ТЕОРЕМА ШТОЛЬЦА
  
Содержание работы: 
  
Формулировка и доказательство теоремы Штольца 
Применение теоремы Штольца: 
; 
нахождение предела «среднего арифметического» первых n значений варианты ; 
; 
  
Применение теоремы Штольца к нахождению некоторых пределов отношения последовательностей 
Нахождение некоторых пределов отношения функций с помощью теоремы Штольца 
  
Для определения пределов неопределенных выражений   типа   часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу 
Пусть варианта , причем – хотя бы начиная с некоторого листа – с возрастанием n и   возрастает:   . Тогда    = , 
Если только существует предел справа (конечный или даже бесконечный) 
Допустим, что этот предел равен конечному числу : 
Тогда по любому заданному   найдется такой номер N , что для n > N будет 
или 
Значит, какое бы n > N ни взять, все дроби , , …, , лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания y n вместе с номером n , положительны, то между теми же границами содержится и дробь , числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при n > N 
Напишем теперь тождество: 
, 
откуда 
Второе слагаемое справа при n > N становится < ; первое же слагаемое, ввиду того, что , также будет < , скажем, для n > N ’ . Если при этом взять N ’ > N , то для n > N ’ , очевидно, , что и доказывает наше утверждение 
  
Примеры: 
Пусть, например, . Отсюда, прежде всего вытекает, что (для достаточно больших n ) , следовательно, вместе с y n и x n , причем варианта x n возрастает с возрастанием номера n . В таком случае, доказанную теорему можно применить к обратному отношению 
(ибо здесь предел уже конечен ), откуда и следует, что , что и требовалось доказать 
  
При а > 1 
  
Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу: 
  
Применим теорему Штольца к доказательству следующего интересного предложения: 
Если варианта a n имеет предел (конечный или бесконечный), то этот же предел имеет и варианта 
(“среднее арифметическое” первых n значений варианты а n ) 
Действительно, полагая в теореме Штольца 
X n = a 1 + a 2 +…+ a n , y n =n, 
Имеем : 
Например, если мы знаем, что , 
то и       
  
Рассмотрим теперь варианту (считая k -натуральным) 
, 
которая представляет неопределённость вида 
Полагая в теореме Штольца 
x n =1 k +2 k +…+n k , y n =n k+1 , 
будем иметь 
Но 
( n -1) k +1 = n k +1 -( k +1) n k +… , 
так что 
n k +1 -( n -1) k +1 =( k +1) n k +… 
и 

Определим предел варианты 
    , 
представляющей в первой форме неопределенность вида , а во второй – вида . Произведя вычитание дробей, получим на этот раз неопределенное выражение вида : 
Полагая x n равным числителю этой дроби, а y n – знаменателю, применим еще раз ту же теорему. Получим 
Но   , 
а    , 
так что, окончательно, 
  
Пример 1 
= = = = = = = = = 
  
Пример 2 
= 
= = 
= = 
= = 
= = 
= = 
= 
  
  Пример 3 
= 
= 
  
Теорема Штольца справедлива для последовательностей, но т.к. последовательности есть частный случай функций, то эту теорему можно обобщить для функций 
  
Теорема. 
Пусть функция , причем, начиная с некоторой x k , g ( x k +1)> g ( x k ), т.е. функция возрастающая 
  
Тогда           , 
если только существует предел справа конечный или бесконечный 
Доказательство: 
Допустим, что этот предел равен конечному числу k 
Тогда, по определению предела 
или 
Значит, какой бы   ни взять, все дроби 
, , …, 
лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания g ( x n ) вместе с x ( n ), положительны, то между теми же границами содержится и дробь , числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при 
Напишем тождество(которое легко проверить): 
, 
Откуда 
Второе слагаемое справа при   становится ; первое же слагаемое, ввиду того, что , так же будет , скажем, для . Если при этом взять , то для , очевидно , что и доказывает теорему 

Примеры: 
  
Найти следующие пределы: 
  
  очевидна неопределенность 
= = =2 
  
  неопределенность 
= = = =0 
  
  неопределенность 
= = = 
  
  Литература : 
  
“Задачи и упражнения по математическому анализу” под редакцией Б.П.Демидовича. Издательство “Наука”, Москва 1996г 
Г.М.Фихтенгольц “Курс дифференциального и интегрального исчисления” Физматгиз 1962г. Москва