Значительнаое число задач физики и техники приводят к дифференциальным уравнениям в частных прозводных (уравнения математической физики). Установившиеся процессы различной физической природы описываются уравнениями эллиптического типа.

Точные решения краевых задач для эллиптических уравнений удаётся получить лишь в частных случаях. Поэтому эти задачи решают в основном приближённо. Одним из наиболее универсальных и эффективных методов, получивших в настоящее время широкое распространение для приближённого решения уравнений математической физики, является метод конечных разностей или метод сеток.

Суть метода состоит в следующем. Область непрерывного изменения аргументов, заменяется дискретным множеством точек (узлов), которое называется сеткой или решёткой. Вместо функции непрерывного аргумента рассматриваются функции дискретного аргумента, определённые в узлах сетки и называемые сеточными функциями. Производные, входящие в дифференциальное уравнение и граничные условия, заменяются разностными производными, при этом краевая задача для дифференциального уравнения заменяется системой линейных или нелинейных алгебраических уравнений (сеточных или разностных уравнений). Такие системы часто называют разностными схемами. И эти схемы решаются относительно неизвестной сеточной функции.

Далее мы будем рассматривать применение итерационного метода Зейделя для вычисления неизвестной сеточной функции в краевой задаче с неоднородным бигармоническим уравнением.

Пусть у нас есть бигармоническое уравнение :

Заданное на области G={ (x,y) : 0<=x<=a, 0<=y<=b }. Пусть также заданы краевые условия на границе области G .

x=0 b

x=0

G

Надо решить эту задачу численно.

Сетка W очевидно состоит из точек пересечения прямых x=x(i) и y=y(j) .

Одним из способов решения сеточных уравнений является итерационный метод Зейделя.

Пусть нам дана система линейных уравнений :

Итерационный метод Зейделя в предположении что диагональные элементы матрицы А=(a ij ) отличны от нуля (a ii <>0) записывается в следующем виде :

где Y j - j ая компонента итерационного приближения номера k . В качестве начального приближения выбирается произвольный вектор.

Определение (k+1) -ой итерации начинается с i=1

Так как a 11 <>0 то отсюда найдём Y 1 . И для i=2 получим :

(k+1) (k+1) M (k)

Пусть уже найдены Y 1 , Y 2 ... Y i-1 . Тогда Y i находится из уравнения :

Из формулы (*) видно , что алгоритм метода Зейделя черезвычайно прост. Найденное по формуле (*) значение Y i размещается на месте Y i .

Оценим число арифметических действий, которое требуется для реализации одного итерационного шага. Если все a ij не равны нулю, то вычисления по формуле (*) требуют M-1 операций умножения и одного деления. Поэтому реализация

одного шага осуществляется за 2M - M арифметических действий.

Если отлично от нуля лишь m элементов, а именно эта ситуация имеет место для сеточных эллиптических уравнений, то на реализацию итерационного шага потребуется 2Mm-M действий т.е. число действий пропорционально числу неизвестных M .

Запишем теперь метод Зейделя в матричной форме. Для этого представим матрицу A в виде суммы диагональной, нижней треугольной и верхней треугольной матриц :

Обозначим через Y k = ( Y 1 ,Y 2 ... Y M ) вектор k -ого итерационного шага. Пользуясь этими обозначениями запишем метод Зейделя иначе :

Пусть Y i =Y(i) сеточная функция дискретного аргумента i . Значения сеточной функции Y(i) в свою очередь образуют дискретное множество. На этом множестве можно определять сеточную функцию, приравнивая которую к нулю получаем уравнение относительно сеточной функции Y(i) - сеточное уравнение. Специальным случаем сеточного уравнения является разностное уравнение.

Сеточное уравнение получается при аппроксимации на сетке интегральных и дифференциальных уравнений.

Так дифференциальное уравнение первого порядка :

2

Оно содержит все значения U 0 , U 1 ... U N сеточной функции. Его можно трактовать как рзностное уравнение порядка N равного числу узлов сетки минус единица.

В общем случае под i - можно понимать не только индекс , но и мультииндекс т.е. вектор i = (i 1 ... i p ) с целочисленными компонентами и тогда :

h y = b/M и т.к.

x 0 =y 0

то

D U = f

Анологично вычислим производную по y :

имеем:

1) х=0 (левая граница области G )

Uxxx = 0

Рассмотрим применение метода Зейделя для нахождения приближенного решения нашей разностной задачи (*),(1`) - (4`).

В данном случае неизвестными являются

при чём h x = a/N ,

это есть шаг сетки по x и по у соответственно , а N и М соответственно количество точек разбиения отрезков [0 , а] и [0 , b]

Пользуясь результатами предыдущего раздела запишем уравнение

h y

и U удовлетворяет краевым условиям (1`) - (4`), так как в каждом уравнении связаны вместе не более 13 неизвестных то в матрице А отличны от нуля не более 13-элементов в строке. В соответствии со вторым разделом перепишем уравнение:

При чем U удовлетворяет краевым условиям (1`) - (4`) . Вычисления начинаются с i=1, j=1 и продолжаются либо по строкам либо по столбцам сетки W . Число неизвестных в задаче n = (N-1)(M-1) .

Как видно из вышеизложенных рассуждений шаблон в этой задаче тринадцатиточечный т.е. на каждом шаге в разностном уравнении участвуют 13 точек (узлов сетки) Рассмотрим вид матрицы А - для данной задачи.

Матрица метода получается следующим образом : все узлы сетки перенумеровываются и размещаются в матрице Так что все узлы попадают на одну строку и поэтому матрица метода для нашей задачи будет тринадцатидиагональной .

Министерство общего и профессионального образования РФ

Воронежский государственный университет

“ Решение бигармонического уравнения методом Зейделя ”