|
Динамическое представление сигналов
Многие задачи радиотехники
требуют специфической формы представления сигналов. Для решения этих задач
необходимо располагать не только мгновенным значением сигнала, но и знать как он
ведет себя во времени, знать его поведение в "прошлом" и "будущем". Данный способ получения моделей сигналов
заключается в следующем. Реальный сигнал представляется суммой некоторых
элементарных сигналов, возникающих в последовательные моменты времени. Теперь,
если мы устремим к нулю длительность отдельных элементарных сигналов, то в
пределе получим точное представление исходного сигнала. Такой способ описания
сигналов называется Широкое применение нашли два
способа динамического представления. Первый способ в качестве элементарных
сигналов использует ступенчатые функции, которые возникают через равные
промежутки времени (рис. 1.1). Высота каждой
ступеньки равна приращению сигнала на интервале времени При втором способе элементарными сигналами служат
прямоугольные импульсы. Эти импульсы непосредственно примыкают друг к другу и
образуют последовательность, вписанную в кривую или описанную вокруг нее (рис.
1.2). Рассмотрим свойства элементарного сигнала,
используемого для динамического представления по первому способу. Такая функция описывает процесс перехода некоторого физического
объекта из "нулевого" в "единичное" состояние. Переход совершается по линейному
закону за время 2 устремить к нулю, то в пределе переход из одного
состояния в другое будет происходить мгновенно. Эта математическая модель
предельного сигнала получила название В общем случае функция включения может быть смещена
относительно начала отсчета времени на величину t0. Запись смещенной функции
такова : ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ
ФУНКЦИЙ ВКЛЮЧЕНИЯ. Рассмотрим некоторый сигнал S(t), причем для определенности
скажем, что S(t)=0 при t<0. Пусть { ,...} -
последовательность моментов времени и {S1,S2,S3,...} - отвечающая им
последовательность значений сигнала. Если S0=S(0) - начальное значение, то
текущее значение сигнала при любом t приближенно равно сумме ступенчатых функций
: D можно заменить
непрерывной переменной . При этом малые
приращения значения сигнала превращаются в дифференциалы ds = (ds/d , и мы получаем
формулу динамического представления произвольного сигнала посредством функций
Хевисайда Переходя ко второму способу динамического представления сигнала ,
когда элементами разложения служат короткие импульсы, следует ввести новое
важное понятие. Рассмотрим импульсный сигнал прямоугольной формы, заданный
следующим образом : При
любом выборе параметра - напряжение, то П = 1
В*с. Пусть теперь величина Е стремится к нулю. Импульс, сокращаясь по
длительности, сохраняет свою площадь, поэтому его высота должна неограниченно
возрастать. Предел последовательности таких функций при функции Дирака : Теперь
вернемся к задаче описания аналогового сигнала суммой примыкающих друг к другу
прямоугольных импульсов (рис. 2) . Если S представляется как :
Теперь, если произвести подстановку формулы (6) в (7)
предварительно разделив и умножив на величину шага 0 , необходимо суммирование заменить интегрированием
по формальной переменной ,будет отвечать величине Итак,
если непрерывную функцию умножить на дельта-функцию и произведение
проинтегрировать по времени, то результат будет равен значению непрерывной
функции в той точке, где сосредоточен дельта-функции. Обобщенные функции как математические модели
сигналов. t . (t) не вписывается в эти рамки - ее
значение при t = 0 не определено вообще, хотя эта функция и имеет единичный
интеграл. Возникает необходимость расширить понятие функции как математической
модели сигнала. Для этого в математике была введено принципиально новое понятие
В основе идеи обобщенной функции лежит простое
интуитивное соображение. Когда мы держим в руках какой-нибудь предмет , то
стараемся изучить его со всех сторон, как бы получить проекции этого предмета на
всевозможные плоскости. Аналогом проекции исследуемой функции при известной функции j (t) отвечает, в свою очередь, некоторое конкретное
числовое значение. Поэтому говорят, что формула (8) задает некоторый
(t). Непосредственно видно, что данный функционал
линеен, то есть Если этот функционал к тому же еще и непрерывен, то
говорят, что на множестве пробных функций (t) . Следует
сказать, что данную функцию надо понимать формально-аксиоматически, а не как
предел соответствующих интегральных сумм. Обобщенные фнкции , даже не заданные
явными выражениями, обладают многими свойствами классических функкций. Так,
обобщенные функции можно дифференцировать. И в заключение следует сказать, что
в настоящее время теория обобщенных функций получила широкое развитие и
многочисленные применения. На ее основе созданы математические методы изучения
процессов, для которых средства классического анализа оказываются
недостаточными.
| |
