ЧИСЛЕННОЕ  ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ .

Пусть имеется функция  которую необходимо продифференцировать несколько раз и найти эту производную в  некоторой точке.
         	Если задан явный вид функции,  то выражение для производной часто оказывается достаточно сложным и желательно его заменить более простым. Если же функция задана только в некоторых точках (таблично), то получить явный вид ее производных ввобще невозможно. В этих ситуациях возникает необходимость приближенного (численного) дифференцирования.
	Простейшая идея численного дифференцирования состоит в том, что функция заменяется интерполяционным многочленом (Лагранжа, Ньютона) и производная функции приближенного заменяется соответствующей производной интерполяционного многочлена	
	
	Рассмотрим  простейшие формулы численного дифференцирования,  которые получаются указанным способом.
	Будем предполагать, что функция задана в равностоящих узлах 
	
Ее значения и значения производных в узлах будем обозначать
 	
	 Пусть функция задана в двух точках  и   ее значения   
           Посстроим  интерполяционный  многочлен первой степени

Производная    равна

	Производную функцию  в точке  приближенно заменяем производной интерполяционного многочлена
								(1)	
Величина   называется  первой разностной производной.
   Пусть  задана в трех точках     
	Интерполяционный многочлен Ньютона второй степени имеет вид

Берем производную

В точке  она равна

Получаем приближенную формулу
								(2)
Величина    называется   центральной  разностной производной.
	Наконец, если взять вторую производную
     получаем приближенную формулу.  
							(3)
Величина   называется  второй разностной производной.
	Формулы (1)-(3) называются формулами численного дифференцирования.
	Предполагая функцию достаточное число раз непрерывно дифференцируемой, получим погрешности приближенных формул  (1)-(3).
	В дальнейшем нам понадобится следующая  лемма.
       Лемма 1. Пусть    произвольные точки,    Тогда существует такая точка   что

Доказательство.  Очевидно неравенство
	
	По теореме Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции на замкнутом отрезке она принимает все значения между  и  Значит существует такая точка   что выполняет указанное в лемме равенство.
	Погрешности формул численного дифференцирования дает следующая лемма. 
          Лемма 2.
1.Предположим, что   Тогда существует такая точка  ,  что
                             (4)
2. 	Если    то существует  такая точка  ,  что 
                                 (5)
3. 	Когда     то существует   такая,  что
	      (6)               Доказательство. По формуле Тейлора 
          
откуда следует  (4).
Если    то по  формуле Тейлора 
                              (7)
где    
     Подставим (7)  в     Получаем 
        
Заменяя  в соответствии с леммою 1
        
получаем
      
Откуда и следует (6).
        Равенство (5) доказывается аналогично ( доказательство провести самостоятельно).
       Формулы (4)-(6) называются формулами  численного дифференцирования с остаточными членами.
        Погрешности формул  (1)-(3) оцениваются с помощью следующих неравенств, которые вытекают из соотношений (4)-(6):
        
         Говорят, что погрешность формулы (1) имеет первый порядок относительно   (или порядка   ), а погрешность формул (2) и (3) имеет  второй порядок относительно    (или порядка   ). Также говорят, что формула численного дифференцирования (1) первого порядка точности (относительно ), а формулы (2) и (3) имеют второй порядок  точности. 
      Указанным способом можно получать формулы численного дифференцирования для более старших производных и для большего количества узлов интерполирования.
      Выбор оптимального шага. Допустим, что граница абсолютной погрешности при вычислении функции  в каждой точке удовлетворяет неравенству                                                                                                                             
                                                                                            (8)
        Пусть в некоторой окрестности точки  производные, через которые выражаются остаточные члены в формулах (5), (6), непрерывны  и удовлетворяют неравенствам
                                                (9)
где      - некоторые числа. Тогда полная погрешность формул (2), (3) (без учета погрешностей округления) в соответствии с (5), (6), (8), (9)не превосходит соответственно величин             
Минимизация по  этих величин приводит к следующим значениям  :                                            
 
                                     (12)
при этом 
                       (13)
Если при выбранном  для какой-либо из формул (2), (3) значении  отрезок    не выходит за пределы окрестности  точки   , в которой выполняется соответствующее неравенство (9),  то найденное   есть оптимальным и полная погрешность численного дифференцирования оценивается соответствующей величиной (13).