Метод Ейлера
Однокрокові методи призначені для розв’язування диференціальних рівнянь першого порядку виду
EMBED Equation.3 (1)
Метод Ейлера є найпростішим методом розв’язування задачі Коші. Він дозволяє інтегрувати ДР першого порядку. Точність його не велика.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3- настільки мале, що значення
EMBED Equation.3
функції EMBED Equation.3 мало відрізняється від
EMBED Equation.3
лінійної функції
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3- тангенс кута нахилу дотичної в EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
x
h
Тобто крива заміняється дотичними. Рух відбувається не по інтегральній кривій, а по відрізках дотичної .
Метод Ейлера базується на розкладі функції EMBED Equation.3 в ряд Тейлора в околі точки EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 (2)
Якщо EMBED Equation.3 мале, то, члени розкладу, що містять в собі EMBED Equation.3 і т.д. є малими високих порядків і ними можна знехтувати.
Тоді EMBED Equation.3 (3)
ПохіднуEMBED Equation.3 знаходимо з рівняння (1), підставивши в нього початкову умову. Таким чином можна знайти наближене значення залежної змінної при малому зміщенні EMBED Equation.3 від початкової точки. Цей процес можна продовжувати, використовуючи співвідношення.
EMBED Equation.3,
роблячи як завгодно багато кроків.
Похибка методу має порядок EMBED Equation.3, оскільки відкинуті члени, що містять EMBED Equation.3 в другій і вище степенях.
Недолік методу Ейлера - нагромадження похибок, а також збільшення об’ємів обчислень при виборі малого кроку EMBED Equation.3 з метою забезпечення заданої точності.
В методі Ейлера на всьому інтервалі EMBED Equation.3 тангенс кута нахилу дотичної приймається незмінним і рівним EMBED Equation.3. Очевидно, що це призводить до похибки, оскільки кути нахилу дотичної в точках EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 різні. Точність методу можна суттєво підвищити, якщо покращити апроксимацію похідної.
Це можна зробити, якщо, наприклад, використати середнє значення похідної на початку та в кінці інтервалу. В т.з. модифікованому методі Ейлера (метод Ейлера з перерахунком) спочатку обчислюється значення функції в наступній точці за звичайним методом Ейлера.
EMBED Equation.3 (4)
Воно використовується для обчислення наближеного значення похідної в кінці інтервалу EMBED Equation.3 .
Обчисливши середнє між цим значенням похідної та її значенням на початку інтервалу, знайдемо більш точне значення EMBED Equation.3:
EMBED Equation.3 (5)
Цей прийом ілюструється на рисунку.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3

EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3

EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
xn h/2 xn+1
Принцип модифікованого методу можна пояснити інакше. Якщо в розкладі в ряд Тейлора зберегти член з EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 (6)
Замість другої похідної EMBED Equation.3 можна використати наближення кінцевою різницею
EMBED Equation.3 (7)
EMBED Equation.3EMBED Equation.3. Підставивши (7) в (6) одержимо
EMBED Equation.3 (8)
Що співпадає по формі з (5). Відмінність між (8) та (5): в (5) точне значення похідної EMBED Equation.3 замінимо на EMBED Equation.3. Похибка при такій заміні має порядок EMBED Equation.3.
Відмітимо, що за підвищення точності доводиться платити додатковими затратами машинного часу.
В обчислювальній практиці використовується також метод Ейлера-Коші з ітераціями:
знаходиться грубе початкове наближення (за звичайним методом Ейлера)
EMBED Equation.3
будується ітераційний процес
EMBED Equation.3 (9)
Ітерації продовжують до тих пір, доки два послідовні наближення не співпадуть з заданою похибкою EMBED Equation.3. Якщо після декількох ітерацій співпадання нема, то потрібно зменшити крок EMBED Equation.3.
EMBED Equation.3
Тобто в модифікованому методі Ейлера, в методі Ейлера-Коші з ітераціями спочатку (на першому етапі) знаходиться наближення для EMBED Equation.3, а потім воно вже коригується за формулами (5) або (9).