Расчетно-графическая работа по высшей математике
1. Описание изделия
На рисунке 1 изображено в трех проекциях изделие - поверхность, состоящая из одного куска цилиндрической и двух кусков конической поверхностей (КоКоЦ).
Дополнительные сведения:
раствор конуса b = 30 0
радиус цилиндра R = 5 см
расстояние от оси конуса до оси цилиндра l =2 см
расстояние между осью цилиндра и вершиной каждого из конусов L = 6 см
В качестве начала координат возьмем точку пересечения осей конусов. Ось абсцисс пустим вдоль оси первого конуса, ось ординат - вдоль оси второго конуса, ось аппликат - параллельно оси цилиндра, причем так, чтобы система координат была правой.
Расстояние d от вершин конусов до начала координат находим с помощью Теоремы Пифагора:2
+ l =
+ 2 = 7.7 (см)
таким образом ось цилиндра описывается следующим уравнением:
Вершина первого конуса имеет следующие координаты - (-7.7; 0; 0), вершина второго конуса - (0; -7.7; 0).
Уравнение цилиндрической поверхности:
(х+2) 2 +(y+2) 2 = R 2 ( I )
Параметризация цилиндрической поверхности:
Определение положения шва на цилиндрической детали:
потребуем, чтобы параметр u
Î
. При этих значениях u шов наиболее удален от конусов и описывается двойным уравнением x = y = - l -
.
Уравнение первой конической поверхности:
(x + 7.7) 2 tg 2 b = y 2 + z 2 (III)
Параметризация первой конической поверхности:
Определение положения шва на первой конической детали:
потребуем, чтобы j Î [- p sin b ; p sin b ]
Тогда шов будет наиболее удален от второго конуса.
Уравнение второй конической поверхности:
(y+7.7) 2 tg 2 b =x 2 +z 2 (V)
Параметризация второй конической поверхности аналогично первой (IV) :
(Также можно обойтись и без нее за счет использования симметрии).
Подставим параметризацию цилиндра (II) в уравнение первого конуса (III) , получаем уравнение:
(-2+Rcos
+7.7)
2
tg
2
b
=(-2+Rsin
)
2
+v
2
, которое в дальнейшем преобразуется к виду:
v = v(u) =
±
(VII)
Знак “ + ” соответствует “верхней” половине линий отреза, Z ³ 0 , знак “ - ” - “нижней” половине этой линии. При некоторых значениях параметра u подкоренное выражение отрицательно, что соответствует отсутствию пересечения образующей цилиндра с первым конусом.
Линию пересечения цилиндра с первым конусом следует строить только при u
. Отражая эту линию симметрично относительно прямой u =
, получаем линию пересечения цилиндра со вторым конусом.
Подставляя параметризацию первого конуса (IV) в уравнение цилиндра (I) , получаем уравнение:
(-7.7+
r
cos
b
+2)
2
+ (
r
sin
b
cos
+2)
2
= R
2
преобразуем:
(
r
cos
b
-5.7)
2
+ (
r
sin
b
cos
+2)
2
= R
2
r
2
cos
2
b
-2*5.7*
r
cos
b
+32.49+
r
2
sin
2
b
cos
2
+4
r
sin
b
cos
+4-R
2
= 0
r
2
(cos2
b
+sin
2
b
cos
2
)+2
r
(-5.7cos
b
+2 sin
b
cos
)+36.49-R
2
= 0
Отсюда
r
=
r
(
j
)=
(IX)
a(
j
)=1- sin
2
b
sin
2
;
b(
j
)=2(2sin
b
cos
-5.7cos
b
);
c=36.49-R 2 .
Линия пересечения симметрична относительно луча j =0; ветвь, соответствующая знаку “ - ” в формуле (IX) , посторонняя.
Подставляя параметризацию первого конуса (IX) , в уравнение второго конуса (V) , получаем уравнение:
(
r
sin
b
cos
+7.7)
2
tg
2
b
=(-7.7+
r
cos
b
)2+
r
2
sin
2
b
sin
2
квадратное уравнение относительно переменной
r
.
После упрощения получим:
r
2
(sin
2
b
cos
2
tg
2
b
- cos
2
b
-sin
2
b
sin
2
)+
r
(2d(sin
b
cos
tg
2
b
+cos
b
))+d
2
(tg
2
b
-1)=0
r
=
,
(X)
где а = sin
2
b
cos
2
tg
2
b
- cos
2
b
- sin
2
b
sin
2
;
b = d(sin
b
cos
tg
2
b
+cos
b
);
c = d 2 (tg 2 b -1).
Она идентична выкройке первого конуса.
Подставляем в формулу (VII) конкретные числовые данные и рассчитываем несколько точек (u, v). Результаты отчета заносим в таблицу 1.
Строим выкройку цилиндрической детали, учитывая, что линию пересечения цилиндра с первым конусом следует строить симметрично относительно прямой u
£
; отражая эту линию пересечения относительно прямой u=
, получаем линию пересечения цилиндра со вторым конусом. Полувысоту цилиндра примем равной 8 см.
Произведем расчет по формулам ( j ; r ) по формулам (IX, X) . Результаты расчетов заносим в таблицы 2 и 3.
Возьмем сектор
радиуса
r
0
=26см., и, учитывая симметричность относительно луча
j
=0, построим выкройку конической детали.
Изготовим выкройки деталей с припусками на соединение их в изделие, учитывая предыдущее описание. Вырежем и склеим.