Лекция 3

3.4. Периодически расположенные
точечные источники волн

Рассмотрим интересный и весьма важный для практики случай, когда точечные источники волн расположены в виде цепочки. Пусть расстояние между источниками d составляет несколько длин волн и разность фаз колебаний равна нулю.

 d

Применим ту же технику рассуждений, что и для случая тесного (непрерывного) расположения точечных источников. Рассмотрим сначала нормальное к цепочке направление.
На достаточно большом удалении от источников узкий (несколько расстояний между источниками) участок фронта кольцевой волны можно считать плоским (прямолинейным). Колебания от отдельных источников, расстояния до которых примерно одинаковы, будут происходить в выделенной области наблюдения в фазе, усиливая друг друга. В этом направлении будет распространяться плоская волна.

 q
Но есть направления, в которых распространения волны происходить не будет. Попробует догадаться, каким может быть такое направление.
Будем постепенно увеличивать угол q. При этом в достаточно удаленной от цепочки источников области наблюдения  станет нарастать разность фаз колебаний, вызванных разными источниками. Пусть при некотором значении угла q будет выполняться условие

;       ,

где N -  количество источников в цепочке. Если расстояние между источниками d порядка нескольких l и количество источников велико (например, более ста), значение  угла q будет очень маленьким. На рисунке этот угол показан достаточно большим, правдоподобно маленьким изобразить его нам не удастся.
При этом условии колебания от первого источника волн и от источника с номером N/2 в области наблюдения будут происходить в противофазе, погасят друг друга. Колебания от второго источника будут погашены колебаниями от источника с номером N/2+1 и т.д. Следовательно, такая цепочка будет излучать волну в пределах чрезвычайно малого угла ±q. Мы получим практически плоскую волну.
Однако, при выбранной нами величине расстояния d порядка нескольких длин волн это не будет единственным направлением распространения волны и, соответственно, потока энергии. Действительно, если выполняется условие

,

где k - целое число, то колебания от отдельных источников в области наблюдения будут происходить с разностью фаз 2pk, т.е. будут складываться, усиливать друг друга. В этих направлениях, как и в направлении нормали к линии расположения источников (q = 0), будет распространяться примерно плоская волна. Эти направления называют направлениями на главные максимумы k-того порядка.
Большим значениям k соответствуют большие разности расстояний до области наблюдения. Естественно, эта разность (разность хода) не может стать больше чем d. Поэтому максимальное значение порядка максимума k определяется условием

.

Для получения узкого пучка радиоизлучения используется антенна с расположенными в ряд дипольными излучателями. Если создать некоторую разность фаз колебаний соседних осцилляторов, направления главного максимума нулевого порядка будет отличаться от нормали (этот эффект мы обсуждали для тесного, непрерывного расположения точечных источников). Таким способом может быть осуществлено изменение направления радиоизлучения (сканирование) без поворота антенны.

3.5. Расчет углового распределения 
потока энергии от системы источников

3.5.1. Непрерывное распределение источников

  X

  b

 dx
  0            
     DL  q      
В случае возбуждения волн на поверхности воды такое расположение точечных источников, колебания которых происходят в фазе, обеспечивается вертикальными колебаниями параллельного поверхности воды стержня. Рассмотрим излучение, вызванное колебаниями стержня конечной длины, равной b.
Положение точечного источника определяется его координатой x, амплитуда колебаний пропорциональна dx. Чтобы найти амплитуду колебаний в удаленной от стержня области наблюдения необходимо провести сложение колебаний от всех источников (интегрирование по отрезку 0b):

.

У нас получилось довольно громоздкое “многоэтажное” выражение, в смысле которого нам надо разобраться. Во-первых, из этого выражения видно, что, как и должно было быть, в некоторой области (точке) наблюдения происходят колебания с частотой w и некоторой начальной фазой. В выражение для амплитуды этих колебаний входит множитель x0. В принципе, он может быть выражен через амплитуду колебаний вблизи стержня с помощью закона сохранения энергии. Но он не представляет для нас особого интереса, как и начальная фаза колебаний. Нужное же нам угловое распределение потока энергии определяется множителем

.

                                                

          0         q            0         q            0         q

В числителе этого выражения стоит синус знаменателя. Поэтому, если знаменатель обращается в нуль при q = 0, будет A = 1. При изменении q в пределах ±p/2 величина  периодически принимает нулевое значение и затем достигает максимумов. Величина модуля A в максимуме по мере увеличении модуля q уменьшается, поскольку синус от некоторой величины изменяется медленнее, чем сама эта величина. Вид зависимости  при разных отношениях b/l представлен на рисунке.

3.5.2. Излучение пары точечных источников

Ранее мы рассматривали суммарные колебания от системы точечных источников в некоторой достаточно удаленной области наблюдения. При этом мы не определяли, по сравнению с чем это удаление велико. Собственно, рассматривая параллельные лучи, мы неявно считали, что область наблюдения находится на бесконечности.
Рассмотрим теперь колебания от уединенного источника в точках плоскости, отстоящей от него на большое, но конечное расстояние l. При этом мы ограничимся небольшим по сравнению с l смещением точки наблюдения от точки падения перпендикуляра, проведенного от источника волн S к плоскости, при малых значениях x.
 X

l         x
  S   q                 DL
 xS
l    q/2

Проведем от источника волн отрезок прямой в точку наблюдения с координатой x и перпендикуляр к оси координат. Величина xS - это x-координата источника. Мы получили прямоугольный треугольник. Отложим от точки расположения источника вдоль гипотенузы треугольника отрезок длиной l и соединим конец этого отрезка с точкой xS, точкой падения перпендикуляра. Угол при вершине построенного таким образом равнобедренного треугольника , а основание составляет с осью 0X угол q/2. Таким образом, разность хода лучей

.

Соответственно, разность фаз колебаний в этих точках

.

В этом выражении  - разность x-координат точки наблюдения и источника волн.
  X

  x
 S’
  d                     0
 S”

Полученное выражение является для нас вспомогательным. Применим его для решения задачи об амплитуде колебаний, созданных двумя точечными источниками, расположенными на расстоянии d друг от друга и на расстоянии l от плоскости наблюдения.
Разность фаз колебаний, созданных нашими источниками в точке x,

.

В круглых скобках записаны разности x-координат точки наблюдения и источников волн. После возведения в квадрат мы получаем:

 Dj

  x
  x0 

.

Произведем сложение этих колебаний с помощью векторной диаграммы. Фаза результирующих колебаний нас не интересует, а амплитуда

принимает максимальные значения 2x0 в точках, отстоящих друг от друга на 

(при изменении аргумента косинуса на p). Центральный максимум наблюдается при x = 0.

3.5.3. Излучение цепочки периодически
расположенных источников

  d        q

Пусть теперь у нас имеется N точечных источников волн, отстоящих один от другого на расстояние d порядка нескольких длин волн. В достаточно удаленной от цепочки источников области наблюдения вызванные соседними источниками колебания будут происходить с разностью фаз
.

На векторной диаграмме представляющие колебания от соседних источников векторы будут повернуты по отношению друг к другу на такой угол.

  j/2     x

Nj/2
    R          j
   x0

Эти векторы образуют ломаную, вписанную в окружность радиуса R. Если амплитуда колебаний от одного источника в области наблюдения равна x0, то

и для амплитуды суммарных колебаний мы получаем выражение:

.

При q = 0 будет j = 0 и x0S = Nx0 - векторы расположены вдоль прямой, поскольку разность фаз колебаний от соседних источников равна нулю. Но при больших значениях N уже при малых q (и, соответственно, j) амплитуда суммарных колебаний обращается в нуль:

;         .

Таким образом, в направлении j = 0 будет распространяться практически плоская волна.
Но будут и другие направления распространения практически плоских волн. Для этих направлений должны выполняться условие

;    -

разность расстояний до некоторой (любой!) точки достаточно удаленной области наблюдения должна равняться целому числу длин волн. При такой разности хода векторы на фазовой диаграмме вновь выстроятся вдоль прямой.
Этот результат мы получили ранее, но теперь мы можем просто определить направления ближайших к данному максимуму k-того порядка минимумов. Для минимумов должны выполняться условия

        .

Эти выражения справедливы при

;       

(выполняется первое условие), причем  (выполняется второе условие). При таких значениях k’ разность хода от соседних источников равна целому числу волн:

,  k = 0,1,2 ...

и наблюдаются максимумы излучения.
 x0S

	    0	       q

На рисунке показана зависимость амплитуды колебаний от угла q. Линии настолько узки и дополнительные максим столь малы, что их на рисунке не видно. Кривая получена для количества источников N=200 и отношения d/l=3,5.
Обратите внимание: при увеличении модуля q расстояние между линиями увеличивается. Это обстоятельство в дальнейшем будет для нас существенно.