АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
Из курса математики известны 3 способа задания функциональных зависимостей: 
1.	аналитический 
2.	графический 
3.	табличный 
Табличный способ обычно возникает в результате эксперемента 
Недостаток табличного задания функции заключается в том, что найдутся значения переменных которые неопределены таблицей. Для отыскания таких значений определяют приближающуюся к заданной функцию, называемой аппроксмирующей, а действие замены аппроксимацией 
Аппроксимация заключается в том, что используя имеющуюся информацию по f(x) можно рассмотреть другую функцию fч) близкую в некотором смысле к f(x), позволяющую выполнить над ней соответствующие операции и получить оценку погрешность такой замены 
  
f(u )- аппроксимирующая функция 
Интерполяция (частный случай аппроксимации) 
Если для табличной функции y=f(x), имеющей значение x 0 f(x 0 ) требуется построить аппроксимирующюю функцию j (x) совпадающую в узлах с x i c заданной, то такой способ называется интерполяцией 
При интерполяции, заданная функция f(x) очень часто аппроксимируется с помощью многочлена, имеющего общий вид 
j (x)=p n (x)=a n x n +a n-1 x n-1 +…+a 0 
В данном многочлене необходимо найти коэффициенты a n ,a n-1 , …a 0 , так как задачей является интерполирование, то определение коэффициентов необходимо выполнить из условия равенства: 
P n (x i )=y i i=0,1,…n 
Для определения коэффициентов применяют интерполяционные многочлены специального вида, к ним относится и полином Лагранжа L n (x) 
i ¹ j 
В точках отличных от узлов интерполяции полином Лагранжа в общем случае не совпадает с заданной функцией 
Задание 
С помощью интерполяционного полинома Лагранжа вычислить значение функции y в точке x c , узлы интерполяции расположены равномерно с шагом D х=4,1 начиная с точки х 0 =1,3 даны значения функции y={-6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27} 
ГСА для данного метода 
  
                                                                          CLS 
DIM Y(9) 
DATA -6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27 
X0 = 1.3: H = 4.1: N = 10: XC = 10 
FOR I = 0 TO N - 1 
1 X(I) = X0 + H * I 
READ Y(I) 
PRINT Y(I); X(I) 
NEXT I 
S1 = 0: S2 = 0: S3 = 0: S4 = 0 
FOR I = 0 TO N - 1 
2 S1 = S1 + X(I) ^ 2 
S2 = S2 + X(I) 
S3 = S3 + X(I) * Y(I) 
S4 = S4 + Y(I) 
NEXT I 
D = S1 * N - S2 ^ 2 
D1 = S3 * N - S4 * S2 
D0 = S1 * S4 - S3 * S2 
A1 = D1 / D: A0 = D0 / D 
YC = A1 * XC + A0 
PRINT "A0="; A0, "A1="; A1, "YC="; YC 
FOR X = 0 TO 50 STEP 10 
Y = A1 * X + A0 
PRINT X, Y 
NEXT X 
END 
XC= 10 
Х Y 
1.3 -6.56 
5.4 -3.77 
9.5 -1.84 
13.6 .1 
17.7 2.29 
21.8 4.31 
25.9 5.86 
30 8.82 
34.1 11.33 
38.2 11.27 
S=-1.594203 
АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЕЙ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 
В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично или в виде набора точек с координатами (x i ,y i ), i=0,1,2,...n, где n - общее количество точек. Как правило, эти табличные данные получены экспериментально и имеют погрешности. При аппроксимации желательно получить относительно простую функциональную зависимость (например, полином), которая позволила бы "сгладить" экспериментальные погрешности, получить промежуточные и экстраполяционные значения функций, изначально не содержащиеся в исходной табличной информации. 
Графическая интерпретация аппроксимации 
Эта функциональная (аналитическая) зависимость должна с достаточной точностью соответствовать исходной табличной зависимости. Критерием точности или достаточно "хорошего" приближения могут служить несколько условий 
Обозначим через f i значение, вычисленное из функциональной зависимости для x=x i и сопоставляемое с y i 
Одно из условий согласования можно записать как 
S = (f i -y i )  min , 
т.е. сумма отклонений табличных и функциональных значений для одинаковых x=x i должна быть минимальной (метод средних). Отклонения могут иметь разные знаки, поэтому достаточная точность в ряде случаев не достигается 
Использование критерия S = |f i -y i |  min , также не приемлемо, т.к. абсолютное значение не имеет производной в точке минимума 
Учитывая вышеизложенное, используют критерий наименьших квадратов , т.е. определяют такую функциональную зависимость, при которой 
S = (f i -y i ) 2 , (1) 
обращается в минимум 
В качестве функциональной зависимости рассмотрим многочлен 
f(x)=C 0 + C 1 X + C 2 X 2 +...+C M X M . (2) 
Формула (1) примет вид S = ( C 0 + C 1 X i + C 2 X i 2 +...+C M X i M - Y i ) 2 
Условия минимума S можно записать, приравнивая нулю частные производные S по независимым переменным С 0, С 1 ,...С М : 
S C0 = 2 ( C 0 + C 1 X i + C 2 X i 2 +...+C M X i M - Y i ) = 0 , 
S C1 = 2 ( C 0 + C 1 X i + C 2 X i 2 +...+C M X i M - y i ) X i = 0 , (3) 
S CM = 2 ( C 0 + C 1 X i + C 2 X i 2 +...+C M X i M - Y i ) X i M = 0 , 
Тогда из (3) можно получить систему нормальных уравнений 
C 0 (N+1) + C 1 X i + C 2 X i 2 +...+ C M X i M = Y i , 
C 0 X i + C 1 X i 2 + C 2 X i 3 +...+ C M X i M+1 = Y i X i ,(4) 
C 0 X i M + C 1 X i M+1 + C 2 X i M+2 +...+ C M X i 2M = Y i X i M 
Для определения коэффициентов С i и, следовательно, искомой зависимости (2) необходимо вычислить суммы и решить систему уравнений (4). Матрица системы (4) называется матрицей Грама и является симметричной и положительно определенной. Эти полезные свойства используются при ее решении 
(N+1) 	X i 	X i 2 	... 	X i M 	Y i 	
X i 	X i 2 	X i 3 	... 	X i M+1 	Y i X i 	
... 	... 	... 	... 	... 	... 	
X i M 	X i M+1 	X i M+2 	... 	X i 2M 	Y i X i M 	
Нетрудно видеть, что для формирования расширенной матрицы (4а) достаточно вычислить только элементы первой строки и двух последних столбцов, остальные элементы не являются "оригинальными" и заполняются с помощью циклического присвоения 
Задание 

Найти коэффициенты прямой и определить значение функции y{-6.56,-3.77, -1.84,0.1,2.29,4.31,5.56,8.82,11.33,11.27}, x0=1.3 h=4.1, и определить интеграл заданной функции. 

Программа 
¦CLS 
¦XC = 10: X0 = 1.3: H = 4.1: N = 10 
¦DIM Y(9): DIM X(9) 
¦DATA -6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27 
¦FOR I = 0 TO N - 1 
¦X = X0 + H * I: 
¦X(I) = X 
¦READ Y(I) 
¦PRINT X(I), Y(I) 
¦NEXT I 
¦S1 = 0: S2 = 0: S3 = 0: S4 = 0 
¦I = 0 
¦10 S1 = S1 + X(I) ^ 2: 
¦S2 = S2 + X(I): 
¦S3 = S3 + X(I) * Y(I): 
¦S4 = S4 + Y(I) 
¦I = I + 1 
¦IF I <= N - 1 THEN 10 
¦D = S1 * N - S2 ^ 2: 
¦D1 = S3 * N - S2 * S4: 
¦D0 = S1 * S4 - S2 * S3 
¦A1 = D1 / D: 
¦A0 = D0 / D 
¦Y = A1 * XC + A0 
¦PRINT TAB(2); "КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A0="; A0, 
¦PRINT TAB(2); "КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A1="; A1, 
¦PRINT TAB(2); "ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ XC Y="; Y 
¦FOR X = 10 TO 50 STEP 10 
¦Y = A1 * X + AO 
¦PRINT X, Y 
¦NEXT X 
¦FOR I = 1 TO N - 1 
¦S = S + Y(I): NEXT I 
¦D = H / 2 * (Y(0) + Y(N - 1) + 2 * S) 
¦PRINT "ЗНАЧЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ПО МЕТОДУ ТРАПЕЦИИ D="; D 
Ответы 
Х Y 
1.3 -6.56 
5.4 -3.77 
9.5 -1.84 
13.6 .1 
17.7 2.29 
21.8 4.31 
25.9 5.86 
30 8.82 
34.1 11.33 
38.2 11.27 
КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A0=-6.709182 
КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A1= .5007687 
ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ XC Y=-1.701495 
10 5.007687 
20 10.01537 
ЗНАЧЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ПО МЕТОДУ ТРАПЕЦИИ D= 166.9725