БАЛАНСОВАЯ  МОДЕЛЬ
      Изучение балансовых моделей, представляющих собой одно из важнейших направлений и экономико-математических исследований, должно служить объектом изучения отдельной дисциплины. Наша цель – проиллюстрировать на примере балансовых расчетов применение основных понятий линейной алгебры.

ЛИНЕЙНАЯ БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ

      Пусть рассматривается экономическая система, состоящая из n взаимосвязанных отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее потребление ( конечный продукт ), а частично используется в качестве сырья, полуфабрикатов или других средств производства в других отраслях, в том числе и в данной. Эту часть продукции называют производственным потреблением. Поэтому каждая из рассматриваемых отраслей выступает и как производитель продукции ( первый столбец таблицы 1 ) и как ее потребитель ( первая строка таблицы 1 ).
      Обозначим через xi валовый выпуск продукции i-й отрасли за планируемый период и через yi – конечный продукт, идущий на внешнее для рассматриваемой системы потребление ( средства производства других экономических систем, потребление населения, образование запасов и т.д. ).
      Таким образом, разность xi - yi  составляет часть продукции i-й отрасли, предназначенную для внутрипроизводственного потребления. Будем в дальнейшем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в стоимостном разрезе.
      Обозначим через xik  часть продукции i-й отрасли, которая потребляется k-й отраслью, для обеспечения выпуска ее продукции в размере хk. 

                                                                                                                    Таблица 1
      №                                потребление                             итого на        конечный   валовый  
       отрас.                                                                           внутре            продукт      выпуск
                                                                                            производ.          (  уi  )               (   хi  )
  №               1          2         …         k           …         n       потребление
  отрас.                                                                                    ( å хik  ) 
            
            1       х11      х12        …       х1k           …         х1n            å х1k                   у1                 х1      
            
         2     х21       х22        …       х2k          …         х2n          å х2k               у2                х2 

             
             i       хi1       xi2                xik                   xin            å xik               yi                xi 

             n      xn1       xn2               xnk                  xnn           å xnk              yn                xn 

  итого 
  произв. 
  затраты   å хi1      å xi2           å xik              å xin 
 в  k-ю
  отрасль
                                                                                                                    
      Очевидно, величины, расположенные в строках таблицы 1 связаны следующими балансовыми равенствами :

       х1 - ( х11 + х12 +  + х1n ) = у1     
          х2 - ( х21 + х22 + … + х2n ) = у2                   ( 1 )
       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
       xn - ( xn1 + xn2 + … + xnn ) = yn

      Одна из задач балансовых исследований заключается в том, чтобы на базе данных об исполнение баланса за предшествующий период определить исходные данные на планируемый период. 
      Будем снабжать штрихом ( х’ik , y’i и т.д. ) данные, относящиеся к истекшему периоду, а теми же буквами, но без штриха – аналогичные данные, связанные с планируемым периодом. Балансовые равенства ( 1 ) должны выполняться как в истекшем, так и в планируемом периоде.
      Будем называть совокупность значений y1 , y2 , … , yn , характеризующих выпуск конечного продукта, ассортиментным вектором :
       _
       у = ( у1 , у2 , … , yn ) ,    ( 2 )

а совокупность значений x1 , x2 , … , xn ,определяющих валовый выпуск всех отраслей  вектор-планом :
       _
       x = ( x1 , x2 , … , xn ).      ( 3 )

      Зависимость между двумя этими векторами определяется балансовыми равенствами ( 1 ). Однако они не дают возможности определить по заданному, например, вектор у необходимый для его обеспечения вектор-план х, т.к. кроме искомых неизвестных хk , содержат n2 неизвестных xik , которые в свою очередь зависят от xk.
      Поэтому преобразуем эти равенства. Рассчитаем величины aik из соотношений :

                xik
       aik = –––  ( i , k = 1 , 2 , … , n ).
                 xk
      
      Величины aik называются коэффициентами прямых затрат или технологическими коэффициентами. Они определяют затраты продукций i-й отрасли, используемые k-й отраслью на изготовление ее продукции, и зависят главным образом от технологии производства в этой k-й отрасли. С некоторым приближением можно полагать, что коэффициенты aik постоянны в некотором промежутке времени, охватывающим как истекший, так и планируемый период, т.е., что

       x’ik        xik   
      –––  = ––– = aik = const     ( 4 )      
        x’k        xk 

      Исходя из этого предложения имеем 

       xik = aikxk ,         ( 5 )

т.е. затраты i-й отрасли в k-ю отрасль пропорциональны ее валовому выпуску, или, другими словами, зависят линейно от валового выпуска xk. Поэтому равенство ( 5 ) называют условием линейности прямых затрат.
      Рассчитав коэффициенты прямых затрат aik по формуле ( 4 ), используя данные об исполнении баланса за предшествующий период либо определив их другим образом, получим матрицу

                       a11 a12 … a1k … a1n
                       a21 a22 … a2k … a2n
             A=     ………………….
                       ai1 ai2 … aik … ain
                       an1 an2 … ank … ann

которую называют матрицей затрат. Заметим, что все элементы aik этой матрицы неотрицательны. Это записывают сокращено в виде матричного неравенства А>0 и называют такую матрицу неотрицательной.
      Заданием матрицы А определяются все внутренние взаимосвязи между производством и потреблением, характеризуемые табл.1 
      Подставляя значения xik = aik = xk во все уравнения системы ( 1 ), получим линейную балансовую модель :

       x1 - ( a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ) = y1
       x2 - ( a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ) = y2                      ( 6 )
       ……………………………………
       xn - ( an1x1 + an2x2 + … + annxn ) = yn   ,      

характеризующую баланс затрат - выпуска продукции, представленный в табл.1
      Система уравнений ( 6 ) может быть записана компактнее, если использовать матричную форму записи уравнений:
          _        _    _
       Ех - Ах = У , или окончательно
                     _     _
       ( Е - А )х = У ,            ( 6 )

где Е – единичная матрица n-го порядка и

                     1-a11   -a12  …  -a1n
      E - A=     -a21   1-a22 …  -a2n
                       …………………
                       -an1    -an2 … 1-ann 
      
      Уравнения ( 6 ) содержат 2n переменных ( xi и  yi ). Поэтому, задавшись значениями n переменных, можно из системы ( 6 ) найти остальные n - переменных.
      Будем исходить из заданного ассортиментного вектора У = ( y1 , y2 , … , yn ) и определять необходимый для его производства вектор-план Х = ( х1 , х2 , … хn ).
      Проиллюстрируем вышеизложенное на примере предельно упрощенной системы, состоящей из двух производственных отраслей:

                             

                                                                                                                                        табл.2

         № отрас               Потребление              Итого           Конечный       Валовый     
 №                                                                           затрат           продукт          выпуск 
 отрас                          1                         2
                                           
                                           0.2                      0.4   
                 1               100                    160                  260                  240                    500

                                           0.55                    0.1
                 2               275                     40                    315                  85                     400      

  Итого затрат                                                                575
  в k-ю                       375                     200        
  отрасль …                                                            575                             

      Пусть исполнение баланса за предшествующий период характеризуется данными, помещенными в табл.2
      Рассчитываем по данным этой таблицы коэффициенты прямых затрат: 

                100                       160                       275                           40
       а11 = –––– = 0.2 ; а12 = –––– = 0.4 ; а21 = –––– = 0.55 ; а22 = –––– = 0.1
                 500                       400                      500                          400

      Эти коэффициенты записаны в табл.2 в углах соответствующих клеток.
      Теперь может быть записана балансовая модель ( 6 ), соответствующая данным табл.2

       х1 - 0.2х1 - 0.4х2 = у1
       х2 - 0.55х1 - 0.1х2 = у2

      Эта система двух уравнений может быть использована для определения х1 и х2 при заданных значениях у1 и у2, для использования влияния на валовый выпуск любых изменений в ассортименте конечного продукта и т.д.
      Так, например, задавшись у1=240 и у2=85, получим х1=500 и х2=400, задавшись у1=480 и у2=170, получим х1=1000 и х2=800 и т.д.

  РЕШЕНИЕ БАЛАНСОВЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.
КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОЛНЫХ ЗАТРАТ.

      Вернемся снова к рассмотрению балансового уравнения ( 6 ).
      Первый вопрос, который возникает при его исследование, это вопрос о существование при заданном векторе У>0 неотрицательного решения х>0, т.е. о существовании вектор-плана, обеспечивающего данный ассортимент конечного продукта У. Будем называть такое решение уравнения ( 6 ) допустимым решением.
      Заметим, что при любой неотрицательной матрице А утверждать существование неотрицательного решения нельзя.
      Так, например, если
         
        0.9  0.8                         0.1   -0.8    и уравнение ( 6 )
А=                 , то Е - А =
        0.6  0.9                        -0.6  0.1
запишется в виде    0.1   -0.8    х1     у1     или в развернутой форме
                                 -0.6    0.1    х2     у2 

       0.1х1 - 0.8х2 = у1               (  )
       -0.6х1 + 0.1х2 = у2
           
      Сложив эти два уравнения почленно, получим уравнение
       -0.5х1 - 0.7х2 = у1 + у2,
которое не может удовлетворяться неотрицательным значениям х1 и х2, если только у1>0 и у2>0 ( кроме х1=х2=0 при у1=у2=0 ).
      Наконец уравнение вообще может не иметь решений ( система ( 6 ) – несовместная ) или иметь бесчисленное множество решений ( система ( 6 ) – неопределенная ).
      Следующая теорема, доказательство которой мы опускаем, дает ответ на поставленный вопрос.
      Теорема.  Если существует хоть один неотрицательный вектор х>0, удовлетворяющий неравенству ( Е - А )х>0, т.е. если уравнение ( 6 ) имеет неотрицательное решение x>0, хотя бы для одного У>0, то оно имеет для любого У>0 единственное неотрицательное решение.
      При этом оказывается, что обратная матрица ( Е - А ) будет обязательно неотрицательной.
      Из способа образования матрицы затрат следует, что для предшествующего периода выполняется равенство ( Е -А )х = У, где вектор-план х и ассортиментный вектор У определяются по исполненному балансу за прошлый период, при этом У>0. Таким образом, уравнение ( 6 ) имеет одно неотрицательное решение x>0. На основании теоремы заключаем, что уравнение ( 6 ) всегда имеет допустимый план и матрица ( Е - А ) имеет обратную матрицу.
      Обозначив обратную матрицу ( Е - А )-1 через S = || sik+ ||, запишем решение уравнения ( 6 ) в виде
       _        _
       х = SУ          ( 7 )

      Если будет задан вектор – конечный продукт У и вычислена матрица S = ( E - A )-1, то по этой формуле может быть определен вектор-план х.
      Решение ( 7 ) можно представить в развернутой форме:

       x1 = S11y1 + S12y2 + … + S1nyn
       x2 = S21y1 + S22y2 + … + S2nyn                         ( 8 )
       ………………………………
       xn = Sn1y1 + Sn2y2 + … + Snnyn   

 ПОЛНЫЕ ВНУТРИПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ
ЗАТРАТЫ.
      Выясним экономический смысл элементов Sik матрицы S.
      Пусть производится только единица конечного продукта 1-й отрасли, т.е.
                  1
       _         0
       У1 =    
                  0

      Подставляя этот вектор в равенство ( 7 ), получим

                    1             S11
       _           0             S21       _ 
       х = S    :     =        :      = S1                               
                    0             Sn1                                          0
                                                                    _          1
задавшись ассортиментным вектором   У2 =     0        , получим      
                                                                                :
                                                                                0

                   0             S12
       _          1             S22        _ 
       х = S   :     =       :        = S2
                   0             Sn2 

      Аналогично, валовый выпуск х, необходимый для производства единицы конечного продукта k-й отрасли, составит
           
                   0           S1k
       _          :            S2k       _
       х = S   1   =      :       = Sk   ,                  ( 9 )
                   :            Snk
                   0 

т.е. k-й столбец матрицы S.
      Из равенства ( 9 ) вытекает следующее:
Чтобы выпустить только единицу конечного продукта k-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить х1=S1k, во 2-й х2=S2k и т.д., в i-й отрасли выпустить xi=Sik и, наконец, в n-й отрасли выпустить xn=Snk единиц продукции.
      Так при этом виде конечного продукта производства только единица k-го продукта, то величины S1k, S2k, …, Sik, …, Snk, представляют собой коэффициенты полных затрат продукции 1-й, 2-й и т.д., n-й отраслей идущей на изготовление указанной единицы    k-го продукта. Мы уже ввели раннее коэффициенты прямых затрат a1k, a2k, …, aik, …, ank на единицу продукции k-й отрасли, которые учитывали лишь ту часть продукции каждой отрасли, которая потребляется непосредственно k-й отраслью. Но, очевидно, необходимо обеспечить замкнутый производственный цикл. Если бы продукция i-й отрасли поступала бы только в k-ю отрасль в количестве aik, то производство k-й отрасли все равно не было бы обеспеченно, ибо потребовалось еще продукты 1-й отрасли ( a1k ), 2-й отрасли (a2k ) и т.д. А они в свою очередь не смогут работать, если не будут получать продукцию той же i-й отрасли ( ai1, ai2, … и т.д.). Проиллюстрируем сказанное на примере табл.2
      Пусть  нас не интересует выпуск для внешнего потребления продукции 2-й отрасли ( k=2 ) и мы хотим определить затраты продукции 1-й отрасли на единицу этой продукции. Из табл.2 находим, что на каждую единицу продукции 2-й отрасли ( х2=1 ) затрачивается: продукции 1-й отрасли a12=0.4 и 2-й отрасли a22=0.1.
      Таковы будут прямые затраты. Пусть нужно изготовить у2=100. Можно ли для этого планировать выпуск 1-й отрасли х1=0.4100=40 ? Конечно, нельзя, т.к. необходимо учитывать, что 1-я отрасль часть своей продукции потребляет сама ( а11=0.2 ), и поэтому суммарный ее выпуск следует скорректировать: х1=40+0.240=48. Однако и эта цифра неверна, т.к. теперь уже следует исходить из нового объема продукции 1-й отрасли – х1=48 и т.д. Но дело не только в этом. Согласно табл.2 продукция 2-й отрасли также необходима для производства и 1-й и 2-й отраслей и поэтому потребуется выпускать больше, чем у2=100. Но тогда возрастут потребности в продукции 1-й отрасли. Тогда достаточно   обратиться к   составленной   систем  уравнений,  положив  у1=0  и   у2=1   ( см п.2 ):

       0.8х1 - 0.4х2 = 0
       -0.55х1 + 0.9х2 = 1

      Решив эту систему, получим х1=0.8 и х2=1.5. Следовательно, для того чтобы изготовить единицу конечного продукта 2-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить продукции х1=0.8. Эту величину называют коэффициентом полных затрат и обозначают ее через S12. Таким образом, если а12=0.4 характеризует затраты продукции 1-й отрасли на производство единицы продукции 2-й отрасли, используемые непосредственно во 2-й отрасли ( почему они и были названы прямые затраты ), то S12 учитывают совокупные затраты продукции 1-й отрасли как прямые ( а12 ), так и косвенные затраты, реализуемые через другие ( в данном случае через 1-ю же ) отрасли, но в конечном счете необходимые для обеспечения выпуска единицы конечного продукта 2-й отрасли. Эти косвенные затраты составляют S12-a12=0.8-0.4=0.4
      Если коэффициент прямых затрат исчисляется на единицу валового выпуска, например а12=0.4 при х2=1, то коэффициент полных затрат рассчитывается на единицу конечного продукта.
      Итак, величина Sik характеризует полные затраты продукции i-й отрасли для производства единицы конечного продукта k-й отрасли, включающие как прямые ( aik ), так и косвенные ( Sik - aik ) затраты.
      Очевидно, что всегда Sik > aik.
      Если необходимо выпустить уk единиц k-го конечного продукта, то соответствующий валовый выпуск каждой отрасли составит на основании системы ( 8 ):

       x1 = S1kyk, x2 = S2kyk, …, xn = Snkyk ,

что можно записать короче в виде:
       _    _ 
       x = Skyk            ( 10 )        

Наконец, если требуется выпустить набор конечного продукта, заданный ассортимент-

                         _        у1
ным вектором У =    :      , то валовый  выпуск  k-й  отрасли  xk,  необходимый  для    его
                                   уn

обеспечения, определится на основании равенств ( 10 ) как скалярное произведение столбца Sk на вектор У, т.е.
                                                             _  _
       xk = Sk1y1 + Sk2y2 + … + Sknyn = Sky ,              ( 11 )
а весь вектор-план х найдется из формулы ( 7 ) как произведение матрицы S на вектор У.
     Таким  образом,  подсчитав  матрицу  полных  затрат  S,  можно  по формулам ( 7 ) – ( 11 ) рассчитать валовый выпуск каждой отрасли и совокупный валовый выпуск всех отраслей при любом заданном ассортиментном векторе У.
      Можно также определить, какое изменение в вектор-плане х = ( х1, х2, …, хn ) вызовет заданное изменение ассортиментного продукта У = ( у1, у2, …, уn ) по формуле:
         _          _ 
       х = SУ ,         ( 12 )

      Приведем пример расчета коэффициентов полных затрат для балансовой табл.2. Мы имеем матрицу коэффициентов прямых затрат:

0.2 	    0.4
         А =   
                    0.55   0.1  

Следовательно,

                       1        -0.2      -0.4                0.8       -0.4   
      Е - А =                                         =
                     -0.55       1        -0.1               -0.55     0.9

Определитель этой матрицы

                                0.8     -0.4
       D [ E - A ] =                         = 0.5
                               -0.55    0.9

Построим присоединенную матрицу ( Е - А )*. Имеем:

                              0.9     0.4
       ( Е - А )* =                           , 
                              0.55   0.8

откуда обратная матрица, представляющая собой таблицу коэффициентов полных затрат, будет следующей:

                                   1        0.9      0.4              1.8    0.8        
       S = ( Е - А )-1 = –––                            =
                                  0.5      0.55    0.8              1.1    1.6 

      Из этой матрицы заключаем, что полные затраты продукции 1-й и 2-й отрасли, идущие на производство единицы конечного продукта 1-й отрасли, составляет S11=0.8 и S21=1.5. Сравнивая с прямыми затратами а11=0.2 и а21=0.55, устанавливаем, косвенные затраты в этом случае составят 1.8-0.2=1.6 и 1.1-0.55=0.55.
      Аналогично, полные затраты 1-й и 2-й отрасли на производство единицы конечного продукта 2-й отрасли равны S12=0.8 и S22=1.5, откуда косвенные затраты составят       0.8-0.4=0.4 и 1.6-0.1=1.5.
      Пусть требуется изготовить 480 единиц продукции 1-й  и 170 единиц 2-й отраслей.

Тогда необходимый валовый выпуск х =  х1 найдется из равенства ( 7 ):
                                                                       х2

       _        _          1.8     0.8         480            1000
       х = SУ =                                         =
1.1 	     1.6         170             800     .

ПОЛНЫЕ ЗАТРАТЫ ТРУДА                       КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ И Т.Д.

      Расширим табл.1, включив в нее, кроме производительных затрат xik, затраты труда, капиталовложений и т.д. по каждой отрасли. Эти новые источники затрат впишутся в таблицу как новые n+1-я, n+2-я и т.д. дополнительные строки.
      Обозначим затраты труда в k-ю отрасль через xn+1,k, и затраты капиталовложений – через xn+2,k ( где k = 1, 2, …, n ). Подобно тому как вводились прямые затраты  aik,    
                                                                                                                    xn+1,k 
введем в рассмотрение коэффициенты прямых затрат труда an+1,k = –––––  , и
                                                                                                                       xk
                                               xn+2,k
капиталовложений  an+2,k = ––––– ,  представляющих    собой  расход  соответствующего  
                                                  xk   
ресурса на единицу продукции, выпускаемую k-й отраслью. Включив эти коэффициенты в структурную матрицу ( т.е. дописав их в виде дополнительных строк ), получим прямоугольную матрицу коэффициентов прямых затрат:

                          a11     a12     …     a1k     …     a1n
                          a21     a22     …     a2k     …     a2n             основная часть матрицы
                          …………………………………
          А =         ai1      ai2     …     aik      …     ain 
                          …………………………………
an1     an2     …     ank     …     ann
an+1,1 an+1,2  …    an+1,k   …   an+1,n           
                          an+2,1 an+2,2  …    an+2,k   …   an+2,n           дополнительные строки

      При решение балансовых уравнений по-прежнему используется лишь основная часть матрицы ( структурная матрица А ). Однако при расчете на планируемый период затрат труда или капиталовложений, необходимых для выпуска данного конечного продукта, принимают участие дополнительные строки.
      Так, пусть, например, производится единица продукта 1-й отрасли, т.е.

       _       1
       У =   0 
                 :
                0        .

      Для этого требуется валовый выпуск продукции

                       S11
       _    _        S21
       x = S1 =     :
                       Sn1

      Подсчитаем необходимые при этом затраты труда Sn+1,1. Очевидно, исходя из смысла коэффициентов an+1,k прямых затрат труда как затрат на единицу продукции k-й отрасли и величин S11, S12, …, S1n, характеризующих сколько единиц продукции необходимо выпустить в каждой отрасли, получим затраты труда непосредственно в 1-ю отрасль как an+1,1S11, во 2-ю – an+1,2S21 и т.д., наконец в n-ю отрасль an+1,nSn1. Суммарные затраты труда, связанные с производством единицы конечного продукта 1-й отрасли, составят:
                                                                                _    _ 
       Sn+1,1 = an+1,1S11 + an+1,2S21 + … + an+1,nSn1 = an+1S1  ,

т.е. равны скалярному произведению ( n+1 )-й строки расширенной матрицы А, которую обозначим an+1, на 1-й столбец матрицы S.
      Суммарные затраты труда, необходимые для производства конечного продукта k-й отрасли, составят:
                    _    _ 
       Sn+1,k = an+1Sk            ( 13 )

Назовем эти величины коэффициентами полных затрат труда. Повторив все приведенные рассуждения при расчете необходимых капиталовложений, придем аналогично предыдущему к коэффициентам полных затрат капиталовложений:
                    _    _ 
       Sn+2,k = an+2Sk            ( 14 )

      Теперь можно дополнить матриц S строками, состоящими из элементов Sn+1,k и  Sn+2,k, образовать расширенную матрицу коэффициентов полных затрат:

                              S11     S12     …     S1k     …     S1n                 матрица коэффициентов
                              S21     S22     …     S2k     …     S2n                  полных внутрипроизводст.
                               …………………………………                  затрат  
              S =          Si1      Si2     …     Sik      …    Sin
                               …………………………………                                                          ( 15 )
Sn1     Sn2     …     Snk     …    Snn
                               Sn+1,1 Sn+1,2  …   Sn+1,k   …   Sn+1,n               дополнительные строки
                               Sn+2,1 Sn+2,2  …   Sn+2,k   …   Sn+2,n    

      Пользуясь этой матрицей можно рассчитать при любом заданном ассортиментном векторе У не только необходимый валовый выпуск продукции х ( для чего используется матрица S ), но и необходимые суммарные затраты труда xn+1, капиталовложений xn+2 и т.д., обеспечивающих выпуск данной конечной продукции У.
      Очевидно,

       xn+1 = Sn+1,1y1 + Sn+1,2y2 + … + Sn+1,nyn ,         ( 16 )
       xn+2 = Sn+2,1y1 + Sn+2,2y2 + … + Sn+2,nyn ,

т.е. суммарное количество труда и капиталовложений, необходимых для обеспечения ассортиментного вектора конечной продукции У, равны скалярным произведениям соответствующих дополнительных строк матрицы S вектор У.
      Наконец, объединяя формулу ( 7 ) с формулами ( 16 ), приходим к следующей компактной форме:

                    x1
                    x2
      _             :                _ 
      x =         xn        = SУ            ( 17 )
                   xn+1
                   xn+2
      
      Пусть дополнительно к данным, помещенным в табл.2, известны по итогам исполнения баланса фактические затраты труда xn+1,k ( в тыс. человеко-часов ) и капиталовложений xn+2,k ( в тыс. руб. ), которые записаны в табл.3
      Переходя к коэффициентам прямых затрат aik, получим расширенную матрицу:

                   0.2    0.4 
       А =     0.55  0.1
                   0.5    0.2
                   1.5    2.0

                                                                                                                          Таблица 3
                № отраслей            потребление                 итого         конечный    валовый   
      №                                                                             затрат        продукт       выпуск   
      отраслей                          1                      2

                    1                        100                  160               260               240               500

                    2                        275                   40                315                85                400
        
                труд                      250                   80                330  

       капиталовложе-           750                  800               1550    
       ния 

      Обратная матрица S = ( E - A )-1 была уже подсчитана в предыдущем пункте.
      На основании ( 13 ) рассчитаем коэффициенты полных затрат труда ( Sn+1,k=S3,k ):
                 _  _
       S31 = a3S1 = 0.5  1.8 + 0.2  1.1 = 1.12 ;
                 _  _
       S32 = a3S2 = 0.5  0.8 + 0.2  1.6 = 0.72

и капиталовложений Sn+2,k = S4,k:
                 _  _
       S41 = a4S1 = 1.5  1.8 + 2.0  1.1 = 4.9 ;
                 _  _
       S42 = a4S2 = 1.5  0.8 + 2.0  1.6 = 4.4 .

      Таким образом, расширенная матрица S коэффициентов полных затрат примет вид:

                  1.8    0.8
      S =      1.1    1.6 
                  1.12   0.72
                  4.9     4.4 
      Если   задаться   на   планируемый   период   прежним   ассортиментным   вектором 
У =    240   , то рассчитав по формулам ( 16 ) суммарные затраты труда xn+1 и 
          85
капиталовложений xn+2, получили бы xn+1 = x3 = 1,12  240 + 0.72  85 = 268.8 + 61.2 = 330 тыс. чел.-ч. и xn+2 = xn = 4.9  240 + 4.4  85 = 1176 + 374 = 1550 тыс.руб., что совпадает с исходными данными табл.3.
      Однако  в  отличие от табл.3, где эти суммарные затраты группируются по отраслям           
( 250 и 80 или 750 и 800 ), здесь они распределены по видам конечной продукции: на продукцию 1-й отрасли 268.8 и на продукцию 2-й отрасли 61.2; соответственно затраты капиталовложений составляют 1176 и 374.
      При любом новом значении ассортиментного вектора У все показатели плана, такие, как валовая продукция каждой отрасли и суммарные расходы трудовых ресурсов и капиталовложений найдем из формулы ( 17 ).
      Так, пусть задан ассортиментный вектор У =    480   . Тогда
                                                                                       170   

              _             х1          1.8      0.8                        1000
              х =          х2    =    1.1      1.6        480    =   800             
                             х3          1.12   0.72       170          600 
                             х4           4.9      4.4                       3100

      Отсюда заключаем, что запланированный выпуск конечного продукта У может быть достигнут при валовом выпуске 1-й и 2-й отраслей: х1=1000 и х2=800, при суммарных затратах труда х3=660 тыс. чел.-ч. и при затратах капиталовложений х4=3100 тыс.руб.

      Рассмотренные теоретические вопросы и примеры расчета, конечно, далеко не исчерпывают важную для практики область балансовых исследований. Здесь проиллюстрировано только одно направление приложения линейной алгебры в экономических исследованиях.   

  

Задача

      В таблице указаны расходные нормы двух видов сырья и топлива на единицу продукции соответствующего цеха, трудоемкость продукции в человеко-часах на единицу продукции, стоимость единицы соответствующего материала и оплата за 1 чел.-ч.

                                                Таблица

                                  Нормы расхода                         
                                                                                                 Обозначения      Стоимость       
                                             I                  II                 III 

          Сырье I                   1.4                2.4               0.8                  a4                        5

          Сырье II                   –                  0.6               1.6                  a5                        12

          Сырье III                 2.0                1.8               2.2                  a6                        2

    Трудоемкость               10                 20                20                   а7                        12                                               

      Определить:
а) суммарный расход сырья, топлива и трудовых ресурсов на выполнение производственной программы;
б) коэффициенты прямых затрат сырья, топлива и труда на единицу конечной продукции каждого цеха;
в) расход сырья, топлива и трудовых ресурсов по цехам;
г) производственные затраты по цехам ( в руб. ) и на всю производственную программу завода;
д) производственные затраты на единицу конечной продукции.

      Решение:
а) Суммарный расход сырья I можно получить, умножив соответствующую 1-ю строку второй таблицы на вектор х, т.е.

       _ _                                 235
       а4х = ( 1.4; 2.4; 0.8 )     186     = 1088      
                                             397

      Аналогично можно получить расход сырья II и т.д.
      Все это удобно записать в виде произведения:

       1.4    2.4    0.8         235                 1088           Сырье I    
        0      0.6    1.6         186       =        746             Сырье II
       2.0    1.8    2.2         397                 1678            Топливо
       0.1    0.2    0.2                                1409            Человеко-часов.
б) Расход сырья I на единицу конечной продукции 1-го цеха ( у1=1 ) найдем из выражения 1.4S11 + 2.4S21 + 0.8S31. Следовательно, соответствующие коэффициенты полных затрат сырья, топлива и труда на каждую единицу конечного продукта получим из произведения матрицы:
                                                                                I         II        III     
      1.4    2.4    0.8          1.04    0.21    0.02            1.97    2.92    1.36                Сырье I                                                                       
         0    0.6    1.6          0.21    1.05    0.13     =     0.17    0.84    2.09                Сырье II          
      2.0    1.8    2.2          0.03    0.13    1.26            2.53    2.60    5.23                Топливо
      10      20     20                                                   15.2    24.8    28.0                Труд
      
      Таким образом, например, для изготовления у1=1 необходимо затратить 1.97 единиц сырья I, 0.17 единиц сырья II, 2.53 единиц топлива и 15.2 чел.-ч.
в) Расход сырья, топлива и т.д. по каждому из цехов получим из умножения их расходных норм на соответствующие валовые выпуски по цехам. В результате получим матрицу полных расходов:

                                   I        II       III
       Сырье I            330    440    318      
       Сырье II             0      111    635 
       Топливо           470    335    873
       Труд                 2350  3720  7940

г) Производственные расходы по цехам можем получить путем умножения слева строки стоимостей ( 5; 12; 2; 1.2 ) на последнюю матрицу:

                                      330    440    318
                                        0      111    635                  I        II        III
      ( 5; 12; 2; 1.2 )        470    335    873        =  ( 5410; 8666; 20484 ) 
                                      2350  3720  7940

д) Наконец, производственные затраты на единицу конечной продукции, необходимые для определения себестоимости продукции, можем найти путем умножения слева матрицы полных затрат, найденной в п.б., на строку цен:

           1.97    2.92    1.36
           0.17    0.84    2.09                I       II      III
       ( 5; 12; 2; 1.2 )      2.53    2.60    5.23        = ( 35.3; 59.6; 75.7 )
                                     15.2    24.8    28.0

      Таким образом, внутрипроизводственные затраты на единицу товарной продукции I, II и III цехов соответственно составляют: 35.3 руб., 59.6 руб., 75.7 руб.