|
Элементарные конфортные отображения .
ЕЛЕЦ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ.
КУРСОВАЯ РАБОТА
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Тема: «Элементарные конфортные
отображения»
Выполнила: студентка группы М-31
физико-математического факультета
Е.Г. Петренко
Научный руководитель:
О.А. Саввина
1998 г.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Краткая справка. Пусть имеются два множества комплексных точек
и . Если задан закон , ставящий в соответствие
каждому точку (или точки) , то говорят, что на
множестве задана функция комплексной переменной со
значениями в множестве . Обозначают это следующим образом:
. (Часто говорят также, что отображает множество в
множество .)
Задание функции эквивалентно заданию двух
действительных функций и тогда
, где , .
Как и в обычном анализе, в теории функций комплексной
переменной очень важную роль играют элементарные функции.
Рассмотрим некоторые из них.
1. - линейная функция. Определена при
всех . Отображает полную комплексную плоскость на полную
комплексную плоскость . Функция и обратная ей
- однозначны. Функция поворачивает
плоскость на угол, равный , растягивает (сжимает) ее в
раз и после этого осуществляет параллельный сдвиг на величину .
Непрерывна на всей комплексной плоскости.
2. . Определена на всей комплексной плоскости,
причем , . Однозначна, непрерывна всюду, за
исключением точки . Отображает полную комплексную
плоскость на полную комплексную плоскость , причем точки,
лежащие на единичной окружности, переходят в точки этой же
окружности. Точки, лежащие внутри окружности единичного
радиуса, переходят в точки, лежащие вне ее, и наоборот.
3. - показательная функция. По определению
, т.е. , ,
. Из определения вытекают формулы Эйлера:
; ; ;
Определена на всей комплексной плоскости и непрерывна на ней.
периодична с периодом . Отображает каждую полосу,
параллельную оси , шириной в плоскости в
полную комплексную плоскость . Из свойств отметим
простейшие: ,
4. - логарифмическая функция (натуральный
логарифм). По определению:
.
Выражение называется главным
значением , так что . Определен для всех
комплексных чисел, кроме . - бесконечно-значная
функция, обратная к . ,
5. - общая показательная функция. По
определению, . Определена для всех , ее главное
значение , бесконечно-значна.
6. Тригонометрические функции
; ; ; По определению,
; ;
;
7. Гиперболические функции. Определяются по аналогии с
такими же функциями действительной переменной, а именно:
,
Определены и непрерывны на всей комплексной плоскости.
Задачи с решением.
1) Найти модули и главные значения аргументов комплексных
чисел: , , , ,
Решение. По определению, , , ; если
, то очевидно, , ,
, ,
, , ,
, , ,
Найти суммы:
1)
2)
Решение. Пусть: , а
. Умножим вторую
строчку на , сложим с первой и, воспользовавшись формулой
Эйлера, получим:
; Преобразуя, получим:
,
3. Доказать, что: 1) 2)
3) 4)
Доказательство:
1) По определению,
2)
3) ;
Выразить через тригонометрические и гиперболические функции
действительного аргумента действительные и мнимые части, а
также модули следующих функций: 1) ; 2) ; 3) ;
Решение: и, учитывая
результаты предыдущего примера, получим:
, , ,
Напомним, что
2)
, ,
3)
, ,
, .
Найти действительные и мнимые части следующих значений
функций: ; ;
Решение. Следуя решению примера 4, будем иметь:
; ; ; ;
;
Вычислить: 1) ; 3) ; 5) ;
2) ; 4) ; 6) ;
Решение. По определению, ,
1) , , ,
2) , , ,
3) , , ,
4) , , ,
5) , , ,
6) , , ,
Найти все значения следующих степеней:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
Решение. Выражение для любых комплексных и
определяются формулой
1)
2)
3)
4) .
8. Доказать следующие равенства:
1) ;
2) ;
3)
Доказательство: 1) , если , или
, откуда , или .
Решив это уравнение, получим , т.е.
и
2) , если , откуда
, или , следовательно,
,
3) , если , откуда , или
.
Отсюда , следовательно,
| |
