Динамическое представление данных

Р Е Ф Е Р А Т
на тему :
" Динамическое представление сигналов "
Выполнил: Зазимко С.А.
Принял : Котоусов А.С.
МОСКВА
Динамическое представление сигналов.
Многие задачи радиотехники требуют специфической формы
представления сигналов. Для решения этих задач необходимо
располагать не только мгновенным значением сигнала, но и знать как он
ведет себя во времени, знать его поведение в "прошлом" и "будущем".
ПРИНЦИП ДИНАМИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ.
Данный способ получения моделей сигналов заключается в
следующем:
Реальный сигнал представляется суммой некоторых элементарных
сигналов, возникающих в последовательные моменты времени. Теперь,
если мы устремим к нулю длительность отдельных элементарных
сигналов, то в пределе получим точное представление исходного сигнала.
Такой способ описания сигналов называется динамическим
представлением , подчеркивая тем самым развивающийся во времени
характер процесса.
На практике широкое применение нашли два способа
динамического представления.
Первый способ в качестве элементарных сигналов использует
ступенчатые функции, которые возникают через равные промежутки
времени ? . Высота каждой ступеньки равна приращению сигнала на
интервале времени ?. В результате сигнал может быть представлен как
на рисунке 1.
рис. 1
При втором способе элементарными сигналами служат
прямоугольные импульсы. Эти импульсы непосредственно примыкают
друг к другу и образуют последовательность, вписанную в кривую или
описанную вокруг нее . В этом случае исходный сигнал имеет вид как на
рисунке 2.
рис. 2
Теперь рассмотрим свойства элементарных сигналов. Для начала :
используемого для динамического представления по первому способу.
ФУНКЦИЯ ВКЛЮЧЕНИЯ.
Допустим имеется сигнал, математическая модель которого
выражается системой :
? 0, t ?.
Такая функция описывает процесс перехода некоторого
физического объекта из "нулевого" в "единичное" состояние.
Переход совершается по линейному закону за время 2?. Теперь если
параметр ? устремить к нулю, то в пределе переход из одного состояния в
другое будет происходить мгновенно. Такая математическая модель
предельного сигнала получила название функции включения или
функции Хевисайда :
????? ????????? t < ??
??t??????????????? t ? ?? (2)
????????? t ? ??
В общем случае функция включения может быть смещена
относительно начала отсчета времени на величину t0. Запись смещенной
функции такова :
????? ????????? t < t0?
??t - t0???? ????????? t ? t0? (3)
????????? t ? t0?
ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
ПРОИЗВОЛЬНОГО СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ
ФУНКЦИЙ ВКЛЮЧЕНИЯ.
Рассмотрим некоторый сигнал S(t), причем для определенности
скажем, что S(t)=0 при t<0. Пусть {?,2?,3?,...} - последовательность
моментов времени и {S1,S2,S3,...} - отвечающая им последовательность
значений сигнала. Если начальное значение сигнала есть S0=S(0), то
текущее значение сигнала при любом t можно приближенно представить
в виде суммы ступенчатых функций :
?
s(t)?s0?(t)+(s1-s0)?(t-?)+...=s0?(t)+?(sk-sk-1)?(t-k?).
k=1
? Если теперь шаг ? устремить к нулю. то дискретную переменную k?
можно заменить непрерывной переменной ?. При этом малые
приращения значения сигнала превращаются в дифференциалы
ds=(ds/d?)d? , и мы получаем формулу динамического
представления произвольного сигнала посредством функций
Хевисайда
?
? ds
S(t)=s0 ?(t) + ? ?(t-?) d? (4)
? d?
0
Переходя ко второму способу динамического представления
сигнала , когда элементами разложения служат короткие импульсы,
следует ввести новое важное понятие - понятие дельта-функции.
ДЕЛЬТА - ФУНКЦИЯ .
Рассмотрим импульсный сигнал прямоугольной формы, заданный
следующим образом :
1 ? ? ? ?
u(t;?) = ----- ? ? (t + ---- ) - ? (t - ---- ) ? (5)
? ? 2 2 ?
При любом выборе параметра ? площадь этого импульса
равна единице :
?
П = ? u dt = 1
- ?
Например, если u - напряжение, то П = 1 В*с.
Теперь устремим величину ? к нулю. Импульс, сокращаясь по
длительности, сохраняет свою площадь, поэтому его высота должна
неограниченно возрастать. Предел последовательности таких функций
при ? ? 0 носит название дельта-функции , или функции Дирака :
?(t) = lim u (t;?)
??0
Дельта функция - интересный математический объект. Будучи
равной нулю всюдю, кроме как в точке t = 0 дельта-функция тем не
менее обладает единичным интегралом. А вот так выглядит
символическое изображение дельта-функции :
ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛА
ПОСРЕДСТВОМ ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЙ.
Теперь вернемся к задаче описания аналогового сигнала суммой
примыкающих друг к другу прямоугольных импульсов (рис. 2) . С
помощью дельта-функции u (t) представимо в виде совокупности
примыкающих импульсов. Если Sk - значение сигнала на k - ом
отсчете, то элементарный импульс с номером k представляется как :
?k(t) = Sk [ ?(t - tk) - ?(t - tk - ?) ] (6)
В соответствии с принципом динамического представления
исходный сигнал S (t) должен рассматриваться как сумма таких
элементарных слагаемых :
?
S(t) = ? ? (t) (7)
k= - ? k
В этой сумме отличным от нуля будет только один член, а именно
тот, что удовлетворяет условию для t :
tk < t < tk+1
Теперь, если произвести подстановку формулы (6) в (7)
предварительно разделив и умножив на величину шага ?, то
? 1
S(t) = ? Sk --- [ ?(t - tk) - ?(t - tk - ?) ] ?
k=- ? ?
Переходя к пределу при ? ? 0 , необходимо суммирование
заменить интегрированием по формальной переменной ?, дифференциал
которой d? ,будет отвечать величине ? .
Поскольку
1
lim [ ?(t - tk) - ?(t - tk - ?) ] ---
??? ?
получим искомую формулу динамического представления сигнала
?
S (t) = ? s (?) ?(t - ?) d?
- ?
Итак, если непрерывную функцию умножить на дельта-функцию и
произведение проинтегрировать по времени, то результат будет равен
значению непрерывной функции в той точке, где сосредоточен ? -
импульс. Принято говорить, что в этом состоит фильтрующее свойство
дельта-функции.
Из определения дельта-функции следует (3) . Следовательно,
интеграл дельта-функции от - ? до t есть единичный скачок , и
дельта-функцию можно рассматривать как производную единичного
скачка :
?(t) = 1' (t) ;
?(t-t0) = 1' (t-t0) .
Обобщенные функции как математические модели
сигналов.
В классической математике полагают, что функция S(t) должна
принемать какие-то значения в каждой точке оси t . Однако
рассмотренная функция ?(t) не вписывается в эти рамки - ее значение
при t = 0 не определено вообще, хотя эта функция и имеет единичный
интеграл. Возникает необходимость расширить понятие функции как
математической модели сигнала. Для этого в математике была введено
принципиально новое понятие обобщенной функции.
В основе идеи обобщенной функции лежит простое интуитивное
соображение. Когда мы держим в руках какой-нибудь предмет , то
стараемся изучить его со всех сторон, как бы получить проекции этого
предмета на всевозможные плоскости. Аналогом проекции исследуемой
функции ?(t) может служить, например, значение интеграла
?
? ?(t) ?(t) dt (8)
- ?
при известной функции ?(t) , которую называют пробной функцией.
Каждой функции ?(t) отвечает, в свою очередь, некоторое
конкретное числовое значение. Поэтому говорят, что формула (8) задает
некоторый функционал на множестве пробных функций ?(t).
Непосредственно видно, что данный функционал линеен, то есть
(?, ????????2) = ???,??) + ?(?,?2).
Если этот функционал к тому же еще и непрерывен, то говорят, что
на множестве пробных функций ?(t) задана обобщенная функция ?(t)
. Следует сказать, что данную функцию надо понимать формально-
аксиоматически, а не как предел соответствующих интегральных сумм.
Обобщенные фнкции , даже не заданные явными выражениями,
обладают многими свойствами классических функкций. Так, обобщенные
функции можно дифференцировать.
И в заключение следует сказать, что в настоящее время теория
обобщенных функций получила широкое развитие и многочисленные
применения. На ее основе созданы математические методы изучения
процессов, для которых средства классического анализа оказываются
недостаточными.
Литература :
1. А. Л. Зиновьев, Л. И. Филипов ВВЕДЕНИЕ В
ТЕОРИЮ СИГНАЛОВ И ЦЕПЕЙ.
2. С. И. Баскаков РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
И СИГНАЛЫ.
Также эту функцию называют единичной импульсной функцией,
Говорят, что дельта-функция сосредоточена в этой точке.
Отсюда вытекает структурная схема систем, осуществляющей измерение
мгновенных значений аналогового сигнала S(t). Система состоит из двух
звеньев : перемножителя и интегратора.
Обобщенные функции иногда называют также распределениями.
1