НЕКОТОРЫЕ ФУНКЦИИ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
1. Áýòà-ôóíêöèè 
Бэта – функции определяются интегралом Эйлера первого рода: 
= (1.1) 
сходятся при .Полагая =1 – t получим: 
= - = 
т.e. аргумент и входят в симетрично. Принимая во внимание тождество 

по формуле интегрирования почестям имеем 

Откуда 
= (1.2) 
  
7 
При целом b = n последовательно применяя(1.2) 
Получим 
(1.3) 
  
при целых = m, = n,имеем 

но B(1,1) = 1,следовательно: 

Положим в (1.1) .Так как график функции симметрична относительно прямой ,то 

8 
и в результате подстановки ,получаем 

полагая в(1.1) ,откуда ,получим 
(1.4) 
разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до и применение ко второму интегралу подстановки ,получим 
= 

2. Ãàììà-ôóíêöèÿ 9 
Гамма функцию определяет интеграл Эйлера второго рода 
G (a) = (2.1) 
сходящийся при 0.Положим =ty,t > 0 ,имеем 
G (a) = 
и после замены , через и t через 1+t ,получим 

Умножая это равенство и интегрируя по t и пределах от 0 до , имеем: 

или на основании (1.4) и после изменения в правой части порядка интегрирования ,получаем: 

10 
откуда 
(2.2) 
заменяя в (2,1) ,на и интегрируем по частям 

получаем рекурентною формулу 
(2.3) 

так как 

но при целом имеем 
(2.4) 
то есть при целых значениях аргумента гамма-функция превращается в факториал.Порядок которого на единицу меньше взятого значения аргумента.При n=1 в (2.4) имеем 

3. Производная гамма функции 11 
Интеграл 

сходится при каждом ,поскольку ,и интеграл при сходится 
В области , где - произвольное положительное число, этот интеграл сходится равномерно, так как и можна применить признак Веерштраса. Сходящимся при всех значениях является и весь интеграл так как и второе слогаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом .Легко видеть что интеграл сходится по в любой области где произвольно.Действительно для всех указаных значений и для всех ,и так как сходится, то выполнены условия признака Веерштрасса. Таким образом , в области интеграл cходится равномерно. 
Отсюда вытекает непрерывность гамма функции при .Докажем дифференцируемость этой функции при .Заметим что функция непрерывна при и , и покажем ,что интеграл : 

12 
сходится равномерно на каждом сегменте , . Выберем число так , чтобы ; тогда при .Поэтому существует число такое , что и на .Но тогда на справедливо неравенство 

и так как интеграл сходится, то интеграл сходится равномерно относительно на . Аналогично для существует такое число , что для всех выполняется неравенство . При таких и всех получим , откуда в силу признака сравнения следует , что интеграл сходится равномерно относительно на . Наконец , интеграл 

в котором подынтегральная функция непрерывна в области 
, очевидно, сходится равномерно относительно на . Таким образом , на интеграл 

13 
сходится равномерно , а, следовательно , гаммма функция бесконечно дифференцируема при любом и справедливо равенство 

Относительно интеграла можна повторить теже рассуждения и заключить, что 

По индукции доказывается , что Г-функция бесконечно дифференцируема при и для ее я -ой производной справедливо равенство 

Изучим теперь поведение - функции и построим єскиз ее графика 
Из выражения для второй производной -функции видно, что для всех . Следовательно, возрастает. Поскольку , то по теореме Роля на сегменте [1,2]производная при и при , т. е. Монотонно убывает на и монотонно возрастает на . Далее , поскольку , то при . При из формулы следует , что при 
  
14 
Равенство , справедливое при , можно использовать при распространении - функции на отрицательное значение 
Положим для , что . Правая часть этого равенства определена для из (-1,0) . Получаем, что так продолженная функция принимает на (-1,0) отрицательные значения и при , а также при функция 
Определив таким образом на , мы можем по той же формуле продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением окажется функция, принимающая положительные значения и такая, что при и . Продолжая этот процесс, определим функцию , имеющею разрывы в целочисленных точках (см. рис.1) 
Отметим еще раз, что интеграл 

определяет Г-функцию только при положительных значениях , продолжение на отрицательные значения осуществлено нами формально с помощью формулы приведения 
  
          15 

(рис.1) 
  
                        4. Вычисление некоторых интегралов. 16 
Формула Стирлинга 
Применим гамма функцию к вычислению интеграла: 

где m > -1,n > -1.Полагая , что ,имеем 

и на основании (2.2) имеем 
(3.1) 
В интеграле 

Где k > -1,n > 0,достаточно положить 

17 
Интеграл 

Где s > 0,разложить в ряд 

= 
где дзетта функция Римана 
Рассмотрим неполные гамма функции (функции Прима) 

связанные неравенством 

Разлагая, в ряд имеем 

18 

Переходя к выводу формулы Стирлинга , дающей в частности приближенное значение n! при больших значениях n ,рассмотрим предварительно вспомогательную функцию 
(3.2) 
Непрерывна на интервале (-1, ) монотонно возрастает от до при изменении от до и обращаются в 0 при u = 0.Так как 

то при u > 0 и при u < 0 , далее имеем 

И так производная непрерывна и положительна во всем интервале ,удовлетворяет условию 
19 

Из предыдущего следует, что существует обратная функция, определенная на интервале непрерывная и монотонно возрастающая в этом интервале, 
Обращающаяся в 0 при v=0 и удовлетворяющая условие 
(3.3) 
Формулу Стирлинга выведем из равенства 

полагая ,имеем 

Положим далее введенная выше обратная функция, удовлетворяющая условиям u = -1при ,и при .Замечая что(см.3.2) 

20 
имеем 
, 
полагая на конец , ,получим 

или 

в пределе при т.е. при (см3.3) 

откуда вытекает формула Стирлинга 

которую можно взять в виде 
  
21 
(3.4) 
где ,при 
для достаточно больших полагают 
(3.5) 
вычисление же производится при помощи логарифмов 

если целое положительное число, то и (3.5) превращается в приближенную формулу вычисления факториалов при больших значениях n 

приведем без вывода более точную формулу 

где в скобках стоит не сходящийся ряд 
  
      5. Примеры вычисления интегралов 22 
Для вычисления необходимы формулы: 

Г( ) 
Вычислить интегралы 

  

23 

                                                  
  
                                            Вывод 
Гамма функции являются удобным средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которые не представимы в элементарных функциях 
Благодаря этому они широко применяются в математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях современной науки 

Список литературы 
1. Специальные функции и их приложения: 
Лебедев И.И.,М.,Гостехтериоиздат,1953 
2. Математический анализ часть 2: 
Ильин О.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х.,М.,”Московский университет”,1987 
3. Сборник задач по математическому анализу: 
Демидович Б.П.,М.,Наука,1966 
4. Интегралы и ряды специальные функции: 
Прудников А.П., Брычков Ю.А.,М.,Наука,1983 
5. Специальные функции: 
Кузнецов , М.,”Высшая школа”,1965