Доказательство теорем

 

1.

*1. Говорят, что функция f(x) не убывает (не возрастает) на (a,b), если для любых точек x 1 <x 2 из (a,b) справедливо неравенство f(x 1 )Ј f(x 2 ) (f(x 1 )і f(x 2 )).

*2. Говорят, что функция f(x) возрастает (убывает) на (a,b), если x 1 <x 2 из (a,b) справедливо неравенство f(x 1 )<f(x 2 ) (f(x 1 )>f(x 2 )). В этом случае функцию называют монотонной на (a,b).

Т1. Дифференцируемая на (a,b) функция f(x) тогда и только тогда не убывает (не возрастает) на (a,b), когда fў (x)і 0 (Ј 0) при любом xО (a,b).

Док-во: 1) Достаточность. Пусть fў (x)і 0 (Ј 0) всюду на (a,b). Рассмотрим любые x 1 <x 2 из (a,b). Функция f(x) дифференцируема (и непрерывна) на [x 1 ,x 2 ]. По теореме Лагранжа: f(x 2 )-f(x 1 )=(x 2 -x 1 )fў (a), x 1 <a<x 2 . Т.к. (x 2 -x 1 )>0, fў (a)і 0 (Ј 0), f(x 2 )-f(x 1 )і 0 (Ј 0), значит, f(x) не убывает (не возрастает) на (a,b). 2) Необходимость. Пусть, например, f(x) не убывает на (a,b), xО (a,b), x+D xО (a,b), D x>0. Тогда (f(x+D x)-f(x))/D xі 0. Переходя к приделу при D xа 0, получим fў (x)і 0. Теорема доказана.

Т2. Для возрастания (убывания) f(x) на (a,b) достаточно, чтобы fў (x)>0 (<0) при любом xО (a,b). Док-во: Тоже что и в Т2.

Замечание1. Обратное к теореме 2 не имеет места, т.е. если f(x) возрастает (убывает) на (a,b), то не всегда fў (x)>0 (<0) при любом xО (a,b).

*3. Прямая х=а называется вертикальной асимптотой графика функций y=f(x), если хотя бы одно из предельных значений или равно +Ґ или –Ґ .

Замечание 2. Непрерывные функции вертикальных асимптот не имеют.

*4. Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при xа +Ґ (–Ґ ), если f(x)=kx+b+a (x), где

Т3. Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при xа +Ґ (–Ґ ), тогда и только тогда, когда существуют , , причем при xа +Ґ (–Ґ ) наклонная асимптота называется правой (левой). Док-во: Предположим, что кривая y=f(x) имеет наклонную асимптоту y=kx+b при xа +Ґ , т.е. имеет место равенство f(x)=kx+b+a (x). Тогда . Переходя к пределу при xа +Ґ , получаем . Далее из f(x)=kx+b+a (x)а b=f(x)-kx-a (x). Переходя к пределу при xа +Ґ , получаем . Докажем обратное утверждение. Пусть пределы, указанные в теореме, существуют и конечны. Следовательно, f(x)–kx=b+a (x), где a (x)а 0, при xа +Ґ (–Ґ ). Отсюда и получаем представление f(x)=kx+b+a (x). Теорема доказана.

Замечание3. При k=0 прямая y=b называется горизонтальной асимптотой, причем при xа +Ґ (–Ґ ) – правой (левой).

 

2.

*1. Точку х 0 назовем стандартной для функции f(x), если f(x) дифференцируема в точке x 0 и fў (x 0 )=0.

*2. Необходимое условие экстремума. Если функция y=f(x) имеет в точке x 0 локальный экстремум, то либо x 0 – стационарная точка, либо f не является дифференцируемой в точке x 0 .

Замечание 1. Необходимое условие экстремума не является достаточным.

Т1. (Первое достаточное условие экстремума). Пусть y=f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x 0 , кроме, быть может, самой точки x 0 , в которой она является непрерывной. Если при переходе x через x 0 слева направо fў (x) меняет знак с + на –, то точка x 0 является точкой максимума, при перемене знака с – на + точка x 0 является точкой минимума. Док-во: Пусть xО (a,b), x№ x 0 , (a,b) – достаточно малая окрестность точки x 0 . И пусть, например, производная меняет знак с + на –. Покажем что f(x 0 )>f(x). По теореме Лагранжа (применительно к отрезку [x,x 0 ] или [x 0 ,x]) f(x)–f(x 0 )=(x- x 0 )fў (a ), где a лежит между x 0 или x: а) x< x 0Ю x- x 0 <0, fў (a )>0Ю f(x)–f(x 0 )<0Ю f(x 0 )>f(x); б) x>x 0Ю x–x 0 >0, fў (a )<0Ю f(x)–f(x 0 )<0Ю f(x 0 )>f(x).

Замечание 2. Если fў (x) не меняет знака при переходе через точку х 0 , то х 0 не является точкой экстремума.

Т2. (Второе достаточное условие экстремума). Пусть x 0 – стационарная точка функции y=f(x), которая имеет в точке x 0 вторую производную. Тогда: 1) fў ў ( x 0 )>0Ю f имеет в точке x 0 локальный минимум. 2) fў ў ( x 0 )<0Ю f имеет в точке x 0 локальный максимум.

 

3.

*1. График функции y=f(x) называется выпуклым вниз (или вогнутым вверх) в промежутке (a,b), если соответствующая дуга кривой расположена выше касательной в любой точке этой дуги.

*2. График функции y=f(x) называется выпуклым вверх (или вогнутым вниз) в промежутке (a,b), если соответствующая дуга кривой расположена ниже касательной в любой точке этой дуги.

Т1. Пусть y=f(x) имеет на (a,b) конечную 2-ю производную. Тогда: 1) fў ў (x)>0, " xО (a,b)Ю график f(x) имеет на (a,b) выпуклость, направленную вниз; 2) ) fў ў (x)<0, " xО (a,b)Ю график f(x) имеет на (a,b) выпуклость, направленную вверх

*3. Точка (c,f(с)) графика функций f(x) называется точкой перегиба, если на (a,c) и (c,b) кривая y=f(x) имеет разные направления выпуклости ((a,b) – достаточно малая окрестность точки c).

Т2. (Необходимое условие перегиба). Если кривая y=f(x) имеет перегиб в точке (c, f(c)) и функция y=f(x) имеет в точке c непрерывную вторую производную, то fў ў (c)=0.

Замечание1. Необходимое условие перегиба не является достаточным.

Замечание2. В точке перегиба вторая производная может не существовать.

Т3. (Первое достаточное условие перегиба). Пусть y=f(x) имеет вторую производную на cО (a,b), fў ў (c)=0. Если fў ў (x) имеет на (a,c), (c,b) разные знаки, то (c, f(c)) – точка перегиба графика f(x).

Т4. (Второе условие перегиба). Если y=f(x) имеет в точке конечную третью производную и fў ў (c)=0, а fў ў ў (c)№ 0, тогда (c, f(c)) – точка перегиба графика f(x).

 

4.

*1. Первообразная от функции f(x) в данном интервале называется функция F(x), производная которой равна данной функции: Fў (x)=f(x).

T1. Всякая непрерывная функция имеет бесчисленное множество первообразных, причем любые две из них отличаются друг от друга только постоянным слагаемым. Док-во: F(x) и Ф(х) – две первообразные от f(x), тождественно не равные между собой. Имеем Fў (x)=f(x), Фў (х)=f(x). Вычитая одно равенство из другого, получим [F(x)–Ф(х)]ў =0. Но если производная от некоторой функции (в нашем случае от F(x)–Ф(х)) тождественно равна нулю, то сама функция есть постоянная; Ю F(x)–Ф(х)=С.

*2. Неопределенным интегралом от данной функции f(x) называется множество всех его первообразных ,где Fў (x)=f(x).

 

5.

Свойства неопределенного интеграла:

  1. Производная НИ =подынтегральной функции; дифференциал от НИ равен подынтегральному выражению: ; . Док-во: ;
  2. НИ от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого: . Док-во: Обозначим . На основании первого св-ва: , откуда , т.е. .
  3. НИ от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от слагаемых функций: , где u, v, …,w-функции независимой переменной х. Док-во:
  4. Постоянный множитель можно выносить за знак НИ: , где с – константа. Док-во

Т2. (об инвариантности формул интегрирования): Пусть т f(x)dx=F(x)+C – какая-либо известная формула интегрирования и u=ф(х) – любая функция, имеющая непрерывную производную. Тогда т f(u)du=F(u)+C. Док-во: Из того, что т f(x)dx=F(x)+C, следует Fў (x)=f(x). Возьмем функцию F(u)=F[ф(x)]; для её дифференциала, в силу теоремы об инвариантности вида первого дифференциала функции, имеем: dF(u)=Fў (u)du=f(u)du. Отсюда т f(u)du=т dF(u)=f(u)+C.

 

6.

Метод замены переменных.

1) Подведение под знак дифференциала. Т1. Пусть функция y=f(x) определена и дифференцируема, пусть также существует f(x)=f(j (t)) тогда если функция f(x) имеет первообразную то справедлива формула: –формула замены переменных. Док-во: пусть F(x) для функции f(x), т.е. Fў (x)=f(x). Найдем первообразную для f(j (t)), [F(j (t))]ў t =Fў (x)(j (t)) j ў (t)=Fў (x) j ў (t)=f(x) j ў (t). т f(x) j ў (t)dt=f(j (t))+C. F(j (t))+C=[F(x)+C]| x=j (t) =т f(x)dx| x=j (t) .

Замечание1. При интегрировании иногда целесообразно подбирать подстановку не в виде x=j (t), а в виде t=j (x).

2) Подведение под знак дифференциала. F(x)dx=g(j (x)) j ў (x)dx=g(u)du. т f(x)dx=т g(j (x)) j ў (x)dx=т g(u)du.

  1. dx=d(x+b), где b=const;
  2. dx=1/ad(ax), a№ 0;
  3. dx=1/ad(ax+b), a№ 0;
  4. фў (х)dx=dф(x);
  5. xdx=1/2 d(x 2 +b);
  6. sinxdx=d(-cosx);
  7. cosxdx=d(sinx);

Интегрирование по частям: т udv=uv-т vdu. До-во: Пусть u(x) и v(x) – функции от х с непрерывными производными. D(uv)=udv+vdu,Ю udv=d(uv)-vduЮ (интегрируем) т udv=т d(uv)-т vdu или т udv=uv-т vdu.

 

7.

Интегрирование по частям: т udv=uv-т vdu. До-во: Пусть u(x) и v(x) – функции от х с непрерывными производными. D(uv)=udv+vdu,Ю udv=d(uv)-vduЮ (интегрируем) т udv=т d(uv)-т vdu или т udv=uv-т vdu.

Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен:

Первый интеграл табличного вида: т du/u k :

Второй интеграл сводится к нахождению интеграла: где u=x+p/2, a= , q-p 2 /4>0

– рекуррентная формула.

Интегрирование рациональных функций: R(x)=P(x)/Q(x), R(x)-рациональная функция, P(x) и Q(x)-многочлены. Дробь P(x)/Q(x) можно разложить в сумму простейших дробей, где A i , B i , C i – постоянные, а именно: каждому множителю (x-a) k в представлении знаменателя Q(x) соответствует в разложении дроби P(x)/Q(x) на слагаемые сумма k простейших дробей типа а каждому множителю (x 2 +px+q) t соответствует сумма t простейших дробей типа . Таким образом при разложении знаменателя Q(x) на множители имеет место разложение дроби P(x)/Q(x) на слагаемые.

Правила интегрирования рациональных дробей:

  1. Если рац. дробь неправильная, то её представляют в виде суммы многочлена и неправильной дроби.
  2. Разлагают знаменатель правильной дроби на множетели.

Правую рац. дробь разлагают на сумму простейших дробей. Этим самым интегрирование правильной рац. дроби сводят к интегрированию простейших дробей.

 

8.

Интегрирование тригонометрических функций:

  1. 1 Интеграл вида:
    1. R(sinx, cosx) – нечетная функция относительно sinx, то cosx=t.
    2. R(sinx, cosx) – нечетная функция относительно cosx, то sinx=t.
    3. R(sinx, cosx) – нечетная функция относительно sinx и cosx, то tgx=t.
  2. 1
    1. Оба показателя степени m и n – четные положительные числа: sinxcosx=1/2 sin2x; sin 2 x=1/2(1-cos2x); cos 2 x=1/2(1+cos2x).
  3. т tg m xdx и т ctg m xdx, где m-целое положительное число. tg 2 x=sec 2 x-1 или ctg 2 x=cosec 2 x –1.
  4. т tg m xsec n xdx и т ctg m xcosec n xdx, где n – четное положительное число. sec 2 x=1+tg 2 x или cosec 2 x=1+ctg 2 x.
  5. т sinmx*cosnxdx, т cosmx*cosnxdx, т sinmx*sinnxdx; sinacosb=1/2(sin(a+b)+sin(a-b)); cosacosb=1/2(cos(a+b)+cos(a-b)); sinasinb=1/2(cos(a-b)-cos(a+b));

 

9.

Интегрирование иррациональных функций:

  1. 1 т R(x, , ,…)dx, k-общий знаменатель дробей m/n, r/s…. x=t k , dx=kt k–1 dt
    1. т R(x,, …)dx, , x= , dx=
  2. 1 Вынести 1/Ц a или 1/Ц -a. И выделим полные квадраты.
    2. Разбить на два интеграла.
  3. 1

1)p-целое число x=t S , где s- наименьшее общее кратное знаменателей у дробей m и n. 2) (m+1)/n –целое число: a+bx n =t S ; 3) p+(m+1)/n-целое число: a -n +b=t S и где s- знаменатель дроби p.

 

10.

Определенный интеграл:

  1. интервал [a,b], в котором задана функция f(x), разбивается на n частичных интервалов при помощи точек a=x 0 <x 1 <…<x n–1 <x n =b;
  2. Значение функции f(x I ) в какой нибудь точке x iО [x i –x i–1 ] умножается на длину этого интервала x i –x i–1 , т.е. составляется произведение f(x i )(x i –x i–1 );

, где x i –x i–1 =D x i ;

I= – этот предел (если он существует) называется определенным интегралом, или интегралом от функции f(x) на интервале [a,b], обозначается

*1. Определенным интегралом называется предел интегральной суммы при стремлении к нулю длинны наибольшего частичного интеграла (в предположении, что предел существует).

Т1. (Необходимое условие существования интеграла): Если ОИ существует, т.е. функция f(x) интегрируема не [a,b], то f(x) ограничена на этом отрезке. Но этого не достаточно. Док-во: Функция Дирихле: