І. ВСТУП
При обробці сигналів звичайно доводиться вирішувати задачі двох типів — задачу виявлення і оцінювання. При виявленні потрібно дати відповідь на питання, чи спостерігається зараз деякий сигнал з апріорно відомими параметрами. Оцінювання - це задача вимірювання значень параметрів, що описують сигнал. Сигнал часто зашумлений, на нього можуть накладатися сигнали, що заважають. Тому для спрощення вказаних задач сигнал звичайно розкладають по базисних складових простору сигналів [1]. Для багато яких додатків щонайбільший інтерес представляють періодичні сигнали. Цілком природно, що рішення задач виявлення і оцінювання подібних сигналів пов'язано з їх розкладанням по базису, що складається з простих періодичних функцій sin і cos. Таке розкладання можна виконати за допомогою класичного перетворення Фур’є.
Кожний оброблюваний сигнал повинен мати кінцеву тривалість. Тривалість сигналу можна, зрозуміло, міняти і регулювати, але вона обов'язково повинна бути кінцевою. При обробці сигналів кінцевої тривалості виникають цікаві і взаємозалежні питання, які необхідно враховувати в ході гармонійного аналізу. Кінцівка інтервалу спостереження впливає _на знаходження тонів у присутності близьких сильних тонів, на знаходження тонів змінної частоти і на точність оцінок параметрів всіх вищезазначених сигналів.
На практиці оброблюваний масив даних складається з N еквідістантних відліків прийнятого сигналу. Для зручності будемо вважати, що N - парне складове число. Гармонійні оцінки одержувані за допомогою дискретного перетворення Фур’є (ДПФ), — це N еквідістантних відліків відповідних періодичних спектрів. Такий підхід математично витончений і привабливий, коли схема _обробки сигналу реалізується як спектральне розкладання в N-мірному ортогональному векторному просторі [2]. На жаль, на практиці для отримання задовільних результатів часто доводиться жертвувати цією витонченістю. Один з неминучих в таких випадках компромісів пов'язаний з тим, що послідовність відліків сигналу доводиться множити на вагові функції (вікна) або, що еквівалентно, згладжувати спектральні відліки.
Таким чином, дані звичайно піддаються двом виконуваним в довільному порядку операціям дискретизації і згладжуванню за допомогою вікон. Що таке дискретизація і згладжування даних за допомогою вікон, достатньо добре знають всі, а ось що таке дискретні вікна для ДПФ, відомо лише небагатьом! Тому ми і звернемося до чинників, що визначають вибір вікон для гармонійного аналізу, надавши особливу увагу дискретним вікнам, використовуваним при ДПФ.
II. ГАРМОНІЙНИЙ АНАЛІЗ КІНЦЕВИХ МАСИВІВ ДАНИХ І ДПФ
Гармонійний аналіз кінцевих послідовностей даних пов'язаний із задачею проекції спостережуваного сигналу на базисні вектори, на які натягнуть інтервал спостереження [1,3]. Введемо позначення, які знадобляться нам в наступних розділах. Хай Т (сек) – зручний часовий інтервал, NT (сек) – інтервал часу спостереження. Синуси і косинуси з періодами,

Рис 1. N відрахунку парної функції на інтервалі NT секунд
кратними інтервалу NT, утворюють ортогональний базис для безперервних сигналів тривалістю NТ. Базисні функції визначаються як
EMBED Equation.3 (1)
Помітимо, що, припустивши набір базисних функцій з впорядкованим індексом k, ми тим самим визначили спектр сигналу над лінією, званою частотною віссю, з якого далі виводяться поняття ширини смуги частот і частот, близьких і далеких від даної частоти (ці поняття пов'язані з дозволом).
Для дискретизованих сигналів базис, що стягує інтервал NT, ідентичний послідовності еквідістантних відліків векторів відповідного безперервного базису з індексами від 0 до N/2:
EMBED Equation.3 (2)
Відзначимо, що тригонометричні функції унікальні в тому відношенні, що послідовності їх еквідістантних відліків (на інтервалі, рівному цілому числу періодів) взаємно ортогональні.
Еквідістантні відліки довільних ортогональних функцій не утворюють ортогональних послідовностей, відзначимо також, що часовий інтервал, займаний N відліками, узятими через Т секунд, нерівний NT секундам. Це легко зрозуміти, якщо врахувати той факт, що інтервал, на якому беруться відліки, замкнутий зліва і відкритий справа (тобто [—)). Рис. 1 ілюструє цю обставину на прикладі дискретизації парної щодо центру інтервалу функції тривалістю NТ сек.
Оскільки для ДПФ потрібна періодичність ряду, опущену останню точку послідовності можна вважати початковою точкою наступного періоду періодичного продовження цієї послідовності. Дійсно, при періодичному, продовженні наступний відлік (на 16-й секунді на мал. 1) не відрізняється від відліку в нульовий момент часу.
Вказане порушення симетрії через відсутню (але що мається на увазі) кінцеву точку є постійним джерелом помилок при виборі типу вживаного вікна. Ці помилки сходять до ранніх робіт, присвячених збіжності часткових сум рядів Фур’є. Часткові суми (або кінцеве перетворення Фур’є) завжди мають непарне число членів і володіють парною симетрією щодо початкової точки. Тому в багато яке керівництво і бібліотеки стандартних програм включені вікна, що володіють істинною парною симетрією, а не симетрією, що мається на увазі, з опущеною кінцевою точкою!
При обчисленні ДПФ дискретних даних слід пам’ятати, що парна симетрія означає, що проекція сигналу на послідовність відліків синуса тотожно рівна нулю. Але це ні в якому разі не означає, що числа відліків, розташованих справа і зліва від середньої точки, обов'язково рівні один одному. Щоб відрізняти цю симетрію від звичайної парності, будемо називати звичайну парну послідовність з опущеною крайньою правою точкою ДПФ-парною. Іншим прикладом ДПФ-парної послідовності є послідовність відліків періодично продовженої трикутної хвилі (мал. 2).

2. Парна послідовність і її періодичне продовження при обрахунку ДПФ
Якщо ми обчислимо кінцеве перетворення Фур’є ДПФ-парної послідовності (рахуючи відлік в точці +N/2 рівним 0), то отримана безперервна періодична функція буде мати ненульову уявну компоненту. ДПФ тій же самій послідовності - це не що інше, як ряд відліків кінцевого перетворення Фур’є, проте уявна компоненту цих відліків тотожно рівна нулю. В чому причина цієї невідповідності? Не треба забувати, що відсутність в ДПФ-парному ряді кінцевої точки приводить до появи в кінцевому перетворенні уявної синусоїдальній компоненти з періодом 22?/(N/2) (відповідної непарному члену послідовності з номером N/2). Проте відліки ДПФ беруться в точках, кратних 22 ? /N, які, звичайно, відповідають нулям уявної синусоїдальній компоненти. Приклад такої вдалої дискретизації показаний на мал. 3.
Відзначимо, що послідовність f(n) розбита на парну і непарну частини. Непарна частина і обумовлює появу уявній синусоїдальній компоненти в кінцевому перетворенні.
III. ПРОСОЧУВАННЯ СПЕКТРАЛЬНИХ СКЛАДОВИХ
Вибір кінцевого часового інтервалу тривалістю NT секунд і ортогонального тригонометричного базису (безперервного або дискретного) на цьому інтервалі обумовлює цікаву особливість спектрального розкладання. 3 континууму можливих частот тільки співпадаючі з частотами базису будуть проектуватися на єдиний базисний вектор, а вся решта частот буде мати ненульові проекції на будь-який з векторів базисної множини. Це явище, яке звичайно називають розмиванням або просочуванням спектральних складових (spectral leakage), виникає через кінцеву тривалість оброблюваних записів. Хоча частота відліків і впливає на ступінь розмивання, сама по собі дискретизація не є його причиною.

Рис 3. ДПФ як послідовність підрахунків кінцевого перетворення Фур’є ДПФ-парної послідовності
Щоб інтуїтивно зрозуміти причину розмивання, достатньо помітити, що сигнали з частотами, відмінними від базисних, неперіодичні у вікні спостереження. Якщо природний період сигналу несумірний з тривалістю інтервалу спостереження, періодичне продовження сигналу буде мати розриви на межах інтервалу. Ці розриви дають спектральні внески на всіх базисних частотах (тобто відбувається розмивання). Види виникаючих розривів ілюструє мал. 4.




Рис. 4. На проміжку спостереження періодичне продовження синусоїди неперіодичне
Вікна представляють собою вагові функції, використовувані для зменшення розмивання спектральних компонент, обумовленого кінцівкою інтервалів спостереження. Так, можна вважати, що дія вікна на масив даних (як мультиплікативної вагової функції) полягає у зменшенні порядку розриву на межі періодичного продовження. Цього добиваються, погоджуючи на межі якомога більше число похідних зважених даних. Простіше всього забезпечити таке узгодження зробивши ці похідні рівними або принаймні близькими до нуля. Таким чином, поблизу меж інтервалу зважені дані плавно прямують до нуля, так що періодичне продовження сигналу виявляється безперервним аж до похідних вищих порядків.
З другого боку, можна вважати, що вікно мультиплікативно впливає на базисну множину так, щоб сигнал довільної частоти мав значні проекції тільки на ті базисні вектори, частоти яких близькі до частоти сигналу. Обидва підходи, звичайно, ведуть до однакових результатів, і ми у міру потреби будемо користуватися одним з них.
IV. ВІКНА І ЇХ ОСНОВНІ ПАРАМЕТРИ
В гармонійному аналізі вікна використовуються для зменшення небажаних ефектів просочування спектральних складових. Вікна впливають на багато які показники гармонійного процесора, у тому числі на можливість виявлення, роздільну здатність, динамічний діапазон, ступінь достовірно і легкість реалізованості обчислювальних операцій. Щоб мати нагоду порівнювати характеристики вікон, необхідно знати, які з їх параметрів є основними. Легше всього виявити найбільш істотні параметри, розглянувши, як впливають різні типи вікон на результати гармонійного аналізу.
Обмежений по смузі сигнал f(t) з перетворенням Фур’є F(?) можна описати еквідістантною послідовністю відліків f (nT). Ця послідовність визначає періодично продовжений спектр NТ(?) як його розкладання в ряд Фур’є.
Для машинної обробки в реальному масштабі часу послідовність даних повинна мати кінцеву тривалість, тому суму нескінченного ряду (3b) можна апроксимувати кінцевою сумою:
EMBED Equation.3
В (4а) легко взнати кінцеве перетворення Фур’є; межі підсумовування тут вибрані задля зручностей, які дає, парна симетрія. Рівняння (4b) - - це кінцеве перетворення Фур’є з опущеною правою точкою, а (4с) — ДПФ, тобто ряд відліків спектру (4b). Бажано, звичайно, щоб при обробці реальних сигналів (для зручності застосування обчислювальних алгоритмів) індекси починалися з нуля. Цього можна добитися, зсовуючи початкову точку на N/2 точок вправо, тобто переходячи від (4с) до (4d). Рівняння (4d) — це пряме ДПФ. Втім, зсув індексу підсумовування на N/2 впливає лише на фазові кути перетворення, тому задля зручностей, обумовлених симетрією, будемо вважати, що всі вікна мають центр в початковій точці. Витікає, проте, пам'ятати, що ця зручність є основним джерелом неправильного застосування вікон. При обчисленні ДПФ за допомогою вікон зсув на N/2 точок і пов'язаний з ним фазовий зсув часто не враховують або враховують неправильно. Зокрема, це стається в тих випадках, коли множення на вагову функцію вікна в часовій області замінюється поєднанням спектру сигналу із спектром вікна. До обговорення цього питання ми ще повернемося при розгляді вікна Хеннінга в розділі, присвяченому косинусоїдальним вікнам типу cos? (X).
Тепер задамося питанням про те, наскільки точно сума кінцевого ряду (4b) апроксимує суму нескінченного ряду (3b). Фактично це питання торкається більш загального випадку довільного вікна, що впливає на деяку часову функцію (або часовий ряд):
EMBED Equation.3 (5)
Подивимося як впливає вікно на наші спектральні оцінки. З рівняння (5) видно, що перетворення Fw(?) – це перетворення добутку. Згідно даному нижче рівнянню (6), перетворення добутку еквівалентно згортку двох відповідних перетворень (див. додаток):
EMBED Equation.3 (6)
Рівняння (6) є ключем до розуміння впливу кінцевої довжини послідовності даних на результати їх обробки. Інтерпретувати його можна двояко, але обидві інтерпретації еквівалентні. Легше всього пояснити це на конкретному прикладі. Візьмемо дискретне прямокутне вікно ?(nT)=1,0. Ми знаємо, що W() — це ядро Діріхле [4], що має вигляд:
EMBED Equation.3 (7)
Якщо не враховувати член, що характеризує лінійний фазовий зсув (який зміниться через зсув на N/2 точок, необхідного для реалізації обчислювального алгоритму), то один період цього перетворення буде мати форму, показану на рис 5

Рис 5. Ядро Діріхле для послідовності з N точок
Щодо формули (6) можна сказати, що величина Fw(?) на заданій частоті ?, скажемо на ? = ?0, є сумою всіх спектральних гармонік, заздалегідь зважених спектральним вікном, з центром на частоті ?о (рис 6).

Рис 6. Графічна Інтерпретація рівняння (6). Вікно представлене у вигляді спектрального фільтра,
А. Еквівалентна шумова смуга.
З рис. 6 видно, що оцінка амплітуди гармонійної компоненти на заданій частоті виявляться зміщеною через наявність широкосмугового шуму, що потрапляє в смугу пропускання вікна. В цьому сенсі вікно поводиться як фільтр, потужність сигналу на виході якого пропорційна потужності гармонік вхідного сигналу в смузі його пропускання. Для виявлення гармонійного сигналу необхідно мінімізувати накопичений шум. Цього можна досягти за допомогою вузько смугового вікна. Зручною мірою ширини смуги пропускання вікна є його еквівалентна шумова смуга (ЕШС). ЕШС вікна - це ширина смуги пропускання прямокутного фільтра з тим же максимальним посиленням його потужності, який накопичує ту ж потужність шуму, що і дане вікно (рис 7).
Накопичена вікном потужність шуму визначається виразом:
Потужність шуму = EMBED Equation.3 (8)
Де N0 - потужність шуму в одиничній смузі частот. Згідно теореми Парсеваля, величину (8) можна обчислити таким чином:
Потужність шуму = EMBED Equation.3 (9)

Рис. 7 Еквівалентна шумова смуга вікна
Максимальне підсилення по потужності відповідає частоті EMBED Equation.3 ; воно називається посиленням по потужності на нульовій частоті і визначається виразами:
Максимальне підсилення сигналу =W(0)= EMBED Equation.3 (10а)
Максимальне посилення по потужності = W2(0) = EMBED Equation.3 (10b)
Таким чином, ЕШС вікна, нормована на величину N0/T- потужність шуму на бін (одиничний часовий інтервал), може бути записана у вигляді:
EMBED Equation.3 (11)
Значення ЕШС для різних типів вікон, що розглядаються в даній статті, приведені в табл.1
В. Підсилення і втрати перетворення
З ЕШС вікна тісно зв'язані поняття посилення перетворення (ПП) і втрат перетворення (ВП) при обчисленні ДПФ за допомогою вікон. ДПФ можна розглядати як результат пропускання сигналу через набір погоджених фільтрів, кожен з яких налаштований на одну з гармонік комплексної синусоїдальної послідовності базисної множини [3]. З цієї точки зору ми і будемо аналізувати підсилення перетворення (зване також когерентним підсиленням) фільтра і втрати перетворення, викликані тим, що вікно згладжує, тобто зводить до нуля, величини відліків, розташованих поблизу його меж. Хай вхідна послідовність відліків задана виразом:
EMBED Equation.3 (12)
Де EMBED Equation.3 - послідовність відліків білого шуму з дисперсією EMBED Equation.3 . Тоді становляча сигналу в спектрі, обчисленому за допомогою вікна (тобто вихід погодженого фільтра), буде рівна:
EMBED Equation.3 (13)
З (13) видно, що у відсутність шуму спектральна складова пропорційна вхідній амплітуді А. Таке ж буде і математичне очікування цієї складової за наявності шуму. Коефіцієнт пропорційності рівний сумі всіх відліків дискретного вікна, а ця сума є не що інше, як посилення вікна для постійного сигналу. Для прямокутного вікна цей коефіцієнт рівний N – числу відліків у вікні. Посилення будь-якого іншого вікна менше, оскільки вагова функція поблизу меж вікна плавно спадає до нуля. Пов'язане з цим зменшення коефіцієнта пропорційності корисно знати, оскільки воно характеризує помилку (зсув) оцінок амплітуд спектральних складових. В літературі замість ПП іноді використовується інший параметр когерентне посилення по потужності, тобто квадрат когерентного підсилення сигналу. Когерентне підсилення різних вікон [отримане підсумовуванням ряду (13)], нормоване щодо нього максимально можливої величини N, вказано в табл. 1.
Некогерентна складова зваженого, тобто виконаного за допомогою вікна перетворення, обчислюється по формулі:
EMBED Equation.3 (14а)
а некогерентна потужність (середньоквадратичне значення цієї складової) визначається виразом:
EMBED Equation.3 (14b)
де Е{ } — оператор математичного очікування. Помітимо, що некогерентне посилення по потужності рівно сумі квадратів відліків вагової функції, а когерентне — квадрату суми цих відліків.
І нарешті, обчислимо ПП, яке визначається як приватне від розподілу відносин сигнал/шум на виході і на вході:
EMBED Equation.3 (15)
Помітимо, що ПП — це величина, зворотна нормованій ЕШС вікна. Таким чином, збільшення ЕШС вікна веде до зменшення ПП. Це цілком зрозуміло, оскільки, чим ширше смуга пропускання, тим більша потужність шуму, що пройшов через вікно, вносячого внесок в спектральну оцінку.
С. Кореляція ділянок, що перекриваються
Коди швидке перетворення Фур'є (ШПФ) використовується для обробки довгої послідовності, цю послідовність заздалегідь ділять на декілька послідовностей по N відліків кожна, при цьому N вибирається так, щоб забезпечити необхідну спектральну роздільну здатність. Спектральна роздільна здатність ШПФ визначається формулою (16), де EMBED Equation.3 - спектральна роздільна здатність, fs – частота дискретизації, вибрана згідно критерію Найквіста, і ? - коефіцієнт, що характеризує збільшення ширини смуги для вибраного вікна. Відзначимо, що EMBED Equation.3 - це якнайкраща роздільна здатність, досяжна при ШПФ. Коефіцієнт ? звичайно вибирається рівним ЕШС вікна в бінах (табл. 1):
EMBED Equation.3 (16)
Якщо вікно і ШПФ впливають на ділянки послідовності (мал. 8), що не перекриваються, то значна частина даних просто ігнорується, оскільки поблизу меж вікна значення його відліків близькі до нуля. Так, наприклад, якщо перетворення використовується для виявлення коротких вузькополосних сигналів, то при аналізі ділянок, що не перекриваються, поява сигналу може виявитися просто непоміченою. Для цього достатньо, щоб сигнал з'явився поблизу межі будь-якого з інтервалів. Щоб уникнути таких втрат даних, перетворенню звичайно піддають ділянки послідовності, що перекриваються (див. також мал. 8). Ступінь перекриття в більшості випадків вибирається рівній 50 або 75%. Розбиття сигналу на ділянки, що перекриваються, звичайно, збільшує загальний об'єм обчислень, проте результати, що досягаються з його допомогою, цілком це виправдовують.

Рис 8, Розбиття послідовностей на інтервали, що перекриваються та не перекриваються.
Важливе питання, що виникає при обробці послідовностей, що перекриваються, торкається ступеня кореляції випадкових компонент сигналу в перетвореннях двох сусідніх ділянок послідовності. При відносно плоскому спектрі шуму в межах смуги пропускання вікна ця кореляція, як функція ступеня перекриття г, визначається формулою (17). На мал. 9 показано, як індекси підсумовування в цій формулі пов'язані із ступенем перекриття інтервалів. Значення коефіцієнта кореляції, визначуваного виразом
EMBED Equation.3 (17)
для кожного з тих, що розглядаються в статті вікон при 50- і 75%-ному перекриттях вказані в табл. 1.
В спектральному аналізі для зменшення дисперсії вимірювань часто усереднюють квадрати амплітуд перетворень окремих ділянок послідовності 151. Як відомо, при усереднюванні К незалежних вимірювань ергодичної випадкової величини дисперсія середнього пов'язана з дисперсією Індивідуальних вимірювань наступним співвідношенням:
EMBED Equation.3 (18)
Задамося тепер питанням, наскільки зменшиться дисперсія при усереднюванні корельованих вимірювань, як це має місце при усереднюванні перетворень Фур'є ділянок, що перекриваються? Відповідь на це питання дала Уелш [51]. Ми приводимо результат без доказу для окремих випадків 50- і 75%-ного перекриттів:
EMBED Equation.3 (19)
Негативні члени в (19) описують краєві ефекти усереднювання; їх можна не ураховувати при К>10. Для добрих вікон член с2(0.25) < 1.0, і його також можна опустити з допустимо малою помилкою. Саме з цієї причини значення члена з (0,25) не вказані в табл. 1. Помітимо, що для добрих вікон (див. останній абзац підрозділу IV.F) перетворення перекриваються на 50% ділянок сигналу практично незалежні.
D. Паразитна амплітудна модуляція спектру,
Важливим чинником, що впливає на виявлення слабих сигналів, є паразитна амплітудна модуляція спектру (scalloping loss), або ефект ''частоколу" (picket-fence effect}. Раніше ми розглядали виконуване за допомогою вікна ДПФ як результат пропускання сигналу через набір погоджених фільтрів і аналізували обумовлені специфічними властивостями вікна підсилення і втрати для тонів, співпадаючих з базисними векторами. Базисні вектори – це тони, кратні частоті fs/N, де fs – частота відліків. Ці частоти не що інше, як точки відліків спектру, їх звичайно називають точками виходів, частотами гармонік або бінами ДПФ. Задамося тепер питанням, які будуть додаткові втрати при обробці сигналу, частота якого лежить посередині між частотами сусідніх бінів (тобто сигналу з частотою (k+1/2)fs/N)?
Знов звернувшись до формули (13) і замінивши в ній ?к на ?к+1/2 одержуємо, що підсилення вікна для частоти, зсунутої на 0.5 біна, рівна:
EMBED Equation.3 (20а)
За визначенням, втрати через паразитну амплітудну модуляцію (AM) спектру рівні відношенню когерентного посилення тону, розташованого посередині між двома бінами ДПФ, до когерентного посилення тону, співпадаючого з одним з бінів ДПФ, тобто
EMBED Equation.3 (20b)
Втрати через паразитну AM рівні максимальним втратам при найсприятливішій для ДПФ частоті сигналу. Величини цих втрат для тих, всіх що розглядаються в даній статті вікон приведені о табл. 1.
Е. Максимальні втрати перетворення
Тепер зробимо одне цікаве зауваження. Визначимо максимальні втрати перетворення (ВП) як суму максимальних втрат через паразитну AM спектру для даного вікна (в дБ ) і втрат перетворення, обумовлених формою цього вікна. Введений параметр характеризує зменшення співвідношення виходу сигнал/шум в результаті дії вікна при якнайгіршому розташуванні частоти сигналу. Його величина, звичайно, впливає на мінімальну інтенсивність тону при якій він ще може бути знайдений в широкосмуговому шумі. Цікаво помітити, що рівень максимальних втрат завжди лежить між 3.0 і 4.3 дБ. Вікна, для яких максимальні ВП перевищують 3.8 дБ, абсолютно незадовільні і їх не слід застосовувати. Додаткові міркування про те, які вікна слід вважати незадовільними, приводяться в підрозділі IV.G. Із зіставлення даних про втрати, приведених в табл. 1 і на мал. 12, видно, що майже всі вікна (за винятком прямокутного) однаково придатні для виявлення чистих тонів в широкосмуговому шумі. Різниця у втратах біля різних вікон не перевищує 1.0 дБ, а для добрих вікон – 0.7 дБ. Проте виявлення тону у присутності інших близьких тонів представляє собою абсолютно іншу задачу. Як буде показано нижче, саме тут тип вживаного вікна може мати вирішальне значення.
F. Ще раз про просочування складових
Повертаючись до формули (6) і мал. 6. помітимо, що на точність вимірювання амплітуди спектральної складової впливає, не тільки спектр широкосмугового шуму але і вузько смугові перешкоди, якщо вони потрапляють в смугу пропускання вікна. Дійсно, деяка спектральна компонента, скажімо, з частотою ?= ?0 буде вносити внесок в спектральну компоненту з частотою ? = ?0, тобто буде спостерігатися на цій частоті. Цей внесок буде визначатися підсиленням вікна з центром в ?0 на частоті ?а. Це і є ефект, званий просочуванням спектральних складових. Він показаний на мал. 10 для перетворення кінцевого тону частотою ?0.
Просочування приводить до зсуву оцінок амплітуд і положень гармонійних складових сигналу. Навіть для єдиної речовинної гармоніки (не співпадаючій з частотою гармоніки ДПФ) просочування від ядра на осі негативних частот впливає на ядро на осі позитивних частот. Це вплив найбільш сильний і неприємний при виявленні слабих сигналів у присутності сильних перешкод близької частоти. Для зменшення неприємних наслідків через спектральне просочування амплітуда 6ічних пелюсток вдалині від головної центральної пелюстки частотної характеристики вікна повинна бути малою, а перехід від центральної пелюстки до низько амплітудних бічних пелюсток – дуже швидким. Одним з параметрів, що вказують наскільки добре вікно пригнічує просочування, є максимальний рівень бічних пелюсток (по відношенню до головної пелюстки), інший параметр – це асимптотична швидкість спаду бічних пелюсток.
G. Мінімальна допустима смуга частот
Рис.11 підказує ще один критерій, який повинен використовуватися при виборі оптимальних вікон. Оскільки вікно додає спектральній лінії деяку ефективну ширину, цікаво знати, при якій мінімальній відстані між двома спектральними лініями рівної інтенсивності головні пелюстки цих ліній ще можуть бути розділені незалежно від положення ліній щодо бінів ДПФ. Класичний критерій такого розділу – ширина вікна між точками, в яких потужність головної пелюстки спадає наполовину (ширина вікна по рівню 3.0 дБ). Цей критерій відображає той факт, що дві головні пелюстки рівної інтенсивності, віддалені один від одного по частоті менш ніж на ширину вікна по рівню 3.0 дБ, будуть мати один загальний спектральний пік і не будуть розділятися як дві окремі лінії.

Рис. 11. Спектральний дозвіл двох близько розташованих ядер.
Проте трудність використовування цього критерію в тому, що він несумісний з когерентним підсумовуванням, використовуваним в ДПФ. Точки ДПФ виходів виходять шляхом когерентного складання спектральних компонент, зважених вікном з центром на даній частоті.
Якщо в когерентне підсумовування вносять внесок двоє ядер, їх сума в точці перетину (номінально посередині між ними) повинна бути менше ніж індивідуальні найвищі точки, якщо ці найвищі точки розділені. Таким чином, в точках перетину ядер посилення від кожного ядра повинне перевищувати 0.5, тобто відстань між списами повинна перевищувати ширину вікна по рівню 6.0 дБ. Ширина різних вікон по рівню 6.0 дБ вказана в табл. 1. З таблиці видно, що ця ширина змінюється від 1.2 до 2.6 бин, де бин – роздільна здатність основної частоти ?s/N. Що стосується ширини вікна по рівню 3.0 дБ, то, як буде показано в наступному абзаці, вона також є корисною характеристикою вікна. Слід, проте, пам'ятати, що роздільна здатність ДПФ визначається шириною використовуваного вікна по рівню 6.0 дБ.
Вікна, для яких цей показник лежить в межах 4.0—5.5%, потрапляють в лівий нижній кут діаграми на мал. 12, що характеризує якість їх роботи. Діаграма буде описана нижче.
З табл.1 видно, що шумова смуга вікна завжди ширше за його смугу по рівню 3.0 дБ. Різниця цих двох параметрів, віднесена до ширини вікна по рівню 3.0 дБ, є досить чутливим показником якості роботи вікна. Для всіх хороших вікон, перерахованих в табл.1, цей показник лежить в межах 4.0—5.5%. Вікна, для яких він лежить зовні цього діапазону, мають або широку головну пелюстку, або високий рівень бічних пелюсток. Для таких вікон характерні або високі втрати перетворення, або мала ефективність виявлення двох близьких тонів.
В табл. 1 перераховані загальноприйняті параметри, що характеризують дані в статті типи вікон. Проте орієнтуватися в цій масі цифр непросто. Помітимо, що найважливішим з табличних параметрів, ймовірно, є рівень бічних пелюсток (чим він нижчий, тим менший зсув спектральних оцінок). Інший найважливіший параметр – максимальні втрати перетворення (чим вони нижче, тим вище помітність слабких сигналів). Рис.12 показує відносне положення різних вікон як функцію цих двох параметрів. Точки, відповідні кращим вікнам, лежать в лівому нижньому кутку діаграми. Такі вікна мають низький рівень бічних пелюсток і низькі максимальні втрати перетворення. Все ж таки ми настійно рекомендуємо ознайомитися також з розділах VI і VII, оскільки, не дивлячись на свою змістовність, мал.12 не може дати повної інформації про порівняльну ефективність вікон стосовно задачі гармонійного аналізу.

Рис 12. Порівняння вікон по рівню бічних пелюсток і максимальних втрат при перетворення.
V. КЛАСИЧНІ ВІКНА
В цьому розділі ми дещо докладніше розглянемо характеристики деяких добре (і не дуже добре) відомих вікон, покажемо, в яких випадках виправдано застосування кожного конкретного вікна, і перерахуємо їх основні параметри. Всі вікна будуть уявлені як парні (щодо початку координат). Послідовності, що містять непарне число точок. Для перетворення вікна в ДПФ-парне вікно достатньо відкинути крайню праву точку і зсунути послідовність так, щоб крайня ліва точка співпала з початком координат. Ми будемо використовувати нормовані координати з періодом дискретизації Т=1.0, так що ?0 буде мати період 2?/N і надалі позначатися через ?. Біном ДПФ будемо називати відстань між відліками, кратними 2?/N. Бін має ширину 2?/N.
4. Прямокутне вікно (вікно Діріхле) (6)
Прямокутне вікно у всьому інтервалі спостереження рівне одиниці. Таке вікно можна розглядати як виділяючу, або стробуючу послідовність, що впливає на вхідну послідовність для виділення з неї кінцевої ділянки. Вікно для кінцевого перетворення Фур'є визначається як
w(n)=l,0; EMBED Equation.3 (21а)
і показано на мал.13. Те ж саме вікно для ДПФ визначається як
w(n)=l,0; EMBED Equation.3 (21b)
Спектральне вікно, відповідне прямокутному вікну для ДПФ, дається виразом
EMBED Equation.3 (21с)
Видно, що перетворення цього вікна є ядром Діріхле шириною головної пелюстки ДПФ (між перетинами нуля) 2 біна та рівнем перших бічних пелюсток приблизно на 13 дБ нижче за пік головної пелюстки. Швидкість спаду бічних пелюсток складає 6.0 дБ/октава, що, звичайно, цілком прийнятне для вагової функція з розривами. Параметри вікна для ДПФ перераховані в табл. 1.

Рис 13. Прямокутне вікно (а) і логарифм амплітуди його перетворення Фур'є (b).
Тепер, коли дано визначення прямокутного вікна, можна відповісти на поставлене раніше питання: в якому сенсі кінцева сума (22а) апроксимує нескінченну суму (22b)
EMBED Equation.3 (22a)
EMBED Equation.3 (22b)
Легко бачити, що кінцева сума – це не що інше, як нескінченна сума, помножена на прямокутну вагову функцію. Помітимо також, що нескінченна сума – це розкладання в ряд Фур'є деякої періодичної функції, a f(n) – коефіцієнти цього розкладання. Відзначимо, до речі, і та обставина, що кінцева сума – це просто часткова сума ряду Фур'є. З цієї точки зору ми можемо вирішити поставлене вище питання в рамках збіжності часткових сум рядів Фур'є. Як відомо, часткова сума є наближенням нескінченної суми, що дає якнайменшу середньоквадратичну помилку.
Проте, хоча середньоквадратична збіжність і є зручною аналітичною концепцією, вона, взагалі кажучи, незручна для кінцевих оцінок або чисельних наближень. Середньоквадратичні оцінки звичайно осцилюють щодо своїх середніх значень і не володіють рівномірною збіжністю. (Наближення в околиці точки розриву може стати менш точним при збільшенні числа членів часткової суми.) Така поведінка поблизу точок розриву виявляється як дзвін, званий явищем Гіббса. Саме від цих осциляцій і прагнуть позбутися, застосовуючи не прямокутні вікна.
В. Трикутне вікно (вікно Фейера і Бартлетта) (7)
Трикутне вікно для кінцевого перетворення Фур'є визначається виразом
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (23а)
І показано на мал.14. Те ж саме вікно для ДПФ записується як
EMBED Equation.3 (23b)

Рис. 14. Трикутне вікно (а) і логарифм амплітуди його перетворення Фур'є 8(b).
А спектральне вікно, відповідне ДПФ - послідовності, дається формулою
EMBED Equation.3 (23c)
Видно, що перетворення цього вікна є квадратом ядра Діріхле. Ширина його головної пелюстки (між перетинами нуля) удвічі більш ніж в прямокутного вікна, а рівень перших бічних пелюсток рівний приблизно —26 дБ, тобто теж приблизно удвічі нижчий, ніж в прямокутного вікна. Рівень бічних пелюсток спадає із швидкістю 12 дБ/октава, оскільки розривна не сама вагова функція, а тільки її перша похідна. Трикутник – це найпростіше вікно, що має ненегативне перетворення. Такою властивістю володіють всі вікна, отримані шляхом згортки будь-якого вікна (половинної протяжності) з самим собою. Перетворення такого вікна рівно квадрату перетворення початкового вікна.
Вікно, отримане шляхом згортки з початковим вікном, містить приблизно удвічі більше відліків, ніж початкове, і, отже, відповідає тригонометричному поліному (по Z-перетворенню) приблизно удвічі більш високого порядку. (Згортка двох прямокутників по N/2 точок в кожному дасть трикутник з N+1 точок, якщо рахувати нульові точки на кінцях.) Тепер перетворення вікна буде мати удвічі більше нулів, ніж початкове перетворення (це пояснюється збільшенням порядку приєднаного тригонометричного полінома). Але яке ж дія перетворення на ці додаткові нулі, отримані за рахунок збільшення порядку полінома? Перетворення вікна, шляхом згортки з самим собою, просто має кратні нулі в кожній з точок, відповідних нулям початкового перетворення. Завдяки кратності нулів в нуль в цих точках звертається, звичайно, і перша похідна перетворення. Проте, якщо порядок полінома збільшують для зниження рівня бічних пелюсток, подвоєння числа нулів не принесе успіху.

Рис. 15, Дві часткові суми та їх середнє
Щоб понизити рівень бічних пелюсток, додаткові нулі слід було б помістити в проміжках між існуючими нулями (поблизу локальних піків бічних пелюсток), а не в тих точках, де перетворення і так рівно нулю. Дійсно, як буде показано нижче, лише незначна кількість з добрих вікон мають кратний корінь..
Повернемося на короткий час назад, щоб обговорити зв'язок трикутного вікна з питанням про збіжність часткових сум ряду Фур’є. Фейер помітив, що часткові суми рядів Фур’є є незадовільними чисельними апроксимаціями функцій [8]. Але оскільки коефіцієнти Фур’є легко обчислити, Фейер задався питанням, чи не можна шляхом якої-небудь простої модифікації цих коефіцієнтів отримати з них новий ряд з більш прийнятними властивостями збіжності. Осциляція часткових сум і факт зменшення цих осциляцій із зростанням порядку часткової суми навели його на думку про те, що середнє часткових сум буде представляти собою більш гладку функцію. На мал. 15 показано поведінку двох часткових сум біля точки розриву. Помітимо, що середнє двох розкладань осцилює слабше, ніж будь-яке з них по окремості. Продовжуючи цей хід міркувань, можна прийти до наступного визначення середнього розкладання FN(?).
EMBED Equation.3 (24)
де FM (?) – часткова сума з М членів ряду. Цю формулу пояснює табл. 2, де вказані ненульові коефіцієнти перших чотирьох часткових сум і їх усереднена сума. Ясно, що множники збіжності Фейера, що впливають на коефіцієнти ряду Фур’є, представляють собою не що інше, як трикутне вікно. Усереднювання часткових сум відоме як метод підсумовування Чезаро.
Таблиця 2. Обчислення множників Фейєра за допомогою усереднювання часткових сум Фур’є.

С. Вікна виду cos? (X)
Фактично це ціле сімейство вікон, залежних від параметра а, причому а, як правило, ціле число. Привабливість цього сімейства пояснюється легкістю обчислення значень відліків вікна і простотою аналізу властивостей перетворення косинусної функції. Ці якості особливо зручні для ДПФ. Вікно для кінцевого перетворення Фур’є визначається виразом
EMBED Equation.3 (25а)
а для ДПФ – виразом
EMBED Equation.3 (25b)
Відзначимо заміну cos на sin, обумовлену зсувом початкової точки. В якості ? частіше всього вибирають цілі числа від 1 до 4. Найбільш часто використовують вікно з ?=2 (вікно Хеннінга). Вікна для (? = 1 і 2 даються наступними формулами (для кінцевого перетворення формули з індексом „а", для ДПФ -з індексом "b"):
? =1.0 (косинусоїдальний пелюсток)
EMBED Equation.3 (26а)
?=1.0 (синусоїдальний пелюсток)
EMBED Equation.3 (26b)
?=2.0 (косинус квадрат, підведена косинусоїда, вікно Хеннінга)
EMBED Equation.3 (27а)
? =2.0 (синус квадрат, підведена синусоїда, вікно Хеннінга)
EMBED Equation.3 (27b)
Вікна для цілих y від 1 до 4 показані на мал. 16 – 19. Помітимо, що із зростанням ? вікна стають більш гладкими, що відображається і на перетворенні — зменшується рівень бічних пелюсток і швидшає їх спад, але зате збільшується ширина головної пелюстки.
Особливий інтерес в цьому сімействі представляє вікно Ханна (назване на честь австрійського метеоролога Юліуса фон Ханна) Правильна назва цього вікна – "вікно Ханна" (Hann). Проте неправильний термін "вікно Хеннінга" (Hanning) вже широко розповсюджено, тому в даний статті ми не будемо порушувати сталу термінологію. Іноді використовується також назва "Ханінове (Hann'd) вікно".
[7]. Безперервне не тільки саме це вікно, але і його перша похідна. Оскільки розрив випробовує друга похідна, амплітуда перетворення спадає як 1/?3, або з швидкістю – 18 дБ/октава. Познайомимося з перетворенням цього вікна ближче, це допоможе нам глибше зрозуміти суть розбираних питань і навчитися правильно застосовувати вікна при обчисленні ДПФ. Дискретне вікно Хеннінга можна записати як суму двох послідовностей, тобто
EMBED Equation.3 (28а)
Оскільки ДПФ для кожного з доданків відоме, легко обчислити ДПФ суми
EMBED Equation.3 (28b)
Ядро Діріхле з центром на початку координат є перетворенням відліків вікна з постійного амплітудою, рівною 0.5, а пара зміщених ядер – перетворення відліків, відповідних періоду косинуса. Помітимо, що максимуми головних пелюсток зміщених ядер потрапляють на перші нулі центрального ядра і мають амплітуду, рівну половині центральної пелюстки. Крім того, бічні пелюстки зміщених ядер удвічі менші бічних пелюсток центрального ядра і знаходяться в протифазі з ними. Тому при підсумовуванні трьох ядер відбувається часткове взаємне придушення бічних пелюсток. Ефект придушення бічних пелюсток ілюструє мал. 20, на якому показано складання трьох ядер Діріхле (без врахування фазових зсувів).
Часткове придушення бічних пелюсток можна використовувати при виборі нових типів вікон. З вікон сконструйованих за таким принципом, найбільш відомі вікна Хеммінга і Блекмана, які будуть описані в наступних двох підрозділах.


Рис. 19, Вікно cos4 (п?/N) (а) і логарифм амплітуди його перетворення Фур’є (b)

Рис 20, Представлення перетворення вікна Хеннінга сумою трьох ядер Діріхле.
У ряді часткових випадків відліки спектрального вікна Хеннінга при обчисленні ДПФ беруться в точках, кратних 2?/N, які, як неважко бачити, є нулями центрального ядра Діріхле. Таким чином, в процесі дискретизації береться всього три ненульові відліки в точках 2?/N, 0 і +2?/N. Значення відліків, отримані з (28b) (включаючи фазовий множник exp(-j(N/2)?) враховуючи зсув на N/2), рівні -1/4, +1/2 і -1/4 відповідно. Зверніть увагу на знаки мінус. Вони з'явилися через зсув початку вікна. Якби цього зсуву не було, фазовий коефіцієнт був би відсутній і всі коефіцієнти були б позитивними: 1/4, 1/2, 1/4. Проте використовування таких коефіцієнтів при обчисленні ДПФ некоректно. Можна тільки жалкувати, що ця помилка вже досить міцно вкорінилася в літературі і в практиці на операцію згортки в частотній області. В цьому випадку дискретне вікно Хеннінга забезпечує подвійну перевагу:
по-перше, спектр вікна не рівний нулю лише в точках трьох відліків;
по-друге, величини відліків представляють собою двійкові дроби, а операцію розподілу на 2 можна замінити простим зсувом на один двійковий розряд вправо. Тому відліки спектру, обчисленого за допомогою вікна Хеннінга, виходять від відліків спектру, отриманого при використанні прямокутного вікна, шляхом двох складань дійсних чисел і двох двійкових зсувів (для множення на 1/2) відповідно до формули
EMBED Equation.3 прямокутне вікно (29)
Отже, для множення дійсного перетворення завдовжки N на вікна Хеннінга вимагається виконати або /Умножень дійсних чисел (членів тимчасового ряду), або 2Nскладань дійсних чисел і 2N двійкових зсувів спектральних даних на один двійковий розряд. Є ще одне міркування на користь вікна Хеммінга. Для використовування вікон значення відліків повинні десь зберігатися, а для цього вимагається збільшувати об'єм пам'яті. Що ж до відліків вікна Хеммінга, то їх значення звичайно зберігаються в машинній пам'яті у вигляді тригонометричних таблиць для обчислення ШПФ. Таким чином, застосування вікна Хеммінга не ставить додаткових вимог до пам'яті.
Д. Вікно Хеммінга (7)
Вікно Хеммінга можна розглядати як модифіковане вікно Хеннінга. (Відзначимо, до речі, можливе джерело непорозумінь, викликаних схожістю двох прізвищ). Звернувшись знов до мал. 17 і 20, помітимо, що при складанні трьох ядер бічні пелюстки пригнічуються не повністю. Для досягнення необхідного рівня придушення потрібно підібрати відносні величини ядер, варіюючи параметр ? в наступних виразах:
EMBED Equation.3 30(а)
Ідеальне придушення першої бічної пелюстки (на частоті ?=2.5 [2?/N]) стається при (?=25/46 (?=0.543 478 261). Якщо ? вибирається рівним 0.54 (значення дробу 25/46 з точністю до 2 десяткових знаків), то новий нуль з'являється при ?/= 2.6[2?/N] і тим самим досягається якщо і не повне, то принаймні вельми значне зниження рівня бічних пелюсток. При вказаній величині а вікно називається вікном Хеммінга і задається виразами
EMBED Equation.3 (30b)
Коефіцієнти вікна Хеммінга близькі до значень коефіцієнтів, при яких рівень бічних пелюсток досягає мінімуму. При ?=0,53856 рівень бічних пелюсток складає – 43 дБ, а отримане вікно представляє собою окремий випадок вікон Блекмана-Херріса, описаних в підрозділі V.E. Вікно Хеммінга показано на мал. 21.
Відзначимо глибокий провал на місці відсутньої бічної пелюстки. Помітимо також, що через невеликий розрив на межі вікна рівень бічних пелюсток спадає всього лише як 1/?), тобто із швидкістю 6.0 дБ/октава. Зате завдяки більш сильному придушенню бічних пелюсток їх початковий рівень багато нижчий, ніж в раніше описаних вікон, і рівний – 42 дБ. Параметри цього вікна приведені в табл. 1. Відзначимо відсутність подвійного зважування, тому для використовування вагових множників при спектральній згортці необхідно виконувати операції множення.

Рис. 21 вікно Хеммінга (а) І логарифм амплітуди його перетворення Фур'є (b)
Е. Вікно Блекмана (7)
Вікна Хеннінга і Хеммінга — це приклади вікон, освічених складанням ядер Діріхле, зсунутих щодо початку координат. Для кінцевого перетворення Фур'є їх форма визначається виразом (31а), а для ДПФ — виразом (З1b). Рівняння (31с) описує спектральне вікно для ДПФ, задане у вигляді суми ядер Діріхле D(?), визначуваних величиною W(?) у виразі (21с):
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (31a)
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (31b)
EMBED Equation.3 (31c)
На коефіцієнти накладається обмеження:
EMBED Equation.3
Легко бачити, що вікна Хеннінга і Хеммінга мають таку ж форму, але з ненульовими коефіцієнтами а0 і a1, а їх спектральні вікна є сумами трьох зсунутих ядер.
Можна сконструювати вікна з будь-яким числом К ненульових коефіцієнтів і отримати W(?) додаванням (2К-1) ядер. Проте для отримання вузького головного пелюстка К повинен бути малим цілим числом. Блекман дослідив це вікно при К=3 і визначив значення ненульових коефіцієнтів, при яких нулі перетворення вікна потрапляють на частоти ?=3.5(2?/N) і ?=4.5(2?/N), тобто на частоти максимумів третьої і четвертої бічних пелюсток центрального ядра Діріхле. Точні і наближені (з точністю до двох десяткових знаків) значення цих коефіцієнтів рівні наступним величинам:
а0= EMBED Equation.3 а1= EMBED Equation.3 а2= EMBED Equation.3
Вікно, в якому використовуються ці наближені значення коефіцієнтів, називається вікном Блекмана. При розгляді вікна з точними коефіцієнтами ми будемо називати його точним вікном Блекмана. Вікно Блекмана для кінцевого перетворення визначається виразом
EMBED Equation.3 (32)
а його вигляд показаний на мал. 22. На мал. 23 показано точне вікно Блекмана. Рівень бічних пелюсток біля точного вікна Блекмана складає – 51 дБ, а в звичайного – 58 дБ. Відзначимо, що сума коефіцієнтів вікна Блекмана на межах рівна нулю (0.42-0.504-0.08), тоді як точні коефіцієнти в сумі нуля не дають. Вікно Блекмана і його перша похідна безперервні на межах, тому рівень бічних пелюсток спадає як 1/?, або із швидкістю 18 дБ/октава. Сума точних значень доданків (як і для вікна Хеммінга) випробовує розрив на межі, тому рівень бічних пелюсток точного вікна Блекмана спадає як 1/?3, або 6.0 дБ/октава. Параметри обох вікон вказані в табл. 1. Відзначимо також, що для всіх вікон цього класу коефіцієнт ?, рівний когерентному підсиленню вікна.
За допомогою методів градієнтного пошуку [9] ми знайшли вікна, які при трьох або чотирьох ненульових членах мають мінімальний рівень бічних пелюсток. Ми також побудували сімейства 3- і 4-членних вікон, в яких за рахунок деякого підвищення рівня бічних пелюсток дещо зменшується ширина головної пелюстки. Ми назвали це сімейство вікнами Блекмана - Херріса. Виявилося, що в З- і 4-членних вікон з мінімальним рівнем бічних пелюсток цей рівень складає відповідно -67 і -92 дБ. Для ДПФ ці вікна задаються виразом
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (33)

Рис. 22 Вікно Блекмана (а) і логарифм амплітуди його перетворення Фур'є(b)

Табл. З
В табл. З приведені значення коефіцієнтів для 3-членного вікна з мінімальним рівнем бічних пелюсток, показаного на мал.24, і для 3-членного вікна з дещо гіршими характеристиками (розрахованого, щоб побудувати додаткову точку на діаграмі мал. 12). Там же дані коефіцієнти для 4-членного вікна з мінімальним рівнем бічних пелюсток (також розрахованого для отримання точки на мал. 12) і ще для одного 4-членного вікна, показаного на мал. 25 (це вікно було вибрано тому, що виявилося досить ефектним при вирішенні задачі виявлення, описаної у розділі VI; див. мал. 69).
Параметри всіх вищезазначених вікон приведені в табл.1. Відмітимо зокрема, положення точок, відповідних вікнам Блекмана і Блекмана-Херріса на мал.12. Це на превеликий подив добрі вікна, особливо якщо врахувати мале число доданків в тригонометричних рядах, що їх описують. Якщо На мал.12 продовжити лінію, що сполучає вікна сімейства Блекмана-Херріса, вона пройде через точку, відповідну вікну Хеммінга. Це не дивно, оскільки в підрозділі. V.D вже наголошувалося, що вікно Хеммінга вельми близько до 2-членного вікна Блекмана-Херріса з мінімальним рівнем бічних пелюсток.
Відзначимо також, що добре наближення для 3- і 4-членних вікон Блекмана-Херріса можна отримати шляхом множення відліків перетворення вікна Кайзера-Бесселя на відповідні масштабний коефіцієнт (див.: підрозд. V.H). Ми використовували це наближення, конструюючи 4-членні вікна для згущуючих фільтрів з регульованою смугою пропускання 1101; воно

EMBED Equation.3 (34)
При ?=3.0 чотири коефіцієнти цього наближення приймають наступні значення:а0=0.40243; а1=0,49804; а2=0,09831; а3=0,00122. Помітимо, що ці коефіцієнти дуже близькі докоефіцієнтів 4-членного (-74 дБ) вікна Блекмана-Херріса. Вікно, породжуване цими коефіцієнтами показано на мал. 26. Як і в його прототипу (вікна Кайзера-Бесселя з ?=3.0),

рівень бічних пелюсток в нього майже на 70 дБ нижчий за головний пік. При вибраному масштабі вікно і його прототип просто невиразне. Параметри цього вікна також дані в табл.1, а на мал. 12 воно вказано під назвою 4-членне вікно "Кайзера-Бесселя''. Саме 3- і 4-членні вікна Кайзера-Бесселя (з параметром ? слугували прототипами, з яких методом градієнтної мінімізації були отримані вікна Блекмана-Херріса. Процедура оптимізації, почата від приведених вище початкових значень коефіцієнтів, практично не зробила впливу на характеристики головної пелюстки, але зате зменшила рівень бічних пелюсток приблизно на дБ.
F. Сконструйовані вікна
Багато які автори конструювали вікна у вигляді творів, сум і згорток простих функцій або вікон, а також у вигляді окремих ділянок відомих вікон. Ці вікна створювалися для різних цілей, причому не останню роль грало бажання мати вікна, описувані простими функціями. Звичайно такі вікна не відрізняються високими якостями, а деякі з них і зовсім незадовільні. Ми вже розглядали деякі найпростіші сконструйовані вікна. Наприклад, вікно Фейера (Бартлетта) представляє собою згортку двох прямокутних вікон, вікно Хеммінга є сумою прямокутного вікна і вікна Хеннінга, а вікно вигляду cos4 (X) – це не що інше, як твір двох вікон Хеннінга. Тепер ми розглянемо властивості інших сконструйованих вікон, які були описані в літературі. Ми відрекомендуємо їх тут просто для порівняння з іншими вікнами. Потім будуть розглянуті вікна, сконструйовані відповідно до деякого критерію оптимальності (підрозділ V. G – V. J). Кожне вікно буде представлено у формі, придатній тільки для кінцевого перетворення Фур'є. Проте, щоб отримати варіант, придатний для ДПФ, достатньо виробити зсув на N/2 точок і видалити крайню праву точку. Значення всіх основних параметрів цих вікон надані в табл.1.
1) Вікно Рісса (Бохнера, Пареена) (11). Вікно Рісса, визначене функцією
EMBED Equation.3 (35)
є найпростішим безперервним поліноміальним вікном. Його перша похідна має розрив на межах, тому рівень бічних пелюсток перетворення спадає як 1/?2. Вигляд вікна показаний на мал. 27.

Перша бічна пелюстка на 22 дБ нижче за головну пелюстку. Це вікно дуже схоже з косинусоідальним вікном (мал. 16), що легко показати, розклавши останнє в ряд Тейлора.
2) Вікно Рімана [12]. Вікно Рімана, визначуване функцією представляє собою головну пелюстку ядра sin х/х. Перша похідна цього вікна має розрив на межах, хоча саме воно безперервне. По своїх властивостях воно близьке до вікна Рісса і до косинусоідального вікна. Вікно Рімана показано на мал. 28.
EMBED Equation.3 (36)

3) Вікно Валле-Пуссена (Джексона, Пареена) (11). Вікно Валле-Пуссена – це шматкова кубічна крива, отримана накладанням двох трикутників половинної тривалості або чотирьох прямокутників тривалості ¼ . Воно визначається наступним виразом
EMBED Equation.3 (37)
Вікно Валле-Пуссена безперервно до третьої похідної включно, так що його бічні пелюстки спадають як 1/?4. Вигляд вікна показаний на мал. 29. Відзначимо зменшення рівня бічних пелюсток за рахунок розширення головної пелюстки, що особливо помітно при порівнянні з прямокутним і трикутним вікнами. Оскільки це вікно освічено за допомогою згортки, його перетворення не негативно.

4) Вікно Тьюкі (13). Вікно Тьюкі, часто зване вікном з косинусоідальними фронтами, краще всього розглядати як результат згортки косинусоідальної пелюстки завширшки (?/2)N з прямокутним вікном завширшки (1.0-?/2)N. Тому перетворення даного вікна рівно добутку двох відповідних, перетворень. Це вікно ілюструє собою спробу плавно звести значення відліків до нуля на межах без помітного зменшення підсилення перетворення. При збільшенні параметра а від 0 до 1 вікно з чисто прямокутного переходить у вікно Хеннінга. В результаті перемножування двох перетворень початкових вікон біля вікон сімейства Тьюкі утворюється дуже складна структура бічних пелюсток. Вікно Тьюкі описується функцією
EMBED Equation.3 (38)
Його вигляд показаний на мал. 30-32 для ? рівного 0.25, 0.50 і 0.75 відповідно.

(26а) половинної тривалості, тому його перетворення рівно квадрату перетворення косинусоїдальної пелюстки (мал. 26). Тимчасове представлення цього вікна можна розглядати як продукт трикутного вікна

і одного циклу косинусоїди, що має той же період, до якого доданий аддитивний коректуючий член, для того щоб перша похідна на межах була рівна нулю. Цим забезпечується безперервність другої похідної. Розрив же зберігається лише в третій. Рівень бічних пелюсток спадає як 1/?4. Вікно Бомана визначається наступним виразом:
EMBED Equation.3 (39)
його вигляд показаний на мал. 33.

6) Вікно Пуассона (12). Вікно Пуассона створено двома експонентами, що симетрично спадають в обидві сторони від початкової точки:
EMBED Equation.3 (40)
Фактично це ціле сімейство вікон, залежне від параметра а. Оскільки вікно має розрив на межах, його перетворення не може спадати швидше, ніж 1/?, на мал. 34-36 показаний вид цього вікна при а, рівному 2.0; 3.0 і 4.0 відповідно. Помітимо, що у міру зменшення величини розриву на межах, амплітуда бічних пелюсток стає все меншою і вони зливаються в асимптоту. Відзначимо також, що головна пелюстка дуже широка, тому вікно має велику еквівалентну шумову смугу і великі максимальні втрати перетворення (див. табл. 1).

7) Вікно Хеннінга-Пуассона. Вікно Хеннінга-Пуассона є добутком вікон Хеннінга і Пуассона. Сімейство цих вікон визначається виразом
EMBED Equation.3 (41)

По своїх властивостях воно аналогічне вікну Пуассона. Швидкість спаду бічних пелюсток визначається величиною розриву першої похідній на початку координат і рівна 1/?2. Помітимо, що із збільшенням а вікно, спочатку схоже з вікном Хеннінга, стає все більш схожим на вікно Пуассона, нулі в структурі бічних пелюсток зникають, а самі пелюстки зливаються в асимптоту. Вид цього вікна показаний на мал. 37-39 для ?, рівного відповідно 0.5; 1.0 і 2.0. Ще раз нагадаємо, що це вікно має дуже широку головну пелюстку.
8) Вікно Коші (Абеля, Пуассона) [15] Сімейство вікон Коші, залежних від параметра ?, визначається виразом
EMBED Equation.3 (42)



Вид цього вікна для ?, рівного 3.0; 4.0 і 5.0, показаний відповідно на мал. 40, 41, 42. Відзначимо, що перетворення вікна Коші експоненціально спадає в обидві сторони від початку координат (див. вікно Пуассона), тому в логарифмічному масштабі воно має вигляд рівнобедреного трикутника. Через це вікно має дуже широку головну пелюстку і велику ЕШС.
G. Вікно Гауса (Вейерштрасса) [15]
Вікна цього сімейства представляють собою гладкі позитивні функції, перетворення Фур'є яких має високі вузькі головні пелюстки. Згідно узагальненому принципу невизначеності, не можна одночасно "стиснути" сигнал і його перетворення Фур'є. Якщо мірою стиснення є середньоквадратична тимчасова тривалість Т і середньоквадратична смуга частот W, то, як відомо, для будь-якої функції виконується нерівність
EMBED Equation.3 (43)
Рівність досягається тільки для імпульсу з гаусовою огинаючою. Такий імпульс характеризується мінімальним добутком тривалості на смугу частот і тому досить привабливий для використовування в якості вікна. На жаль, при цьому ми вимушені обрізувати "хвости" гаусовою кривою, тим самим обмежуючи часову тривалість імпульсу. В результаті його спектр розпливається, і добуток тривалості на смугу частот перестає бути мінімальним. Проте, якщо точка усікання лежить за точкою 3?, помилки усікання малі, і таке вікно є доброю апроксимацією вікна з мінімальним добутком тривалості на смугу частот.
Вікно Гауса задається виразом
EMBED Equation.3 (44а)
Перетворення цього вікна є перетворення гаусової кривої (яке саме є гаусовою кривою) з ядром Діріхле:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (44b)
Параметр ? – величина, зворотна стандартному відхиленню, є мірою ширини перетворення для вікна. Із збільшенням ? зменшується ширина вікна і знижується розрив на його межах. Це приводить до збільшення ширини головної пелюстки та до падіння рівня бічних пелюсток. Вид вікна Гауса показаний на мал. 43, 44 і 45 для а, відповідно рівного 2.5; 3.0 і 3.5. Відзначимо швидкий спад рівня бічних пелюсток при збільшенні ширини головної пелюстки. Основні параметри цього вікна наведені в табл.1.


З врахуванням сказаного в попередньому підрозділі спробуємо знайти такі вікна, які при заданій кінцевій тривалості будуть в деякому розумінні мати мінімальну ширину смуги. Скористаємося методами, застосовуваними при проектуванні антен, оскільки там теж доводиться вирішувати аналогічну задачу. Ця задача полягає у виборі такого розподілу поля в антені кінцевої апертури, які дозволило б якомога більше звузити головну пелюстку діаграми спрямованості, одночасно не допускаючи зростання бічних пелюсток. (Проектувальники антен називають процедуру зважування затіненням). Рішення, що забезпечує мінімальну ширину головної пелюстки при заданому рівні бічних пелюсток, отримано в замкнутій формі. Воно є вікном (функцію затінення) Дольфа-Чебишева. Безперервне рішення цієї задачі має викиди на межах і тому в безперервних вікнах може бути реалізоване лише приблизно (за допомогою розкладання в ряд Тейлора). Дискретні вікна не мають подібних обмежень, для них можлива точна реалізація рішення.
Співвідношення Tn(X)=cos(?) задає відображення безлічі поліномів Чебишева n-го алгебраїчного порядку на безліч тригонометричних поліномів того ж порядку. За допомогою цього відображення можна отримати наступний вираз для вікна Дольфа-Чебишева, визначений через значення еквідістантних відліків перетворення Фур'є вікна;
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (45)
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Щоб обчислити відповідні часові відліки вікна ?(n), потрібно просто застосувати до відліків W(k) ДПФ, а потім нормувати їх щодо максимальної амплітуди. Параметр ?, характеризує собою логарифм відносини максимуму головної пелюстки до рівня бічних пелюсток. Так ?=3.0 відповідає бічним пелюсткам на 3.0 декади (або на 60 дБ) нижчим за головну пелюстку. Множник (-1)x, що змінює знаки послідовних відліків перетворення, введений для обліку зсуву початкової точки в часовій області. Вид вікна показаний на рис 46-49 для ?, відповідно рівного 2.5, 3.0, 3.5, 4.0. Відмітимо структуру бічних пелюсток вікна - це майже чиста синусоїда! Саме цими рівномірними осциляціями в частотній області пояснюється поява викидів в часовому представленні вікна.

Рис.46-49

І. вікно Кайзера-Бесселя [18]
Зупинимося дещо докладніше на критеріях оптимальності, введених в останніх двох підрозділах. В підрозділі V. G ми шукали функцію з мінімальним добутком тривалості на смугу частот і встановили, що такою властивістю володіє гаусова крива. В підрозділі V. H ми шукали часову функцію кінцевої тривалості, яка мінімізує ширину головної пелюстки при заданому рівні бічних пелюсток. Розглянемо тепер схожу задачу: при обмеженій загальній енергії знайти функцію обмеженої тривалості Т, що має максимальну енергію в смузі частот W. Слепян Поллак і Ландал (19-20) отримали рішення цієї задачі у вигляді сімейства хвильових функцій витягнутого сфероїда нульового порядку. Параметром сімейства є добуток тривалості на смугу частот. Кайзер знайшов просту апроксимацію цих рішень за допомогою модифікованої функції Бесселя першого роду нульового порядку. Вікно Кайзера-Бесселя визначається виразом
EMBED Equation.3 (46а)
Параметр ?? рівний половині добутку тривалості на смугу частот. Перетворення вікна приблизно рівне
EMBED Equation.3 (46b)
Вид цього вікна показаний на рис 50-53 для ?, відповідно рівного 2.0, 2.5, 3.0, 3.5.

Рис. 50-53.
Відзначимо компромісний характер зв'язку між шириною головної пелюстки і рівнем бічних пелюсток.
J. Вікно Барсилона - Темеша (21)
Тепер розглянемо останній критерій оптимальності вікон. Ми вже знайомі з критерієм Слепяна, Півлака і Ландау. Там задача полягала в тому, щоб отримати функцію, яка маючи задану енергію і задану тривалість, володіла б максимальною енергією в смузі частот W. Подібна задача полягає в тому, щоб при заданій площі і заданій тривалості знайти функцію, для якої енергія (або зважена енергія) зовні смуги частот W мінімальна. Це цілком розумний критерій, оскільки ясно, що перетворення доброго вікна повинне мінімізувати енергію на частотах, видалених від центральної частоти. До цих пір ми добивалися цієї цілі побічно, максимізувавши енергію в головній пелюстці перетворення.

Рис 54.
Замкнуте рішення задачі для мінімуму приєднаної енергії до цих пір не знайдено, проте напівнаближене рішення у вигляді розкладання по функціях витягнутого сфероїда:
EMBED Equation.3 (47)
Тут ?2n - власне значення, що відповідає приєднаній хвильовій функції витягнутого сфероїда EMBED Equation.3 , а ?? - задане значення половини введення тривалості на смугу частот. Ряд (47) сходиться досить швидко і його часто апроксимують одним-двома членами. Перший член – не що інше, як рішення задачі Слепяна, Півлака і Ландау, вже розглянуте нами під назвою вікна Кайзера-Бесселя.
Замкнуте рішення задачі мінімізації зваженої енергії отримано Барсилоном і Темешем:
EMBED Equation.3 (48)
Цей критерій є компромісом між критеріями, на основі яких були сконструйовані вікна Дольфа-Чебишева і Кайзера-Бесселя. Як і для вікна Дольфа-Чебишева, перетворення Фур'є вікна Барсилона-Темсша знаходиться досить легко, а часові відліки вікна виходять за допомогою зворотного ДПФ і множення на відповідний масштабний коефіцієнт. Обрахунки перетворення визначаються виразом
EMBED Equation.3 (49)
(Див. також (45)). Вигляд цього вікна показаний на мал. 54-56 для ?, відповідно рівного 3.0, 3.5 і 4.0. Головна пелюстка практично не відрізняється від головної пелюстки вікна Кайзера-Бесселя. І справді, порівняння параметрів, приведених в табл. 1, показує, що вікно Барсилона-Темеша по своїх характеристиках є проміжним між вікнами Дольфа-Чебишева і Кайзера-Весселя. Цікаво знов звернутися до мал. 12 і подивитися, як розташована крива, відповідна цьому сімейству вікон відносно кривої сімейства Кайзера-Бесселя. Виявляється дивна схожість характеристик!
VI. ГАРМОНІЙНИЙ АНАЛІЗ
Тепер проведемо експеримент, який наочно демонструє вплив властивостей вікна на ефективність виявлення слабої спектральної лінії у присутності інтенсивної близько розташованої лінії. Якщо обидві спектральні лінії потрапляють в біни ДПФ, то кожна з них окремо може бути ідентифікована за допомогою прямокутного вікна. Ніяких взаємних перешкод при цьому не виникає. Щоб показати це розглянемо сигнал, що має дві спектральні складові з частотами 10fs/N i 16fs/N, що відповідають десятому і шістнадцятому бінам ДПФ, із амплітудами 1.0 і 0.01 (різниця рівнів 40 дБ). Спектр потужності цього сигналу, отриманий методом ДПФ, показаний на мал. 57. Крива побудована за допомогою лінійної інтерполяції значень ДПФ.

Рис. 55,56.
Дещо змінимо наш сигнал так, щоб більш інтенсивна спектральна лінія потрапила між двома бінами ДПФ, тобто буде тепер мати частоту 10.5fs/N. Частоту слабкої лінії залишимо попередньою. Спектр потужності такого сигналу показаний на рис.58. Видно, що структура бічних пелюстків повністю поглинула головний пелюсток слабкого сигналу. Це і не дивно, оскільки відомо (див. рис.13), що при використанні прямокутного вікна амплітуда бічних пелюстків на відстані 5.5 бін від центру всього на 25 дБ нижче точки максимуму. Тому другий сигнал (на відстані 5.5 бін від першого) не можна розпізнати, оскільки він більш ніж на 26 дБ нижчий найвищої точки, і, відповідно, повністю замаскований бічним пелюстком (26 дБ складаються з рівня бічного пелюстка, рівного 25 дБ за мінусом втрат при перетворенні, рівних 3.9 дБ плюс 3.0 дБ для надійного розпізнання). Відмітимо також асиметричність спектру відносно головної пелюстки з центром на 10.5 бін. Це результат когерентного підсумовування пелюстків пари ядер, які знаходяться на частотах ±10.5 бін.

Рис. 57, 58 – прямокутні вікна.
Тут можемо спостерігати взаємне проникнення від'ємної та додатної частот. На рис. 59 поданий спектр потужності пари сигналів, видозміненої таким чином, що частота більшого сигналу становить 10.25 бін.

Відзначимо зміну асиметрії головного вікна і зменшення рівня бічних пелюстків. Другий сигнал, розміщений в 16-моу біні все ж таки не розпізнається.
Тепер для розпізнання слабкого сигналу застосуємо інші вікна і подивимось, наскільки вони ефективні.
Для деяких видів вікон найгірший прояв сигналів спостерігається у тому випадку, коли найбільший сигнал має частоту 10.0, а не 10.5 бін. На наших прикладах ми завжди будемо обирати частоту сигналу так, щоб розглядати випадок із найгіршим проявом.

Рис. 60. Трикутне вікно. Рис. 63. Вікно cos3(n?/N)
Для початку спробуємо трикутне вікно (рис. 60). У порівнянні з прямокутним вікном рівень бічних пелюсток зменшився в два рази - з -35 до -70 дБ. Рівень бічних пелюстків сильного сигналу на частоті другого сигналу становить -43 дБ, так що слабкий сигнал ледь помітний, і, ймовірно, взагалі б не був розпізнаний при наявності нуля.

Рис. 61. Вікно cos (n?/N) Рис. 64. Вікно соs4(п?/N)
Використаємо тепер вікна з сімейства вікон cos?(x). Для косинуїдального пелюстка з
?= 1.0 (рис.61) ми бачимо провал на частоті слабкого сигналу, так як в цьому місці фази бічного пелюстка сильного сигналу і головного пелюстка слабого протилежні.
Важко назвати це розпізнанням. Спостерігається також розмиття головного пелюстка по осі частот. Сигнали, інтенсивність яких не перебільшує рівня розмитого головного пелюстка, не розпізнані. При (?=2.0 маємо вікно Хеннінга, результати застосування якого показані на рис. 62.