Рассмотрим систему
, ,	(1)	
где  – дважды непрерывно дифференцируемая вектор-функция. Пусть – некоторая траектория системы (1), содержащаяся при  в ограниченной области . В дальнейшем будем также предполагать, что  в замыкании  области .
Введём в рассмотрение симметричную не особую матрицу , где – дважды непрерывно дифференцируемые вектор-функции, и  дважды непрерывно дифференцируемую вектор-функцию , удовлетворяющую неравенству
 .
Пусть – некоторая симметричная  – матрица, –дифференцируемая функция,  и –числовые последовательности, удовлетворяющие условиям , , . Здесь  и – некоторые числа.
Введём также обозначение
.
Теорема. Пусть выполнено неравенство
1)	 .
Тогда если квадратичная форма  на множестве  положительно определена и выполнено неравенство
2)	, то траектория  орбитально асимптотически устойчива.
Если  квадратичная форма  на множестве  не вырождена, может принимать отрицательные значения и выполнены неравенства
3)	, , , то траектория  будет орбитально неустойчивой.
Доказательство. Рассмотрим множество . Здесь  – некоторое достаточно малое число.
Зафиксируем некоторую точку  и будем изучать поверхность  в некоторой достаточно малой окрестности точки . Из  следует, что найдётся число  такое, что , . Возьмём число , близкое к . В этом случае .Определим теперь отображение  точки  в гиперплоскость  таким образом, чтобы

.	(2)	
При этом число  будем выбирать так, чтобы , а матрицу  такой, чтобы имело место соотношение (2). Ясно, что
.
Здесь , считаем, что величина  является большой. Отсюда следует, что для выполнения соотношения (2) достаточно, чтобы выполнялось равенство

 .	(3)	
Из соотношения (2) следует, что вектор ,нормальный к  в точке , может быть определён следующим образом:
,
где
,
.
 Заметим, что

.
Поэтому

.
Отсюда и из соотношения (3) получим, что

.	
(4)	
Покажем теперь, что траектория  системы (1), проходящая в момент времени  через точку , удовлетворяет с точностью до  соотношению
.	(5)	
Для этого отметим, что при малых  .Поэтому вектор  с точностью до  принадлежит гиперплоскости , которая параллельна гиперплоскости, касательной к поверхности , и проходит через точку
.
Ясно также, что  проходит через расположенную в гиперплоскости  точку , где
.
Отсюда, из соотношения  и того факта, что векторы, нормальные к  и  в точке , совпадают с точностью до , следует соотношение (5).
Из включения (5), равенства (4) и условия 1) теоремы вытекает при всех  соотношение , где – некоторая непрерывная функция, удовлетворяющая неравенству 
.
Используя это неравенство, условия 2), 3) теоремы и стандартную ляпуновскую технику, получим утверждение теоремы.
 В случае , , , , получим широко известный признак Пуанкаре.

Список использованных источников

1.	Демидович Б. П. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1970.
2.	Леонов Г. А. Многомерный аналог признака орбитальной устойчивости Пуанкаре.// Дифференциальные уравнения, 1988 №9
3.	Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1970.