Почти полная шпаргалка по математике.

Формулы сокращенного умножения и
разложения на множители :
(a±b)?=a?±2ab+b?
(a±b)?=a?±3a?b+3ab?±b?
a?-b?=(a+b)(a-b)
a?±b?=(a±b)(a?‡ab+b?),
где знак ‡ озн. Противополож. знак
xn-an=(x-a)(xn-1+axn-2+a?xn-3+...+an-1)
ax?+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
где x1 и — корни уравнения
ax?+bx+c=0
Степени и корни :
ap·ag = ap+g
ap:ag=a p-g
(ap)g=a pg
ap /bp = (a/b)p
ap?bp = abp
a0=1; a1=a
a-p = 1/a
p?a =b => bp=a
p?ap?b = p?ab
?a ; a ? 0
____
/ __ _
p? g?a = pg?a
___ __
pk?agk = p?ag
p ____
/ a p?a
/ ?? = ????
? b p?b
a 1/p = p?a
p?ag = ap/g
Квадратное уравнение
ax?+bx+c=0; (a?0)
x1,2= (-b??D)/2a; D=b? -4ac
D>0? x1?x2 ;D=0? x1=x2
D<0, корней нет.
Теорема Виета:
x1+x2 = -b/a
x1? x2 = c/a
Приведенное кв. Уравнение:
x? + px+q =0
x1+x2 = -p
x1?x2 = q
Если p=2k (p-четн.)
и x?+2kx+q=0, то x1,2 = -k??(k?-q)
Логарифмы:
loga x = b => ab = x; a>0,a?0
a loga x = x, logaa =1; loga 1 = 0
loga x = b; x=ab
loga b = 1/(log b a)
logaxy = logax + loga y
loga x/y = loga x - loga y
loga xk =k loga x (x >0)
logak x =1/k loga x
loga x = (logc x)/( logca); c>0,c?1
Прогрессии
Арифметическая
an = an-1 +d
2an= an-1 + an+1
an = a1 + d(n-1)
Sn = n(a1 + an )/2
Sn = (a1+d(n-1))n/2
Sn= a1 + a2 +...+an
Геометрическая
bn = bn-1 ? q
b2n = bn-1? bn+1
bn = b1?qn-1
Sn= (bnq- b1)/(q-1)
Sn = b1 (qn-1)/(q-1)
S= b1/(1-q)
Тригонометрия.
sin x = a/c
cos x = b/c
tg x = a/b=sinx/cos x
ctg x = b/a = cos x/sin x
sin (?-?) = sin ?
sin (?/2 -?) = cos ?
cos (?/2 -?) = sin ?
cos (? + 2?k) = cos ?
sin (? + 2?k) = sin ?
tg (? + ?k) = tg ?
ctg (? + ?k) = ctg ?
sin? ? + cos? ? =1
tg ? = cos? / sin? , ? ? ?n, n?Z
tg? ? ctg? = 1, ? ? (?n)/2, n?Z
1+tg?? = 1/cos?? , ???(2n+1)/2
1+ ctg?? =1/sin?? , ?? ?n
Формулы сложения:
sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y
sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y
cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y
cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y
tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y )
x, y, x + y ? ?/2 + ?n
tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y)
x, y, x - y ? ?/2 + ?n
Формулы двойного аргумента.
sin 2? = 2sin ? cos ?
cos 2? = cos? ? - sin? ? = 2 cos? ? - 1 =
= 1-2 sin??
tg 2? = (2 tg?)/ (1-tg??)
1+ cos ? = 2 cos? ?/2
1-cos? = 2 sin? ?/2
tg? = (2 tg (?/2))/(1-tg?(?/2))
Ф-лы половинного аргумента.
sin? ?/2 = (1 - cos ?)/2
cos??/2 = (1 + cos?)/2
tg ?/2 = sin?/(1 + cos? ) = (1-cos ?)/sin ?
?? ? + 2?n, n ?Z
Ф-лы преобразования суммы в произв.
sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)
sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)
cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2
cos x - cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2
sin (x+y)
tg x + tg y = —————
cos x cos y
sin (x - y)
tg x - tgy = —————
cos x cos y
Формулы преобр. произв. в сумму
sin x sin y = ?(cos (x-y) - cos (x+y))
cos x cos y = ?(cos (x-y)+ cos (x+y))
sin x cos y = ?(sin (x-y)+ sin (x+y))
Соотнош. между ф-ями
2 tg x/2
sin x = ——————
1+ tg? x/2
1-tg 2/x
cos x = —————
1+ tg? x/2
Тригонометрические уравнения
sin x = m ; |m| ? 1
x = (-1)n arcsin m + ?k, k? Z
sin x =1 sin x = 0
x = ?/2 + 2?k x = ?k
sin x = -1
x = -?/2 + 2 ?k
cos x = m; |m| ? 1
x = ? arccos m + 2?k
cos x = 1 cos x = 0
x = 2?k x = ?/2+?k
cos x = -1
x = ?+ 2?k
tg x = m
x = arctg m + ?k
ctg x = m
x = arcctg m +?k
sin x/2 = 2t/(1+t2); t - tg
cos x/2 = (1-t?)/(1+t?)
Геометрия
Треугольники
? + ? + ? =180
Теорема синусов
a? = b?+c? - 2bc cos ?
b? = a?+c? - 2ac cos ?
c? = a? + b? - 2ab cos ?
Медиана дели треуг. на два
равновеликих. Медиана делит
противопол. сторону напополам.
Биссектриса - угол.
Высота падает на пр. сторону
под прямым углом.
Формула Герона :
p=?(a+b+c)
_____________
S = ?p(p-a)(p-b)(p-c)
S = ?ab sin ?
Sравн.=(a??3)/4
S = bh/2
S=abc/4R
S=pr
Трапеция.
S = (a+b)/2? h
Круг
S= ?R?
Sсектора=(?R??)/360
Стереометрия
Параллепипед
V=Sосн?Р
Прямоугольный
V=abc
Пирамида
V =1/3Sосн.?H
Sполн.= Sбок.+ Sосн.
Усеченная :
H . _____
V = 3 (S1+S2+?S1S2)
S1 и S2 — площади осн.
Sполн.=Sбок.+S1+S2
Конус
V=1/3 ?R?H
Sбок. =?Rl
Sбок.= ?R(R+1)
Усеченный
Sбок.= ?l(R1+R2)
V=1/3?H(R12+R1R2+R22)
Призма
V=Sосн.?H
прямая: Sбок.=Pосн.?H
Sполн.=Sбок+2Sосн.
наклонная :
Sбок.=Pпс?a
V = Sпс?a, а -бок. ребро.
Pпс — периметр
Sпс — пл. перпенд. сечения
Цилиндр.
V=?R?H ; Sбок.= 2?RH
Sполн.=2?R(H+R)
Sбок.= 2?RH
Сфера и шар .
V = 4/3 ?R? - шар
S = 4?R? - сфера
Шаровой сектор
V = 2/3 ?R?H
H - высота сегм.
Шаровой сегмент
V=?H?(R-H/3)
S=2?RH
град
0?
30?
45?
60?
90?
120?
135?
180?
?
-?/2
-?/3
-?/4
-?/6
0
?/6
?/4
?/3
?/2
2?/3
3?/4
3?/6
?
sin?
-1
-?3/2
-?2/2
- ?
0
?
?2/2
?3/2
1
- ?
0
cos?
1
?3/2
?2/2
?
0
- ?
-?2/2
- ?3/2
-1
tg?
?
-?3
-1
-1/?3
0
1/?3
1
?3
?
-?3
-1
0
ctg?
---
?3
1
1/?3
0
-1/?3
-1
--
n
2
3
4
5
6
7
8
9
2
4
9
16
25
36
49
64
81
3
8
27
64
125
216
343
512
729
4
16
81
256
625
1296
2401
4096
6561
5
32
243
1024
3125
7776
16807
32768
59049
6
64
729
4096
15625
46656
7
128
2181
8
256
6561
Файл придуман и сделан, в
смысле, напечатан Денисом
Павлюком. Файл не
предназначен для
коммерческого
использования.