КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
1. Кривые второго порядка 
1.1. Эллипс 
Эллипс – это геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина. Необходимо, чтобы эта постоянная была больше расстояния между фокусами. Фокусы эллипса принято обозначать через F 1 и F 2. 
Выведем уравнение эллипса 
Пусть М — произвольная точка эллипса с фокусами F 1 и F 2. Отрезки F 1 М и F 2 М (так же как и длины этих отрезков) называются   фокальными радиусами точки М. Постоянную сумму фокальных радиусов точки эллипса принято обозначать через 2а. Таким образом, для любой точки М эллипса имеем: 
F 1 М + F 2 М = 2а 
Расстояние F 1 и F 2 между фокусами обозначают через 2с. Пусть дан какой-нибудь эллипс с фокусами F 1 , F 2. 
Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим, далее, через r 1 и r 2 расстояния от точки М до фокусов ( r 1 = F 1 М, r 2 = F 2 М). Точка М будет находиться на данном эллипсе в том и только в том случае, когда 
r 1 + r 2 = 2а 
Чтобы получить искомое уравнение, нужно в равенстве заменить переменные r 1 и r 2 их выражениями через координаты х, у 
Заметим, что, так как F 1 F 2 = 2с и так как фокусы F 1 и F 2 расположены на оси Ох симметрично относительно начала координат, то они имеют соответственно координаты (-с; 0) и (+с; 0); приняв это во внимание находим: 
Заменяя r 1 и r 2 , получаем: 
Это и есть уравнение рассматриваемого эллипса, так как ему удовлетворяют координаты точки 
М (х; у), когда точка М лежит на этом эллипсе. Возведём обе части равенства в квадрат, получим: 
или              
Возводя в квадрат обе части последнего равенства, найдем: 
а 2 х 2 — 2а 2 сх + а 2 с 2 + а 2 у 2 = а 4 — 2а 2 сх + с 2 х 2   , 
откуда 
(а 2 —с 2 )х 2 + а 2 у 2 = а 2 (а 2 —с 2 ) 
Здесь мы введем в рассмотрение новую величину 
  ; 
а>с, следовательно, а 2 —с 2 >0 и величина b —вещественна 
b 2 = a 2 —c 2 , 
тогда 
b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 , 
или                    
Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса 
Уравнение 
, 
определяющее эллипс в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, эллипс есть линия второго порядка 
Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси; обозначив эксцентриситет буквой ε, получаем: 
Так как с< a , то ε<1, т. е. эксцентриситет каждого эллипса меньше единицы 
Заметим, что c 2 = a 2 — b 2 ; поэтому 
; 
отсюда 
    и   
Следовательно,   эксцентриситет   определяется   отношением   осей эллипса, а отношение осей, в свою очередь, определяется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет характеризует форму эллипса. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше 1— ε 2 , тем меньше, следовательно, отношение ; значит, чем больше эксцентриситет, тем более эллипс вытянут. В случае окружности b = a и ε=0 
Рассмотрим какой-нибудь эллипс и введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы этот эллипс определялся каноническим уравнением 
Предположим, что рассматриваемый эллипс не является окружностью, т. е. что а≠ b и, следовательно, ε=0. Предположим еще, что этот эллипс вытянут в направлении оси Ох, т. е. что а> b 
Две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии   от него, называются директрисами эллипса 
Уравнения директрис в выбранной системе координат имеют вид 

  и   
Первую из них мы условимся называть левой, вторую—правой. Так как для эллипса ε<1, то . Отсюда следует, что правая директриса расположена правее правой вершины эллипса; аналогично, левая директриса   расположена левее его левой вершины. Частным случаем эллипса является окружность. Её уравнение имеет вид: 
х 2 + у 2 = R 2 
  1.2. Гипербола 
Гипербола – это геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина; указанная разность берется по абсолютному значению; кроме того, требуется, чтобы она была меньше расстояния между фокусами и отлична от нуля. Фокусы гиперболы принято обозначать через F 1 и F 2 , а расстояние между ними—через 2с 

Пусть М — произвольная точка гиперболы с фокусами F 1 и F 2 .   Отрезки F 1 М и F 2 М (так же, как и длины этих отрезков)   называются фокальными радиусами точки М и обозначаются через r 1 и r 2   ( r 1 = F 1 М, r 2 = F 2 М).   По определению гиперболы разность фокальных радиусов ее точки М есть    постоянная    величина; эту постоянную принято обозначать через 2а 
Пусть дана какая-нибудь гипербола с фокусами F 1 и F 2 . Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у, а фокальные радиусы F 1 М и F 2 М через r 1 и r 2 . Точка М будет находиться на (данной) гиперболе в том и только в том случае, когда 
r 1 — r 2 = ±2а 
  Так как F 1 F 2 =2с и так как фокусы F 1 и F 2 расположены на оси Ох симметрично относительно начала координат, то они имеют соответственно координаты (-с; 0) и (+с; 0); приняв это во внимание находим: 
   ,   
Заменяя r 1 и r 2 , получаем: 
Это и есть уравнение рассматриваемой гиперболы, так как ему удовлетворяют координаты точки М (х; у), когда точка М лежит на гиперболе 
Возведём обе части равенства в квадрат; получим: 

, 
или 
Возводя в квадрат обе части этого равенства, найдем: 
c 2 x 2 – 2a 2 cx + a 4 = a 2 x 2 – 2a 2 cx + a 2 c 2 + a 2 y 2 , 
откуда                    
(c 2 – a 2 )x 2 – a 2 y 2 = a 2 (c 2 – a 2 ) 
Здесь мы введем в рассмотрение новую величину 
  ; 
с> a , следовательно, с 2 —а 2 >0 и величина b —вещественна 
b 2 = с 2 —а 2 , 
тогда 
b 2 x 2 — a 2 y 2 = a 2 b 2   , 
или                            
  
Уравнение 
  , 
определяющее гиперболу в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, гипербола есть линия второго порядка 
Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между ее вершинами; обозначив эксцентриситет буквой ε, получим: 
Так как для гиперболы с> a , то ε>1; т. е. эксцентриситет каждой гиперболы больше единицы. Заметив, что c 2 = a 2 + b 2 , находим: 

; 
отсюда 
    и     
Следовательно, эксцентриситет определяется отношением , а отношение   в свою очередь определяется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет гиперболы характеризует форму ее основного прямоугольника, а значит, и форму самой гиперболы 
Чем меньше эксцентриситет, т. е. чем ближе он к единице, тем меньше ε 2 —1, тем меньше, следовательно, отношение ; значит, чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем более вытянут ее основной прямоугольник (в направлении оси, соединяющей вершины). В случае равносторонней гиперболы a = b и ε =√2 
Рассмотрим какую-нибудь гиперболу и введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы эта гипербола определялась каноническим уравнением 
  
Две прямые, перпендикулярные к той оси гиперболы, которая ее пересекает, и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии   от него, называются директрисами гиперболы 
Уравнения директрис в выбранной    системе   координат имеют вид 
  и   
Первую из них мы условимся называть левой, вторую —правой 
Так как для гиперболы ε >1, то 
Отсюда следует, что правая директриса расположена между центром и правой вершиной гиперболы; аналогично, левая директриса расположена между центром и левой вершиной 
1.3. Парабола 
Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой (предполагается, что эта прямая не проходит через фокус) 
Фокус параболы принято обозначать буквой F , расстояние от фокуса до директрисы—буквой p . Величину р называют параметром параболы 
Пусть дана какая-нибудь парабола. Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим далее через r расстояние от точки М до фокуса ( r = FM ), через d —расстояние от точки М до директрисы. Точка М будет находиться на (данной) параболе в том и только в том случае, когда 
r = d 
Чтобы получить искомое уравнение, нужно заменить переменные r и d   их выражениями через текущие координаты х, у 
Заметим, что фокус F имеет координаты ; приняв это во внимание, находим: 
Обозначим через Q основание перпендикуляра, опущенного из точки М на директрису. Очевидно, точка Q имеет координаты   отсюда, получаем: 

число положительное; это следует из того, что М (х; у) должна находиться с той стороны от директрисы, где находится фокус, т. е. должно быть , откуда 
Заменяя r и d , найдем 
Это и есть уравнение рассматриваемой параболы, так как ему удовлетворяют координаты точки 
М (х; у), когда точка М лежит на данной параболе 
Возведем обе части равенства в квадрат; получим: 
или 
у 2 =2рх 
Это уравнение называется каноническим уравнением параболы. Уравнение у 2 =2рх, определяющее параболу в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, парабола есть линия второго порядка 
2. Уравнения поверхностей второго порядка 
2.1. Эллипсоид 
2.2. Однополостный гиперболоид 
2.3. Двухполостный гиперболоид 

2.4. Конус 
2.5. Эллиптический параболоид 
2.6. Гиперболический параболоид 
2.7. Эллиптический цилиндр 
  
2.8. Гиперболический цилиндр 

2.9. Параболический цилиндр