Применение метода частных диаграмм к исследованиям устойчивости систем с логическими алгоритмами управления.

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана
Курсовая работа по курсу "Нелинейные САУ"
на
тему:
Применение метода частотных круговых диаграмм к
исследованию устойчивости систем с логическими
алгоритмами управления.
Выполнил: ст-т гр. АК4-81
Смык В.Л.
Руководитель: профессор
Хабаров В.С.
Реутов 1997 г.
Применение метода частотных круговых диаграмм к
исследованию устойчивости систем с логическими
алгоритмами управления.
На ранней стадии развития теории автоматического регулирования
требование устойчивости работы системы было первым и обычно
единственным и содержание большинства теоретических исследований
сводилось к иследованию устойчивости.
"Термин "устойчивость" настолько выразителен, что он сам за
себя говорит",-отмечают в начале изложения теории устойчивости
Ж. Ла Салль и С. Лефшец [1]. Это вполне справедливо, но,
несмотря на это, неточности и нелогичности можно встретить как
раз не в математических, а в смысловых понятиях и терминах.
Устойчивостью любого явления в обиходе называю его способность
достаточно длительно и с достаточной точностью сохронять те
формы своего существования, при утрате которых явление перестает
быть самим сабой. Однако не только в обиходе, но и в научной
терминалогии устойчивым называют не явление, а систему, в корой
оно наблюдается, хотя это не оправдывает логически. Устойчивы ли
физические тела - шар или куб? Такой вопрос будет иметь смысл,
если речь идет о материале, из которого они сделаны.
(Металлический шар
устойчив, шар из дыма нет.) Теорию управления интересует,
однако, не эта прочнасная устойчивость. Подразумевается, что
система управления как инженерная конструкция заведома
устойчива, и в теории изучается устойчивость не самой системы, а
ее состояний и функционирования. В одной и той же системе одни
состояния или движения могут быть устойчивыми, а другие не
устойчивыми. Более того, одно и то же жвижение может быть
устойчивым относительно одной переменной и неустойцивым
относительно другой - это отмечал еще А.М. Ляпунов [2]. Вращение
ротора турбины устойчиво по отношению к угловой скорости и
неустойчиво относительно угла поворота вала. Движение ракеты
устойчиво относительно траектории и неустойчиво по отношению к
неподвижной системе координат. Поэтому нужно оговаривать,
устойчивость какого состояния или движения в системе и
относительно каких переменных изучается. Так же есть много
методов для оценки самой устойчивости. Мы рассмотрим как можно
оценить устойчивость системы с логическим алгоритмом управления
методом круговых диаграмм.
Рассмотрим теоретическую часть и посмотрим что из себя
представляет круговой критерий. Пусть дана система
.
x=Ax+b?, ?=c'x, (1)
где ? и ? - в общем случае векторы (и, следовательно, b и с -
прямоугольные матрицы), а матрица А не имеет собственных
значений на линейной оси. Предположим , что для некоторого ?, ?
? ?
система (1), дополненая соотношением ?????, асимптотически
усойчива.
Для абсолютной экпоненциальной устойчивости системы (1) в
классе М( ) нелинейностей ?????,t), удовлетворяющих условию
? ????t)/? ? (2)
достаточно, чтобы при всех ?? ???????? выполнялось соотношение
Re{[1+ ?????? W(j?)]}>0. (3)
Круговой критерий вытекает из квадратичного критерия для формы
F(?????( ??????? ??? Действительно, как было показано выше, форма
F(j???) имеет вид
F(j??????Re{[1+ W(j?????? W(j?)]}|?|
Из этой формулы после сокращения на |?| следует (3).
В (3) ??? ? ???? Случай, когда либо ???, либо ???
рассматривается аналогично.
Круговой критерий представляет собой распространение линейных
частотных критериев устойчивости Найквиста, Михайлова и других
на линейные системы с одним линейным или нелинейным,
стационарным или нестационарным блоком. Он получается из (3),
если вместо передаточной матрицы использовать частотную
характеристику линейной части W(j?).
Обозначая комплексную переменную W(j?)=z, рассмотрим систему с
одной нелинейностью, удовлетворяющей одному из следующих
условий:
Re[(1+ z?(?? z )]?0, если ??? ? ???? (4)
Re[(1+ z)z ]?0, если ??? ? ???? (5)
Re[z(1+ z )]?0, если ??? ? ???? (6)
Пусть С( ) - облость комплексной плоскости z, определяемая
этими условиями. Граница В( ) области определяемая
уравнениями получаемыми из (4)-(6) заменой знаков неравенств
равенствами. Для (4) получаем окружность, проходящую через точки
-1/ , -1/ с центром на оси абсцисс, причем область С будет
внутренностью этой окружности, если >0, т.е. если нелинейные
характеристики лежат в 1 и 3 квадрантах, и ее внешностью, если
сектор ( ) захватывает два смежных квадранта. Если одна из
границ сектора совпадает с осью абсцисс, т.е. если =0 или =0
, то область С будет полуплоскостью, а ее граница - вертикальной
прямой, проходящей соответственно через -1/ или -1/ . На
рисунке 1 показаны границы в плоскости z для различного
расположения секторов ( ) в плоскости ?? ?. Там же изображены
кривые W(j?), ?>0 для неособого случая, расположенные так, что
возможна абсолютная устойчивость. Однако только приемлимого
расположения хаоактеристик W(j?) еще недостаточно для суждения
об абсолютной устойчивости : кроме этого, нужно еще потребовать,
чтобы линейная замкнутоя система была асимптотически устойчивой.
Круговой критерий обеспечивает также абсолютную устойчивость
для системы с любым блоком, вход ? и выход ? которого
удовлетворяют для всех t неравенству
( ?-?)(?- ?)?0 (7)
Рисунок 1, а.
Рассмотрим систему, приведенную на рис. 2.
А Х ? У (P) Z
(-)
G(p) g
Рисунок 2.
Здесь W (p) - оператор линейной части системы, которая может
иметь в общем случае следущий вид:
W (p)= ;
(8)
W(p)= ;
Алгоритм регулятора имеет вид:
y=? x,
при gx>0
? = (9)
- при gx<0,
g=(
В форме уравнений Коши рассматриваемая система имеет вид:
= ,
=- , (10)
k при g >0
где =
- k при g <0,
g=c + ; = .
Соответствие записей системы на рис. 2 достигается, когда при
W (p)= в уравнениях (10) имеем:
(11)
а при W(p)= имеем:
(12)
Причем для обоих случаев (11) и (12) имеет место соотношение
(13)
В соответствии с изложенным одинаково справедливо рассматривать
в виде структурной схемы на рис. 2 с известным линейными
операторами - и G(p) или в виде формы Коши (10).
Дополнительно отметим, что структурная интерпритация
рассматриваемой системы на рис. 2 имеет еще одну структурную
схему описания, приведенную на рис. 3.
|x|=c
? g y z
(-) x G(p) W(p)
Рисунок 3.
Это означает, что аналитической записи (10) соответствуют два
структурных представления исследуемой СПС, причем второе
позволяет рассматривать систему (10) как релейную систему с
изменяемым ограничение, когда |x| - var.
Далее перейдем к анализу нашего метода.
Согласно частотной теоремы (10), для абсолютной устойчивости
системы на рис. 3 лостаточно, чтобы при всех ?, изменяющихся от
? ? до + ?, выполнялось соотношение:
Re{[1+ ?????? W(j?)]}>0,
а гадограф ?W(j?)+1 при соответствовал критерию Найквиста.
Для исследуемой системы условие (3) удобнее записать в виде
(4) и (5).
На рис. 4 приведенны возможные нелинейные характеристики из
класса М( ) и годографы W(j?), расположенные таким образом,
что согласно (4) и (5) возможна абсолютная устойчивость.
y ^
y= g ( )
|x| y= g (при =0)
>
0
"а" "б"
"в" "г"
Рисунок 4.
В рассматриваемом случае (10) при
W (p)= , когда
W(p)= W (p)G(p), G(p)= p+1,
годограф W(j?) системы на рис. 5.
j
W(j?)
???
> <
=
?=0
Рисунок 5.
В случае (10) справедливы графические формы на рис. 4 в,г, т.е.
исследуемая система абсолютно устойчива в смысле кругового
критерия (3) или (5) при
> (14)
Интересно заметить, что достаточные условия абсолютной устойчивости
по Ляпунову
а > 0 , ?(t) > 0
и
a > c
для рассматриваемого случая совпадают с достаточными условиями
абсолютной устойчивости, полученными для кругового критерия
(14), если выполняется требование
?(t) > 0 (15)
поскольку, согласно (11) и (13) a=a = .
Докажем это, используя условия существования скользящего
режима
- k??(t)=c k
т.е. подставим сюда вместо коэфициентов а,с, и k их выражения
через
, , , тогда получим
- ? ?(t)= ? (16)
Согласно рис. 5 и условия (16) получаем:
1) при = , ?(t)=0
2) при > , ?(t)>0
3) при < , ?(t)<0,
что и требовалось доказать.
Теперь рассмотрим нашу систему с логическим алгоритмом
управления, ее логическая схема приведена на рис. 6.
|x|=c
? g ? z
(-) x G(p) (p)
Рисунок 6.
В данном случае считаем что:
- варьируемая величина,
=0.5,
=0.1 (анализ поведения системы при изменении данного параметра
исследуется в работе ст-та Новикова, мы берем оптимальное
значение),
=0.1,1 (коэффициент обратной связи),
=10,100.
Рассмотрим теперь саму функцию:
W(p)=G(p)W (p),
где G(p) - функция корректора, W (p)= (p)W (p), где
(p)= , а W (p) в свою очередь будет:
W (p)= ,
где , соответственно вся функция имеет вид:
W(p)= ;
Теперь заменяем p на j? и имеем вид:
;
Для построения гадогрофа выведем формулы для P(?), jQ(?) которые
имеют вид:
P(?)= ;
jQ( ;
Графики можно посмотреть в приложении N 2.
Учитывая , что добротность ? должна быть ? 0.5?0.7 мы можем
определить добротность нашей системы, она примерно равна 0.5.
Отсюдо видно, что из-за увеличения и , ? уменьшается,
можно сделать вывод, что колебательность звена увеличиться. Это
можно наблюдать на графиках 1.13 - 1.16 в приложении N 2.
Но это не подходит по требованию нашей задачи. Так как
> , то можно сделать вывод, что коректор будет влиять
только на высоких частотах, а на низких будет преобладать ,
что можно наблюдать на графиках 1.1 - 1.4. На графиках 1.5 - 1.8
можно наблюдать минемальные значения , это значит что, при
этих значениях будет максимальные значения полки
нечувствительности релейного элемента.
Минемальные значения полки нечуствительности можно наблюдать
на графиках 1.9 - 1.12, особенно при минемальном значении .
Приложение N 1.
Программа для построения годографов на языке программирования
СИ ++.
#include
#include
void Godograf(float Tpr, float Ko, float Kos, int Color,
int Xc, int Yc, int x, int y, int z, int err);
void Osi(int Xc, int Yc, int kol);
int xmax, ymax;
float Kos[]={0.1,1.0},
Ko[] ={10.0,100.0},
Tpr[]={0.01,0.09,0.2,0.5};
void main(void)
{
float P_w, Q_w, w;
int driver, mode, err;
driver = DETECT;
initgraph(&driver,&mode,"");
err = graphresult();
if (err!=grOk) {cout<<"\n\t"<br> getch();}
else {
xmax = getmaxx();
ymax = getmaxy();
int Xc=(int)(xmax/2), Yc=(int)(ymax/2);
for(int i=0;i<=1;i++) for(int j=0;j<=1;j++) for(int k=0;k<=3;k++){
cleardevice();
setviewport(0,0,xmax,ymax,0);
Osi((int)(xmax/2),(int)(ymax/2),i+j+k);
Godograf(Tpr[k],Ko[j],Kos[i],15,(int)(xmax/2),(int)(ymax/2),k,j,i,1);
setcolor(7);
setlinestyle(1,0,1);
rectangle(Xc-18,Yc-15,Xc+18,Yc+15);
setlinestyle(0,0,1);
rectangle(10,Yc+5,250,Yc+205);
setcolor(15);
setviewport(10,(int)(ymax/2)+5,250,(int)(ymax/2)+205,1);
setfillstyle(1,0);
floodfill(5,5,7);
line(10,100,230,100);
line(125,10,125,190);
Godograf(Tpr[k],Ko[j],Kos[i],15,125,100,k,j,i,0);};
closegraph();
}
}
void Godograf(float Tpr, float Ko, float Kos, int Color,
int Xc, int Yc, int x, int y, int z, int err)
{
float P_w1=0.0, Q_w1=0.0,
P_w, Q_w,
To=0.5, Tg=0.1, P_w_min=0.0;
for(float w=0;w<=100;w=w+0.05){
if(((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-
To*Tpr*w*w*w))!=0){
P_w = (Ko*w*Tg*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)+
(Kos*Ko*Ko-(To+Tpr)*Ko*w*w))/
((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));
Q_w = (Tg*(Kos*Ko*Ko*w-(To+Tpr)*Ko*w*w)-
Ko*(w+Tpr*Kos*Ko*Ko*w-Ko*To*Tpr*w*w*w))/
((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));
if (abs(P_w)>abs(P_w1)) P_w1=P_w;
if (abs(Q_w)>abs(Q_w1)) Q_w1=Q_w;
if (P_wbr> if (P_w1==0) P_w1=P_w1+0.01;
if (Q_w1==0) Q_w1=Q_w1+0.01;
};
};
float KmasX =(float)(xmax-Xc-100)/P_w1,
KmasY =(float)(ymax-Yc-100)/Q_w1;
if (KmasX =140) KmasY=100;
if (err==0) {KmasX=KmasX*4; KmasY=KmasY*4;};
w = 0;
if(((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-
To*Tpr*w*w*w))!=0){
P_w = KmasX*(Ko*w*Tg*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)+
(Kos*Ko*Ko-(To+Tpr)*Ko*w*w))/
((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));
Q_w = KmasY*(Tg*(Kos*Ko*Ko*w-(To+Tpr)*Ko*w*w)-
Ko*(w+Tpr*Kos*Ko*Ko*w-Ko*To*Tpr*w*w*w))/
((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));
moveto(Xc+P_w,Yc-Q_w); };
setcolor(Color);
setcolor(9);
line(Xc+P_w_min*KmasX,10,Xc+P_w_min*KmasX,ymax-10);
gotoxy(2,5);
printf("K2=");
printf("%f",(-1/P_w_min));
setcolor(15);
for(w=0;w<=700;w=w+0.05){
if(((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-
To*Tpr*w*w*w))!=0){
P_w = KmasX*(Ko*w*Tg*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)+
(Kos*Ko*Ko-(To+Tpr)*Ko*w*w))/
((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));
Q_w = KmasY*(Tg*(Kos*Ko*Ko*w-(To+Tpr)*Ko*w*w)-
Ko*(w+Tpr*Kos*Ko*Ko*w-Ko*To*Tpr*w*w*w))/
((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));
lineto(Xc+P_w,Yc-Q_w);
};
};
setcolor(13);
circle(Xc-KmasX,Yc,2);
circle(Xc-KmasX,Yc,1);
putpixel(Xc-KmasX,Yc,13);
outtextxy(Xc-KmasX-7,Yc-12,"-1");
setcolor(15);
if (err==1){
if (x==0) outtextxy(10,10,"Tpr = 0.01");
if (x==1) outtextxy(10,10,"Tpr = 0.09");
if (x==2) outtextxy(10,10,"Tpr = 0.2");
if (x==3) outtextxy(10,10,"Tpr = 0.5");
if (y==0) outtextxy(10,30,"Ko = 10");
if (y==1) outtextxy(10,30,"Ko = 100");
if (z==0) outtextxy(10,50,"Koc = 0.1");
if (z==1) outtextxy(10,50,"Koc = 1.0");}
else {
char ch=' ';
while(ch!=27&&ch!=13)
if (kbhit()!=0) ch=getch();};
};
void Osi(int Xc, int Yc, int kol)
{
setcolor(15);
rectangle(0,0,xmax,ymax);
line(Xc,10,Xc,ymax-10);
line(10,Yc,xmax-10,Yc);
line((int)(xmax/2)-3,15,(int)(xmax/2),10);
line((int)(xmax/2),10,(int)(xmax/2)+3,15);
line(xmax-15,(int)(ymax/2)-3,xmax-10,(int)(ymax/2));
line(xmax-15,(int)(ymax/2)+3,xmax-10,(int)(ymax/2));
settextstyle(2,0,5);
outtextxy((int)(xmax/2)+7,10,"jQ(w)");
outtextxy(xmax-35,(int)(ymax/2)+7,"P(w)");
settextstyle(2,0,4);
outtextxy((int)(xmax/2)-8,(int)(ymax/2)+1,"0");
settextstyle(0,0,0);
if (kol==5) outtextxy(5,ymax-15,"'Esc' - exit");
else outtextxy(5,ymax-15,"'Enter' - next ");
setcolor(15);
};
Приложение N 2.
Рисунок N 1.1
Рисунок N 1.2
Рисунок 1.3
Рисунок 1.4
Рисунок 1.5
Рисунок 1.6
Рисунок 1.7
Рисунок 1.8
Рисунок 1.9
Рисунок 1.10
Рисунок 1.11
Рисунок 1.12
Рисунок 1.13
Рисунок 1.14
Вставка 1.15
Рисунок 1.16
Литература:
1. Емильянов С.В., Системы автоматического управления с
переменной структурой. - М.: Наука, 1967.
2. Воронов А.А.,Устойчивость управляемость наблюдаемость,
Москва "Наука", 1979.
3. Хабаров В.С. Сранительная оценка методов исследования
абсолютной устойчивости СПС: Научн.-исслед. работа.
4. Хабаров В.С. Нелинейные САУ: Курс лекций/ Записал
В.Л.Смык,-1997.
Список постраничных ссылок:
1. Ла Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым
методом Ляпунова.-М.: Мир, 1964.-168 с.
2. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. -
Собр. соч.- М.: Изд-во АН СССР, 1956, т. 2, с. 7-271.
7