Задаваясь функцией напряжений, общий вид которой

Ф (х,у)=а ₁ х ³ у+а ₂ х ³ +а ₃ х ² у+а ₄ х ² +а ₅ ху+а ₆ у ² +а ₇ ху ² +а ₈ у ³ +а ₉ ху ³

Принять два коэффициента функции согласно таблиц 1 и 2, остальные шесть коэффициентов принять равными нулю. В этих же таблицах даны значения модуля упругости Е и коэффициента Пуассона для материала пластины.

Найти общие выражения для напряжений s _х , s _у , t _ху (объемные силы не учитывать) и построить эпюры этих напряжений для контура пластины.

Определить выражения для перемещений U и V. Показать графически(на миллиметровке) перемещение пластины в результате деформирования, определив компоненты перемещений U и V в девяти точках, указанных на схеме. Для наглядности изображения для перемещений выбрать более крупный масштаб, чем масштаб длин. Значение U и V свести в таблицу.

Дано : а ₃ =1/3, а ₄ = 1

Е=0,69*10 ⁶ кг/см ²

n =0,33

Решение :

1.Проверим, удовлетворяет ли функция напряжений бигармоническому уравнению.

Ф(х,у)=

Поскольку производные

-бигармоническое уравнение удовлетворяется.

2.Определяем компоненты по формулам Эри, принимая объемные силы равными нулю.

s _х =

s _у =

t _ху =

3.Строим эпюры напряжений для контура пластины согласно полученным аналитическим напряжениям.

4.Проверяем равновесие пластины

Уравненения равновесия:

S х=0 -Т ₅ +Т ₆ =0 > 0=0

S y=0 Т ₄ +Т ₃ +Т ₂ -Т ₁ -N ₂ +N ₁ =0 > 0=0

S M=0 M (T ₄ T ₃ )=-M(T ₂ T ₁ ) > 0=0

удовлетворяется, т.е. пластина находится в равновесии.

5.Для точки А с координатами (5,-5) найти величины главных напряжений и положение главных осей для точки А.

В этой точке напряжения в основных площадках. s _х =0, s _у =-1,33, t _ху =3,33,

Найдем главное напряжение по формуле:

=-0,665 ± 3,396 кгс/см ²

s _max = s _I =2,731 МПа

s _min = s _II = -4,061 МПа

Находим направление главных осей.

a _I =39,36 ^o

a _II =-50,64 ^o

6.Определяем компоненты деформации

7.Находим компоненты перемещений

Интегрируем полученные выражения

j (у), y (х) –некоторые функции интегрирования

или

После интегрирования получим

где с ₁ и с ₂ – постоянные интегрирования

С учетом получения выражений для j (у) и y (х) компоненты перемещений имеет вид

2) v =0 или

3) u =0 или

Покажем деформированное состояние пластины определив для этого перемещение в 9-ти точках.

Масштаб

• длин: в 1см – 2см