Носители заряда в металле или полупроводнике могут подвергаться действию внешних полей и градиентов температуры. Они также испытывают рассеяние на примесях, колебаниях решетки и т. д. Эти эффекты должны быть сбалансированы — нас интересуют такие ситуации, в которых электрон ускоряется полем, но при рассеянии теряет избыточные энергию и импульс. В этой главе мы рассмотрим “обычные” кинетические свойства, наблюдаемые при наложении постоянных полей.

Общий метод решения этой задачи основан на кинетическом уравнении, или уравнении Болъцмана. Мы рассматриваем функцию f _k (r) — локальную концентрацию носителей заряда в состоянии k в окрестности точки r. Строго говоря, эту величину можно определить только в терминах мелкозернистых распределений, средних по ансамблю, матриц плотности и т. д. Имеется обширная литература по этому вопросу, но она относится скорее к формальному аппарату квантовой статистической механики, чем к теории твердого тела.

Посмотрим теперь, какими способами функция f _k (r) может изменяться во времени. Возможны процессы трех типов:

1. Носители заряда приходят в область пространства вблизи точки r и уходят из нее. Пусть v _k — скорость носителя в состоянии k. Тогда в течение интервала времени t носители заряда в этом состоянии пройдут путь t v _k . Следовательно, на основании теоремы Лиувилля об инвариантности фазового объема системы число носителей в окрестности точки r в момент времени t равно числу их в окрестности точки r – t v _k в момент времени 0:

Это означает, что скорость изменения функции распределения из-за диффузии есть

2. Внешние поля вызывают изменение волнового вектора k каждого носителя, согласно равенству

Величину можно рассматривать как “скорость” носителя заряда в k-пространстве, так что по аналогии с равенством (35) имеем

следовательно, под действием полей функция распределения меняется со скоростью

(мы использовали здесь обозначение ¶ f _k / ¶ k для градиента в k-пространстве — оператора Ñ _k ).

3. Влияние процессов рассеяния оказывается более сложным. Мы ограничимся здесь в основном упругим рассеянием. При этом функция f _k меняется со скоростью

Процесс рассеяния из состояния k в состояние k' приводит к уменьшению f _k . Вероятность этого процесса зависит от величины f _k — числа носителей в состоянии k, и от разности (1 – f _k' ) — числа свободных мест в конечном состоянии. Имеется также обратный процесс, переход из k' в k, который ведет к увеличению функции f _k ; он пропорционален величине f _k' (1 – f _k ). Очевидно, надо просуммировать по всевозможным состояниям k'. Для каждой пары значений k и k' существует, однако, “собственная” вероятность перехода Q (k, k'), равная скорости перехода в случае, когда состояние k полностью заполнено, а состояние k' вакантно. Согласно принципу микроскопической обратимости, та же функция дает и скорость перехода из k' в k, поэтому под интегралом появляется общий множитель.

Кинетическое уравнение выражает следующее: для любой точки r и для любого значения k полная скорость изменения функции f _k (r) равна нулю, т. е.

Отметим, что здесь рассматривается стационарное, но не обязательно равновесное состояние. Для последнего функция распределения обозначается через f ⁰ _k , оно осуществляется только в отсутствие полей и градиентов температуры.

Допустим, однако, что рассматриваемое стационарное распределение не слишком сильно отличается от равновесного.
Положим

где

Если введение локальной температуры вызывает затруднения, можно потребовать, чтобы окончательное решение удовлетворяло какому-либо дополнительному условию, например

Подставляя выражение (42) в кинетическое уравнение (41) и используя равенства (7.2) и (7.5), получаем

или

С помощью формулы (43) это уравнение можно переписать в виде

Это — линеаризованное уравнение Больцмана. В нем опущен член (E × ¶ g _k / ¶ k) порядка E ² , соответствующий отклонениям от закона Ома. Отброшен также член v _k [v _k ´ H], тождественно равный нулю; в левую часть уравнения магнитное поле явно не входит.

Это есть простое интегральное уравнение для неизвестной функции g _k .

Вместо того чтобы, непосредственно решать его, сделаем феноменологическое предположение:

Тем самым мы вводим время релаксации t . При выключении поля любое отклонение g _k от равновесного распределения будет затухать по закону

или

Подставляя определение (50) в уравнение (49), находим

Чтобы найти электропроводность, вычислим соответствующую плотность тока

Здесь при переходе от первой строки ко второй принято во внимание, что

ò f ⁰ _k ev _k (r)dk º 0,

использованы также формулы для преобразования объемного интеграла в k-пространстве в интеграл по изоэнергетическим поверхностям и по энергии.

В металле функция (– ¶ f ⁰ / ¶ E ) ведет себя как d -функция от ( E – z ), поэтому остается только проинтегрировать по поверхности Ферми. Таким образом,

(55)

Сравним это выражение с обычной макроскопической формулой

J = s × E, (56)

где s – тензор. Получим

(57)

Обычно имеют дело с кристаллами кубической симметрии,при этом тензор электропроводности сводится к скаляру, помноженному на единичный тензор. В случае, когда оба вектора E и J направлены по оси х, подынтегральное выражение в (55) есть

(v _k v _{k ×} E) = v ² _x E, (58)

что дает 1/3 вклада от квадрата скорости, v ² E . Поэтому

(59)

где мы ввели длину свободного пробега

Это есть основная формула для электропроводности.

Интересно посмотреть (фиг. 97), как выглядит функция распределения f _k , заданная выражением (7.8). Как видно из равенства (53), функция g _k велика только вблизи поверхности Ферми.

Небольшая добавка появляется с той стороны, где v _{k ×} eE>0, т. е. там, где электроны ускоряются полем. Та же величина вычитается с противоположной стороны.

Фактически по теореме Тейлора можно написать

Это выглядит так, как будто вся сфера Ферми сдвинулась в k-пpoстранстве на величину (e t /ħ)E. Это несколько неверная интерпретация. В действительности поле не действует на состояния вблизи дна зоны, в глубине сферы Ферми. Из-за принципа Паули поле не может придать ускорения электронам в таких состояниях; по этой же причине они не рассеиваются примесью.

как будто к энергии электрона в состоянии k добавилась величина

Это в точности соответствует классической ситуации, которая имела бы место, если бы электрон со скоростью v _k двигался в поле E в течение интервала времени t . Это замечание лежит в основе кинетического метода решения подобных задач. Добавочная энергия, приобретаемая в промежутках между столкновениями с примесями, соответствует наличию дрейфовой скорости d v в направлении поля; именно

Пусть концентрация частиц есть n, тогда полная плотность тока равна

и, сравнивая формулы (65), (66) и (56), находим

Легко показать, что в случае свободного электронного газа формулы (67) и (59) эквивалентны; в металле последняя формула принципиально значительно лучше. Она показывает, что электропроводность зависит только от свойств электронов на уровне Ферми, а не от полной концентрации их. Большую электропроводность металлов следует объяснять скорее наличием небольшой группы очень быстрых электронов на вершине распределения Ферми, а не высоким значением полной концентрации свободных электронов, которым можно придать небольшую дрейфовую скорость.

Основная формула (59) показывает также, что происходит, когда площадь свободной поверхности Ферми уменьшается в результате взаимодействия с границами зоны, и учитывает влияние решетки, ограничивающее эффективную скорость электронов на поверхности Ферми. Такие эффекты действительно можно наблюдать в металлах типа Bi.

С другой стороны, формула кинетической теории (67) удобна для полупроводников. При этом под п следует понимать концентрацию свободных носителей заряда. Обычно пишут

где

есть подвижность носителей. В более общем случае считают, что электроны и дырки вносят независимые вклады в полный ток и определяют их подвижности равенством

Нетрудно вывести формулу (68), скажем, из (54), принимая в качестве f° классическую функцию распределения. При этом мы допускаем, что время релаксации t может зависеть от энергии; в формулу (69) надо подставить его среднее значение

(71)

где N( E ) есть плотность состояний в рассматриваемой зоне. Таким образом,

где т _е — эффективная масса электронов. Аналогичная формула справедлива и для дырок. Из этих формул видно, что подвижность может зависеть от температуры. С ростом T распределение размазывается и среднее время релаксации изменяется. В случае металла то обстоятельство, что т зависит от энергии, не играет большой роли, ибо существенно только значение t ( E _F ) .