передаточной функции фильтра. В случае фильтра с бесконечным временем отклика
(2)
Формула (2) удобна в том случае, когда переменная Z может принимать любые значения на комплексной плоскости. Еще раз обратим внимание на то, что в формуле (2) предполагается , что ряд для имеет лишь конечное число ненулевых коэффициентов при положительных степенях. В этом случае мы можем в явной форме получить члены выходной последовательности.
Пример.
Пусть . Будем предполагать, что Легко видеть, что решением является неограниченная последовательность . С другой стороны, согласно (2)

Формально возводя ряд в квадрат, получим тот же результат.
Условие устойчивости фильтра сводится к сходимости ряда для при Z=1.
Идеальный фильтр
Под идеальным фильтром понимается фильтр, у которого передаточная функция имеет прямоугольную форму. Покажем, что такой фильтр не является физически реализуемым. Действительно, если , то , откуда вытекает, что бесконечное число слагаемых отличны от нуля как с отрицательными, так и с положительными индексами. Это означает, что в передаточной функции присутствуют слагаемые, как до момента измерения, так и после. Если бы число слагаемых "после" было бы конечным, то дело свелось бы лишь к временной задержке.
Фильтр первого порядка
Рассмотрим фильтр вида

Это общий вид фильтра первого порядка. Его передаточная функция имеет вид
(3)
Первый вопрос связан с устойчивостью фильтра. Переходя к Z -преобразованию видим, что все сводится к сходимости ряда при Z=1, которая имеет место тогда и только тогда, когда . В простейшем случае при передаточная функция фильтра принимает вид . В зависимости от знака график модуля имеет вид фильтра низких или высоких частот. (Фильтр низких частот пропускает низкие частоты).