Лекция 13. Шум от квантования сигнала.
Multiresolution - переменная разрешающая способность
Пусть справедливо дополнительное предположение: . Из включения вытекает представление , где - ортогональное дополнение пространства до пространства . При сделанных предположениях пространство ,и любая функция , где . Последнее разложение интерпретируется как представление функции с нарастающей степенью детализации, которое и получило название Multiresolution. Если в качестве материнской функции выбрана функция , базис пространства составляют функции, полученные сдвигом из
Дискретный сигнал
Начиная с этого момента дальнейшее изложение ориентируется на компьютерную обработку сигнала. Основное отличие состоит в отсутствии понятия непрерывности, на котором базировался предыдущий материал.
Шум от дискретизации

В результате перехода от непрерывного сигнала к дискретному возникает искажение. Реальный сигнал . Здесь первое слагаемое - дискретный сигнал, а второе - ошибка. Пусть - длина интервала между соседними дискретными значениями. Предположим, что для представления сигнала используются битов, а весь интервал возможных значений входного сигнала это . Тогда имеет место равенство . В процессе дискретизации вместо самого сигнала берется ближайшее возможное дискретное значение. В силу этого, . Согласно простейшей модели, имеет равномерное распределение на интервале изменения, поэтому дисперсия . Качество процедуры дискретизации определяется величиной
, где в числителе стоит дисперсия исходного сигнала. Заменяя , получим . На практике используется величина и получается результат в децибелах. В нашем случае это . Хороший уровень качества равен 90дБ, который достигается при B=16.
Дискретное преобразование Фурье
При машинной обработке вместо интеграла Фурье приходится пользоваться его приближением, подсчитанным с помощью конечной суммы. В результате возникают дополнительные эффекты, а теория дискретного преобразования Фурье становится самостоятельной дисциплиной.
Рассмотрим мерное пространство последовательностей длины . Каждый элемент этого пространства имеет вид где - некоторая функция, принимающая комплексные значения. В этом пространстве рассмотрим набор векторов, составленный из последовательностей , построенных по функциям , . В пространстве определено скалярное произведение:
. Имеет место равенство . Это означает, что последовательности составляют базис пространства. При этом для произвольной функции , где . Эти две формулы обычно записывают в виде
, (1)
и называют дискретным преобразованием Фурье. Из последней формулы следует, что есть аналог значения преобразования Фурье исходной функции, вычисленного в точке .
Связь ряда Фурье и дискретного преобразования Фурье
Пусть периодическая на функция задана формулой
. Выберем и найдем дискретное преобразование, используя значения функции в точках . Легко видеть, что равно если и 0 в противном случае. Отсюда следует, что коэффициент в формуле (1), найденный по последовательности , равен . Этот эффект называют эффектом подмены частот, поскольку вместе с ожидаемой частотой в этот коэффициент вносят вклад и другие частоты
Преобразование вещественных последовательностей.
Если исходная последовательность вещественная, то в дискретном преобразовании Фурье присутствует избыточность, так как из вещественных чисел получается вещественных чисел. Из определения следует, что

В этой связи рассматривают только коэффициенты (целая часть ).
В качестве примера рассмотрим . У нее два обычных коэффициента: . Учитывая эффект подмены, получим, что дискретные коэффициенты это
. Согласно принятому соглашению, будет найден коэффициент с наименьшим индексом. Для того, чтобы с помощью дискретного преобразования найти истинную частоту надо выбирать . Поскольку значения истинных частот заранее не известны, сигнал нужно пропустить через фильтр низких частот, оставив лишь частоты из нужного диапазона.