Лекция 22. Фильтрация и преобразование Адамара
Результат любого из рассмотренных выше преобразований рассматривается как спектр исходного сигнала. В этой связи имеется возможность изменить спектр произвольным образом, а затем применить обратное преобразование. Основная проблема заключается в том, что надо рассматривать сигнал целиком. Если сигнал разбивается на части, возможны скачки на стыках при объединении смежных участков. Если сигнал имеет большой размер, то применение к нему преобразования требуются значительные вычислительные ресурсы. Для преобразования Адамара существует альтернативный подход, аналогичный рекуррентной фильтрации.
Аналог фильтра с конечным временем отклика для преобразования Адамара.
Рассмотрим матрицу Адамара . Для строк этой матрицы определена операция поэлементного перемножения строк. По индукции проверяется замкнутость. В результате получаем диадическую группу. На этой группе заданы
характеров: Каждый характер - столбец матрицы. Характер обладает свойством: . Характеры ортогональны, и любая функция на группе раскладывается по характерам.
Пусть исходный сигнал задан в точках. Можем считать, что он задан функцией на строках . Функция раскладывается по характерам группы: . В силу симметрии матрицы, это обычное преобразование Адамара, а коэффициенты разложения составляют спектр. Выберем натуральное , элементы группы и числа . Результатом фильтрации исходного сигнала назовем функцию . Результат фильтрации оценивается с точки зрения изменения спектра. Имеем : =
Другими словами, числа
(1)
задают передаточную функцию фильтра.
Проектирование фильтра.
Согласно (1), при заданном проектирование фильтра сводится к отысканию по данным чисел и элементов группы таким образом, чтобы (1) выполнялось наилучшим образом. Она переформулируется так: по данным выбрать строк матрицы таким образом, чтобы вектор был приближен линейной комбинацией этих строк наилучшим образом, и найти коэффициенты приближения. Очевидно, что точное выполнение равенства (1) можно гарантировать лишь для , что не имеет практического значения. В том случае, когда в качестве меры близости выбрана сферическая норма, решение задачи имеет следующий вид.
Разложить вектор по строкам
Упорядочить коэффициенты разложения в порядке не возрастания модуля
Выбрать первые коэффициентов из списка и соответствующие номера строк.
Реализация фильтра.
Указанный фильтр имеет простую реализацию. Если строки матрицы занумерованы двоичными векторами, то групповое умножение сводится к с сложению этих векторов по модулю 2. Это удобно, если имеется доступ к двоичной нумерации аргументов.