1.ВВЕДЕНИЕ

2.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

2.1.ЗАПИСЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 
В СТАНДАРТНОЙ И ОПЕРАТОРНОЙ ФОРМЕ

В теории автоматического регулирования в настоящее время принято записывать дифференциальные уравнения в двух формах.
Первая форма записи. Дифференциальные уравнения записываются так, чтобы выходная величина и ее производные находились в левой части уравнения, а входная величина и все остальные члены  в правой части. Кроме того, принято, чтобы, сама выходная величина находилась в уравнении с коэффициентом единица. Такое уравнение имеет вид:

       =              (1)
При такой записи коэффициенты k,k1,...,kn называют коэффициентами передачи, а T1,...,Tn  постоянными времени данного звена.
Коэффициент передачи показывает отношение выходной величины звена к входной в установившемся режиме, т.е. определяет собой наклон линейной статической характеристики звена.
Размерности коэффициентов передачи  определяются как 

размерность k = размерность y(t) : размерность g(t)

размерность k1 = размерность y(t) : размерность g(t)      (?)

Постоянными времени T1,...,Tn имеют размерность времени.
Вторая форма записи. Считая условно оператор дифференцирования p= алгебраической величиной, произведем замену в уравнении (1):

           =

                    =                             (2)

2.2. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ЗВЕНА

Решим уравнение (2) относительно выходной величины y(t):
y(t)==
==

=W1(s)+W2(s)+...+Wn(s)
Здесь W1(s),W2(s),...,Wn(s) - передаточные функции.
При записи уравнений с изображениями выходной и входной величин по Лапласу передаточные функции сливаются в одну.

2.3. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНА

Динамические свойства звена могут быть определены по его переходной функции и функции веса.
Переходная функция h(t) представляет собой переходный процесс на выходе из звена, возникающий при подаче на его вход единичного ступенчатого воздействия - скачкообразного воздействия со скачком, равной единице.
Функция веса w(t) представляет собой реакцию на единичную импульсную функцию. Она может быть получена дифференцированием по времени переходной функции:
w(t)=

2.4.ЧАСТОТНАЯ ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЧАСТОТНЫЕ 
ХАРАКТЕРИСТИКИ

Важнейшей характкристикой динамического звена является его частотная передаточная функция. Ее можно получить с помощью передаточной фкнкции, заменив линейный оператор s на комплексный j.
Так как передаточная функция есть отношение изображения по Лапласу выходной величины к входной, то при переходе от изображения Лапласа к изображению Фурье, мы получим, что частотная передаточная функция является изображением Фурье функции веса, то есть имеет место интегральное преобразование
W(j)=.
Частотная передаточная функция может быть представлена в следующем виде:
W(j)=U()+jV()
где U() и V() - вещественная и мнимая части.
W(j)=A(),
где A() - модуль частотной передаточной функции, равный отношению амплитуде выходнгой величины к амплитуде входной, - аргументчастотной передаточной функции, равный сдвигу фаз выходной величины по отношению к входной.
Для наглядного представления частотных свойств звена используются так называемые частотные характеристики.
Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) показывает, как пропускает звено сигнал различой частоты. Оценка пропускания делается по отношению амплитуд выходной и входной величин. То есть АЧХ - это модуль частотной передаточной функции:
A()=W(j)
АЧХ строят для всео диапазона частот , т.к. модуль частотной передаточной функции представляет собой четную функцию частоты.
Другой важной характеристикой является фазовая частотная характеристика (ФЧХ), которая находится как аргумент частотной передаточной функции:
=argW(j)

 

4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ

4.1. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗВЕНЬЯ

Позиционные звенья - это такие звенья , в которых выходная и входная величины в установившемся режиме связаны линейной зависимостью y(t)=kg(t).Соответственно, переходная функция будет иметь вид W(s)=k, где N(s), L(s) - многочлены.

4.1.1.ИДЕАЛЬНОЕ УСИЛИТЕЛЬНОЕ ( БЕЗЫНЕРЦИОННОЕ ) ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:
aoy(t)=bog(t)         (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
ao=2
bo=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
y(t)=g(t)
y(t)=kg(t)             (2),
где k=-коэффициент передачи.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:
y(t)=kg(t)          (3)
2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t)=Y(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
Y(s)=kG(s)
W(s)=k             (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1. Тогда
h(t)=k1(t)          (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции:
w(t)==k(t)         (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики:
k=2
h(t)=21(t)
w(t)=2(t)
Переходная функция представляет собой ступенчатую функцию с шагом k=2, а функция веса - импульсную функцию, площадь которой равна k=2.
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:
W(s)=k
W(j)=k            (7)
W(j)=U()+jV()
U()=k
V()=0
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик.   По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.
A()=W(j)
A()=k              (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции,  т.е.
()=argW(j)
()=0                (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L()=20lg A()
L()=20lgk
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.
k=2
A()=2
()=0 
L()=20lg2
U()=2
V()=0

Вывод: Примером рассмотренного звена может являться механический редуктор, делитель напряжения, индукционные датчики и т.д. Но беэынерционное звено является некоторой идеализацией реальных звеньев. В действительности ни одно звено не может равномерно пропускать все частоты от нуля до бесконечности. Обычно к такому виду сводится одно из реальных звеньев , рассмотренных ниже , если можно пренебречь влиянием динамических процессов.

4.1.2. УСИЛИТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

1. Данное звено описывается следующим уравнением:
aoy(t)=bog(t-)         (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
ao=2
bo=4
=0,1с
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
y(t)= g(t-)
y(t)=kg(t-)             (2),
где k=-коэффициент передачи.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:
y(t)=kg(t-)          (3)
2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t)=Y(s)
g(t-)=G(s)e-s
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
Y(s)=kG(s) e-s
W(s)= ke-s           (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса.  ПО определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1.Тогда
h(t)=y(t)=k g(t-)=k1(t)          (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции:
w(t)==k(t-)         (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики:
k=2
h(t)=21(t-)
w(t)=2(t-)
Переходная функция представляет собой ступенчатую функцию с шагом k=2 и запаздыванием на =0,1с, а функция веса - импульсную функцию с таким же запаздыванием, площадь которой равна k=2.
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:
W(s)=k e-s
W(j)=k e-j =k(cos-jsin)     (7)
W(j)=U()+jV()
U()=k cos
V()=-ksin
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик.   По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.
A()=W(j)
A()=k              (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции,  т.е.
()=argW(j)
()=                (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L()=20lg A()
L()=20lgk
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.
k=2
A()=2
()=0,1 
L()=20lg2
U()=2cos0,1
V()=-2sin0,1

Вывод:

4.1.3. УСТОЙЧИВОЕ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 1-го ПОРЯДКА

1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a1 + aoy(t) =bog(t)         (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a1=1,24 
ao=2
bo=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
+y(t)=g(t) 

T1 +y(t)=kg(t)             (2),
где k=-коэффициент передачи,
     T1=-постоянная времени.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:
(T1 p+1)y(t)=kg(t)          (3)
2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t)=Y(s)
=sY(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
T1 sY(s)+Y(s)=kG(s)
W(s)=             (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа 
h(t)=H(s)
H(s)=W(s)== 
 Переходя к оригиналу, получим
h(t)=k1(t)      (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции 
w(t)= 
или из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)1 
W(s)==            
Переходя к оригиналу, получим
w(t)= e 1(t)        (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
k=2
T1 =0.62
h(t)=2 1(t)
w(t)=3.2e1(t)
Переходная функция представляет собой экспоненту. Множитель 1(t) указывает ,что экспонента рассматривается только для положительного времени t>0. Функция веса - также экспонента, но со скачком в точке t=0 на величину.
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:
W(s)= 
W(j)=           (7)
W(j)=U()+jV()==-j
U()=
V()=
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик.   По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции,т.е.
A()=W(j)
A()==     (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.
()=argW(j)
()=arctgk - arctg 
()=-arctgT1          (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L()=20lg A()
L()=20lg
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.
k=2
T1 =0.62
A()=
()=arctg0.62
L()=20lg
U()=
V()=

4.1.4. НЕУСТОЙЧИВОЕ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО
1-го ПОРЯДКА

1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a1 - aoy(t) =bog(t)         (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a1=1,24 
ao=2
bo=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
-y(t)=g(t) 

T -y(t)=kg(t)             (2),
где k=-коэффициент передачи,
     T=-постоянная времени.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:
(T p-1)y(t)=kg(t)          (3)
2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t) = Y(s)    
=sY(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
T sY(s)-Y(s)=kG(s)
W(s)=             (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа 
h(t)=H(s)
H(s)=W(s)== 
 Переходя к оригиналу, получим
h(t)=k1(t)      (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции 
w(t)= 
или из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)1 
W(s)==            
Переходя к оригиналу, получим
w(t)= e 1(t)        (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
k=2
T =0.62
h(t)=2 1(t)
w(t)=3.2e1(t)
Переходная функция представляет собой экспоненту. Множитель 1(t) указывает ,что экспонента рассматривается только для положительного времени t>0. Функция веса - также экспонента, но со скачком в точке t=0 на величину.
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:
W(s)= 
W(j)=           (7)
W(j)==j=U()+jV()
U()=
V()=
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик.   По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.
A()=W(j)
A()==     (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.
()=argW(j)
()=arctgk - arctg 
()=-arctg(-T)          (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L()=20lg A()
L()=20lg
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.
k=2
T =0.62
A()=
()=-arctg(-0.62)
L()=20lg
U()=
V()=

4.1.5. АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 2-го ПОРЯДКА

1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a2+a1 + aoy(t) =bog(t)         (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a2=0,588
a1=50,4
ao=120
bo=312
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
++y(t)=g(t) 

+T1 +y(t)=kg(t)             (2),
где k=-коэффициент передачи,
     T1=,T22=-постоянные времени.
Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка вещественны (это выполняется при T1>2T2), то оно является апериодическим 2-го порядка. Проверим это для нашего уравнения:
T1=0,42
2T2=0,14
0,42>014, следовательно, данное уравнение - апериодическое.
    
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:
(p2+T1 p+1)y(t)=kg(t)          (3)
2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t) = Y(s)    
=sY(s)
=s2Y(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
 s2Y(s)+T1 sY(s)+Y(s)=kG(s)
W(s)=             (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа 
h(t)=H(s)
H(s)=W(s)== , где
T3,4=
Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим
H(s)=
=
 Переходя к оригиналу, получим
h(t)=k1(t) =
=k 1(t)(5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции 
w(t)= 
или из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)1==
Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим
w(s)= 
=
Переходя к оригиналу, получим
w(t)= =
=            (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:
W(s)= 
W(j)=      (7)
Выделим вещественную и мнимую части :
W(j) ==

U()=                         
V()=                     
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик.   По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.
A()=W(j)
A()==..............(8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.
()=argW(j)
()=................
()=............... (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L()=20lg A()
L()=...................
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

4.1.6. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ (УСТОЙЧИВОЕ)  ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a2+a1 + aoy(t) =bog(t)         (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a2=0,588
a1=0,504
ao=12
bo=31,20
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
++y(t)=g(t) 

+T1 +y(t)=kg(t)             (2),
где k=-коэффициент передачи,
     T1=,T22=-постоянные времени.
Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка комплексные (это выполняется при T1<2T2), то оно является колебательным. Проверим это для нашего уравнения:
T1=0,042
2T2=0,14
0,042<014, следовательно, данное уравнение - колебательное.
Представим данное уравнение в следующем виде:
пусть T2=T, .
Тогда уравнение (2):

Здесь T - постоянная времени,  - декремент затухания (0<<1).
    
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:
(p2+2Tp+1)y(t)=kg(t)          (3)
2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t) = Y(s)    
=sY(s)
=s2Y(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
 s2Y(s)+2T sY(s)+Y(s)=kG(s)
W(s)=             (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа 
h(t)=H(s)
H(s)=W(s)=

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим
H(s)==
=

Заменим в этом выражении ,.Тогда
H(s)==
=
 Переходя к оригиналу, получим
h(t)=k =
=k 1(t)        (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции 
w(t)= 
или из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)1===
=
Переходя к оригиналу, получим
w(t)=      (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:
W(s)= 
W(j)=      (7)
Выделим вещественную и мнимую части :
W(j)=     

U()=  
V()
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик.   По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.
A()=W(j)
A()==       (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.
()=argW(j)
()=argk - arg(2Tj - T22+1)= - arctg
()= - arctg (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L()=20lg A()
L()=20lg
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

4.1.6. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ (НЕУСТОЙЧИВОЕ)  ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a2- a1 + aoy(t) =bog(t)         (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a2=0,588
a1=0,504
ao=12
bo=31,20
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
- +y(t)=g(t) 

-T1 +y(t)=kg(t)             (2),
где k=-коэффициент передачи,
     T1=,T22=-постоянные времени.
Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка комплексные (это выполняется при T1<2T2), то оно является колебательным. Проверим это для нашего уравнения:
T1=0,042
2T2=0,14
0,042<014, следовательно, данное уравнение - колебательное.
Представим данное уравнение в следующем виде:
пусть T2=T, .
Тогда уравнение (2):

Здесь T - постоянная времени,  - декремент затухания (0<<1).
    
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:
(p2 - 2Tp+1)y(t)=kg(t)          (3)
2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t) = Y(s)    
=sY(s)
=s2Y(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
 s2Y(s) - 2T sY(s)+Y(s)=kG(s)
W(s)=             (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа 
h(t)=H(s)
H(s)=W(s)=

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим
H(s)==
=

Заменим в этом выражении ,.Тогда
H(s)==
=
 Переходя к оригиналу, получим
h(t)=k =
=k 1(t)        (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции 
w(t)= 
или из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)1===
=
Переходя к оригиналу, получим
w(t)=      (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:
W(s)= 
W(j)=      (7)
Выделим вещественную и мнимую части :
W(j)=     

U()=  
V()
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик.   По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.
A()=W(j)
A()==       (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.
()=argW(j)
()=argk - arg(1 - 2Tj - T22)= - arctg
()= - arctg (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L()=20lg A()
L()=20lg
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

4.1.5. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ КОНСЕРВАТИВНОЕ ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a2+ aoy(t) =bog(t)         (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a2=0,0588
ao=12
bo=31,20
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
+y(t)=g(t) 

+ y(t)=kg(t)             (2),
где k=-коэффициент передачи,
 T2=-постоянная времени.
Это уравнение является частным случаем колебательного уравнения при =0.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:
(T2p2+1)y(t)=kg(t)          (3)
2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t) = Y(s)    
=s2Y(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
T2s2Y(s)+Y(s)=kG(s)
W(s)=             (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа 
h(t)=H(s)
H(s)=W(s)=

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим
H(s)=
Заменим .Тогда
H(s)=
Переходя к оригиналу, получим
h(t)=k1(t)        (5)
Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)1===
Переходя к оригиналу, получим
w(t)= k0sin0t1(t)                 (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:
W(s)=  
W(j)=      (7)
  
U()=
V()=0
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик.   По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.
A()=W(j)
A()==(8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.
()=argW(j)
()=argk - arg(1-T22)=0           (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L()=20lg A()
L()=20lg                   (10)
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

4.2. ИНТЕГРИРУЮЩИЕ ЗВЕНЬЯ

4.2.1. ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ИДЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a1 =bog(t)         (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a1=1,24 
bo=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a1:
=g(t) 

 =kg(t)             (2),
где k=-коэффициент передачи.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:
py(t)=kg(t)          (3)
2. Получим передаточную функцию для данного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t)=Y(s)
=sY(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
 sY(s)=kG(s)
W(s)=             (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа 
h(t)=H(s)
H(s)=W(s)=
 Переходя к оригиналу, получим
h(t)=kt1(t)      (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции 
w(t)= 
w(t)==k1(t)           (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:
W(s)= 
W(j)=           (7)
W(j)= 
U()=0
V()=
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик.   По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции,т.е.
A()=W(j)
A()==     (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.
()=argW(j)
()=argk - argj
()= - arctg         (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L()=20lg A()
L()=20lg
7. Построим графики частотных характеристик.Для этого сначала получим их численные значения.

4.2.2. ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ИНЕРЦИОННОЕ ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:
+ a1 =bog(t)         (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a2=0,0588 
a1=0,504
bo=31,20
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a1:
+ =g(t) 

T+=kg(t)             (2),
где k=-коэффициент передачи,
     T=-постоянная времени. 
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:
(Tp2+p)y(t)=kg(t)          (3)
2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t)=Y(s)
=sY(s)
=s2Y(s)
g(t)=G(s) 
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
Ts2Y(s)+sY(s)=kG(s)
W(s)=             (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа 
h(t)=H(s)
H(s)=W(s)=
Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим
H(s)=
Переходя к оригиналу, получим
h(t)= - kT1(t)+kt1(t)+kT1(t)=
= (5)
Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)1= 
Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим
w(s)=
Переходя к оригиналу, получим
w(t)=k1(t)        (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:
W(s)= 
W(j)=           (7)
W(j) 
U()=
V()=
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик.   По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции,т.е.
A()=W(j)
A()==     (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.
()=argW(j)
()=argk - argj - arg 
()= - arctg - arctgT          (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L()=20lg A()
L()=20lg
7. Построим графики частотных характеристик.Для этого сначала получим их численные значения.

4.2.3. ИЗОДРОМНОЕ ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a1 =b1+bog(t)         (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a1=1,24 
bo=4
b1=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a1:
=+g(t) 

=k1+kg(t)             (2),
где k1=, k=-коэффициент передачи.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:
py(t)=(k1p+k)g(t)          (3)
2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t)=Y(s)
=sY(s)
g(t)=G(s)
=sG(t)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
sY(s)=k1sG(s)+kG(s)
W(s)=             (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа 
h(t)=H(s)
H(s)=W(s) =
 Переходя к оригиналу, получим
h(t)=  1(t)      (5)
Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)1 
W(s)=
Переходя к оригиналу, получим
w(t)= k1(t)+k1(t)        (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:
W(s)=
W(j)=           (7)
U()=k1
V()=
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик.   По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции,т.е.
A()=W(j)
A()=............(8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.
()=argW(j)
()=............
()=............         (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L()=20lg A()
L()=20lg........
7. Построим графики частотных характеристик.Для этого сначала получим их численные значения.

4.3.1.ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ ИДЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:
aoy(t)=b1        (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
ao=2
b1=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
y(t)=
y(t)=k             (2),
где k=-коэффициент передачи.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:
y(t)=kpg(t)          (3)
2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t)=Y(s)
g(t)=G(s)
=sG(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
Y(s)=ksG(s)
W(s)=ks             (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса из преобразлваний Лапласа,т.е.
h(t)=H(s)
H(s)=W(s)=k
Переходя к оригиналу, получим
h(t)=k(t)          (5)
Функцию веса можно получить по преобразованию Лапласа из передаточной функции:
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)1=ks
Переходя к оригиналу, получим
w(t)=k         (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:
W(s)=ks
W(j)=jk            (7)
W(j)=U()+jV()
U()=0
V()=k
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик.   По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.
A()=W(j)
A()=k              (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции,  т.е.
()=argW(j)
()=arctgk                (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L()=20lg A()
L()=20lgk
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные выражения.

4.3.2.ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ РЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a1 + aoy(t) =b1         (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a1=1,24 
ao=2
b1=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a1:
+y(t)=

T+y(t)=k            (2),
где k=-коэффициент передачи,
     T1=-постоянная времени.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:
(Tp+1)y(t)=kpg(t)          (3)
2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t)=Y(s)
=sY(s)
g(t)=G(s)
=sG(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
TsY(s)+Y(s)=ksG(s)
W(s)=             (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа 
h(t)=H(s)
H(s)=W(s)== 
 Переходя к оригиналу, получим
h(t)=1(t)      (5)
Функцию веса можно получить  из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)1 
W(s)= =
Переходя к оригиналу, получим
w(t)=(t) e 1(t)        (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:
W(s)=
W(j)=
W(j)==
6.Найдем АЧХ:
A()=W(j)
A()==
Найдем ФЧХ:
()=argW(j)
()=arctgk-arctgT

L()=20lgA()
L()=20lg

4.3.3.ФОРСИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО 1-го ПОРЯДКА
Данное звено описывается следующим уравнением:
a0y(t)=b1+b0g(t)
y(t)=+g(t)
k1=
k=
p=
y(t)=k1pg(t)+kg(t)
y(t)=Y(s)
g(t)=G(s)
Y(s)=k1sG(s)+kG(s)
W(s)=k1s+k
H(s)==k1+
h(t)=k1(t)+k1(t)
W(j)=k1j+k
U()=k
V()=k1
A()=W(j)
A()=
()=argW(j)
()=arctg
L()=20lgA()
L()=20lg

4.3.4.ФОРСИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО 2-го ПОРЯДКА

a0y(t)=b2+b1+b0g(t)
y(t)=++g(t)
y(t)=k2+k1+kg(t)
y(t)=k2p2g(t)+k1pg(t)+kg(t)
Y(s)=(k2s2+k1s+k)G(s)
W(s)=k2s2+k1s+k
H(s)=k2s+k1+
h(t)=k2+k1(t)+k11(t)
w(s)=W(s)=k2s2+k1s+k
w(t)=k2+k1+k(t)
W(j)=k1j+k - k22
U()=k - k22
V()=k1j
A()=
()=arctg
L()=20lg