Лекция 21. Преобразования Адамара и Хаара
Подсчет числа перемен знаков в матрице Адамара
Аналогом частоты в базисе Фурье для матриц Адамара является число перемен знаков в строке.
Предложение. Для того, чтобы найти число перемен знаков в строке с номером в матрице Адамара, нужно сделать следующие операции:
Представить в двоичной форме
Подсчитать , где - матрица перехода от двоичного кода к коду Грея
Число перемен знаков в двоичной форме имеет вид .
Доказательство. Для утверждение проверяется непосредственно. Предположим, что оно справедливо для . Рассмотрим матрицу и ее строку с номером . Элементы этой строки подсчитываются по формуле , где .
По определению, =

. Положим . Когда пробегает все значения, знак определяется четностью скалярного произведения вектора на все коды Грея. Последние изобразим таблицей. Проходя первую половину таблицы, согласно предположению индукции, получим число перемен знаков, имеющее двоичное представление . Столько получится при прохождении второй половины таблицы. Если , то в силу зеркальности, на стыке будет еще одна перемена, в противном случае ее не будет.
При вычислении преобразования Адамара номер коэффициента можно ассоциировать с частотой, однако, не следует думать, что это действительно частота. Для этого достаточно подсчитать преобразование Адамара от .
Быстрое преобразование Адамара.
Пусть имеется вектора . Его преобразование Адамара есть вектор . Вектор называется спектром Адамара исходного вектора. Обратное преобразование можно рассматривать как разложение вектора по столбцам , при этом число перемен знаков в соответствующем столбце рассматривается как аналог частоты. Разобьем вектор , представив его в виде блоков длины . Имеем
. Для вычисления блоков можем применить аналогичную формулу. Таким образом реализуется быстрое преобразование Адамара
Преобразование Хаара.
Это преобразование строится на основе матрицы Хаара порядка . . Введем обозначение . Здесь первая строка состоит из 1, а - матрица размера . Теперь
Здесь 1 и -1 обозначают строки длины . Очевидна ортогональность строк этой матрицы. Множитель вводят для того, чтобы выровнять длину строк. Особенность матрицы Хаара заключается в том, что в каждой из строк имеется только один переход от 1 к -1. Фактически, преобразование Хаара есть реализация частного случая Wavelet преобразования.
Сжатие сигнала с помощью ортогонального преобразования.
Все рассмотренные выше преобразования могут использоваться для сжатия сигнала. Пусть сигнал представлен вектором . Подсчитываем , используя одно из ортогональных преобразований. В векторе оставляем лишь часть координат, заменяя остальные нулями. Получаем вектор и находим . Преимущество ортогонально преобразования заключается в том, что при этом можно оценить погрешность , совпадающую с . Процедура сжатия заключается в сохранении лишь ненулевых коэффициентов вектора . Имея несколько ортогональных преобразований, можем подобрать наиболее подходящее для сжатия данного вектора.