Лекция 10. Квадратурный зеркальный фильтр
Проектирование FIR фильтра на основе аппроксимации
Рассмотрим симметрический фильтр с передаточной функцией
. (1)
Пусть задана вещественная передаточная функция . Положим . В результате замены имеем взаимно однозначное соответствие между точками интервалов и . Функции. , преобразуются в функции соответственно. Известно, что существует разложение . В результате получаем задачу аппроксимации вещественной функции с помощью многочлена степени не выше, чем . Построив многочлен, можем вернуться к представлению (1) заменой переменных и разложением в ряд Фурье.
Аппроксимацию указанного вида используют в случае, когда критерием является не средне квадратическое отклонение, а критерий типа . В этом случае применяется теория аналогичная теории многочленов Чебышева с наименьшими отклонениями. Задача решается приближенно. После того, как многочлен найден, возвращаемся к представлению (1).
Квадратурный зеркальный фильтр
Если спектр сигнала находится в интервале , то при переходе к дискретному сигналу частота выборки должна удовлетворять неравенству . Следующая схема позволяет снизить частоту выборки при передаче по каналу связи, заменив один канал парой каналов с меньшей пропускной способностью.
Пусть имеются сигнал и его преобразование Фурье . Положим . Его преобразование Фурье , или в форме z-преобразования . Рассмотрим следующую схему, изображенную на рисунке. Входной сигнал подается на два фильтра. Стрелки вниз означают выбрасывание сигнала с нечетными номерами, а стрелки вверх - включение нулевого сигнала между двумя приинятыми. После этого полученные сигналы фильтруются двумя фильтрами и складываются.

Передаточные функции фильтров будем обозначать теми же буквами, что и сами фильтры. Рассмотрим результат работы данной схемы. Обозначим через выходной сигнал, а через - его z-преобразование. В терминах z- преобразований сигнал по верхней линии после прохода через первый фильтр превращается в , затем после прохода по каналу и вставки нулей на сумматор подается сигнал . Аналогично, рассматривая прохождение сигнала по нижней линии и суммируя результаты, получимПока мы не накладывали условий на фильтры. Теперь выберем их таким образом, чтобы второе слагаемое обратилось в 0. Для этого положим , . Этих условий достаточно, чтобы второе слагаемое стало нулевым. Теперь . Поставим задачу: выбрать таким образом, чтобы выражение в квадратных скобках было как можно более близким к единичной функции. Обычно этого не удается достичь, вместо этого довольствуются аппроксимацией. Однако, если полученный сигнал отфильтровать специально подобранным фильтром, то в результате получим первоначальный сигнал. В качестве примера рассмотрим . Тогда . Поставим на выходе системы еще один фильтр, определяемый формулой . Его передаточная функция имеет вид . В результате вся система имеет передаточную функцию равную , что равносильно сдвигу сигнала.
Задача. Применить тот же подход к случаю
Замечание. Указанный подход оказывается полезным в качестве альтернативного подхода к сжатию сигнала, когда используется результат передачи только по одной линии.