Лекция 14. Быстрые схемы дискретного преобразования Фурье. 
Обычные формулы для вычисления ДПФ требуют большого количества умножений: , где  - число точек в ДПФ. Существуют приемы, позволяющие уменьшить это количество. Они называются быстрыми схемами (БПФ). Простейшая относится к случаю .
Случай 
 Любое число в интервале  однозначно представляется двоичным вектором длины . Если последовательность  задана, то положим
. В дальнейшем, что упростить изложение, введем обозначение , откуда . Имеем
. Основное замечание заключается в следующем: суммирование по индексу  равносильно суммированию по всем двоичным индексам . 
, каждый из которых принимает два значения.
Для числа  существует аналогичное двоичное представление:. Рассмотрим самую внутреннюю сумму. . Нетрудно видеть, что это некоторая функция . Следующая сумма принимает вид . Этот процесс продолжается. Окончательно имеем . Количество сумм равняется , в каждой из которых лишь одно умножение. Для вычисления всех коэффициентов нужно  умножений. Другое преимущество этой схемы - экономный расход оперативной памяти. 
Случай   с взаимно простыми сомножителями
Рассмотрим другой крайний случай, когда  и . В этом случае существуют целые , для которых . Отсюда следует, что
    (1)
При этом можно считать выполненными неравенства
 .(2)
Если такое неравенство для , например, не имеет места, можно разделить на . Для

 любого целого  из (1) вытекает
. При ограничениях типа (2)  находятся однозначно. Имеем
. Числа  - взаимно простые. Следовательно имеем для любого целого 
. Теперь . Раскрывая скобки и отбрасывая члены кратные , получим показатель вида . 
Из равенства  следует, что , поэтому весь показатель сравним с . Это означает, что . Вводя обозначения , окончательно получим  =
. Это означает, что преобразование Фурье для  точек свелось к последовательному выполнению преобразования Фурье по  точкам, а затем - по  точкам результатов предыдущего преобразования. При этом потребуется не более, чем  умножений. По сравнению с  выигрыш небольшой. Если же для какого-либо из промежуточных случаев есть своя быстрая схема, выигрыш может получиться значительным.