РОЗДІЛ 1. ДИНАМІКА ОБЕРТАЛЬНОГО РУХУ
1.1. Момент інерції
На відміну від поступального руху, де мірою інертності тіла є тільки його маса, у випадку обертального руху інертність тіла визначається як масою тіла так і розподілом маси відносно осі обертання. Тому для кількісної характеристики інертності тіл при їх обертальному русі вводиться фізична величина – момент інерції.
Моментом інерції тіла відносно деякої нерухомої осі OZ є величина EMBED Equation.3 , що визначається рівністю.
EMBED Equation.3 (1.1)
де EMBED Equation.3 і – маса і-ї частинки тіла, яке умовно “розбивається” на N
частинок, настільки малих, що для кожної з них можна
однозначно вказати EMBED Equation.3 - відстань частинки від осі OZ
Момент інерції тіла відносно осі дорівнює сумі добутків елементарних мас тіла на квадрати їх віддалей від осі обертання.
Зауважимо, що момент інерції існує незалежно від того, обертається тіло навколо деякої осі, чи перебуває відносно цієї осі у стані спокою.
Момент інерції ? величина скалярна, вимірюється в кг?м2.
Від (1.1) можна перейти до розрахунку інтеґралу:
EMBED Equation.3 (1.2)
Якщо густина тіла EMBED Equation.3 ? величина стала, то формула (1.2) набуде вигляду:
EMBED Equation.3 (1.3)
Використовуючи (1.3), можна розрахувати моменти інерції тіл правильної ґеометричної форми, зокрема:
Момент інерції тонкостінного кільця товщиною b і радіусом основи R (R??b) відносно його осі симетрії (ґеометричної осі):
EMBED Equation.3 (1,4)
Момент інерції суцільної кулі радіусом R відносно осі, що проходить через її центр:
EMBED Equation.3 (1.5)
Момент інерції тонкого стрижня з перерізом довільної форми відносно осі, що проходить через середину стрижня перпендикулярно до нього:
EMBED Equation.3 (1.6)
де b – довжина стрижня, набагато більша від його
максимального поперечного розміру.
EMBED PBrush Момент інерції суцільного однорідного циліндра відносно його ґеометричної осі:
Розділимо циліндр на окремі кільця безмежно малої товщини dr з внутрішнім радіусом r . Елементарний об’єм такого кільця:
EMBED Equation.3 (1.7)
1.2. Теорема Штайнера
EMBED PBrush Якщо відомий момент інерції тіла відносно осі, яка проходить через його центр мас ? EMBED Equation.3 , то момент інерції відносно осі, паралельної до вказаної – JZ, визначається за теоремою Штайнера:
Момент інерції тіла Jz відносно довільної осі дорівнює сумі моменту інерції JС відносно осі, паралельної даній, що проходить через центр мас тіла і добутку маси тіла m на квадрат відстані між осями d .
EMBED Equation.3 (1.10)
1.3. Момент сили
Важливим поняттям динаміки обертального руху є фізична величина, що називається момент сили.
Моментом сили відносно нерухомого центра О називається векторна величина , що дорівнює векторному добутку радіуса ? вектора EMBED Equation.3 , проведеного з точки О до точки прикладання сили, на вектор сили EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 (1.11)
EMBED PBrush Вектор EMBED Equation.3 напрямлений перпендикулярно до площини, у якій лежать вектори EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 , таким чином, що з його кінця найкоротший поворот від вектора EMBED Equation.3 до вектора EMBED Equation.3 видно проти напряму руху годинникової стрілки. (рис.3)
Модуль моменту сили можна подати у вигляді:
М = r?F?sin EMBED Equation.3 = F?l (1.12)
де l = r?sin ? ? плече сили відносно точки О
( довжина перпендикуляра, опущеного з точки О на лінію дії сили)
При обертанні твердого тіла навколо нерухомої осі OZ сила, що діє на тіло створює момент сили відносно осі -- EMBED Equation.3 , що є проекцією вектора EMBED Equation.3 на вісь OZ:
EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 )z (1.13)
1.4. Момент імпульсу
Іншою важливою динамічною характеристикою обертального руху є момент імпульсу.
Момент імпульсу матеріальної точки відносно нерухомого центру О визначається як :
EMBED Equation.3 (1.14)
де EMBED Equation.3 ?радіус-вектор, проведений з центру О до матеріальної точки
EMBED Equation.3 ?імпульс матеріальної точки
Якщо тверде тіло здійснює обертальний рух навколо нерухомої осі OZ, то вводиться поняття моменту імпульсу відносно нерухомої осі.
Момент імпульсу матеріальної точки відносно осі ОZ Lz рівний проекції на вісь OZ величини EMBED Equation.3 .
Mомент імпульсу твердого тіла відносно нерухомої осі дорівнює сумі моментів імпульсів елементарних мас цього тіла відносно вказаної осі.
EMBED Equation.3 (1.15)
і враховуючи, що
EMBED Equation.3 (1.16)
одержуємо інший вираз для моменту імпульсу відносно осі
EMBED Equation.3 (1.17)
де EMBED Equation.3 ? кутова швидкість тіла,
Jz – момент інерції тіла відносно осі ОZ.
1.5. Основний закон динаміки обертального руху твердого тіла.
Закон збереження моменту імпульсу
Співвідношення, що зв’язує між собою момент сили, який діє на тіло, і момент імпульсу цього тіла у випадку обертального руху навколо нерухомого центру має вигляд:
EMBED Equation.3 (1.18)
Швидкість зміни моменту імпульсу тіла дорівнює моменту сили, що діє на тіло.
При обертанні тіла навколо нерухомої осі співвідношення (1,18) набуває вигляду:
EMBED Equation.3 (1.19)
а враховуючи (1.17): EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ,
де EMBED Equation.3 ?кутове прискорення тіла,
одержимо основний закон динаміки обертального руху твердого тіла відносно нерухомої осі:
EMBED Equation.3 (1.20)
Момент сили відносно осі обертання дорівнює добутку моменту інерції тіла відносно цієї осі на набуте тілом кутове прискорення.
Якщо система замкнена, то момент зовнішніх сил дорівнює нулю. Тоді:
EMBED Equation.3 ,
а це значить, що:
EMBED Equation.3 (1.21)
(1.21)–виражає закон збереження моменту імпульсу:
Момент імпульсу замкненої системи постійний у часі.
1.6. Кінетична енергія тіла, що обертається
Кінетична енергія тіла, що рухається довільним чином, рівна сумі кінетичних енергій всіх n матеріальних точок, на які можна уявно розділити це тіло :
EMBED Equation.3 (1.22)
При обертанні тіла навколо нерухомої осі OZ з кутовою швидкістю EMBED Equation.3 лінійна швидкість i –ї точки становить EMBED Equation.3 ,
де Ri – відстань точки до осі OZ
Отже: EMBED Equation.3 (1.23)
Співставлення формули (1.23) з формулою для кінетичної енергії поступального руху EMBED Equation.3 підтверджує факт, що момент інерції тіла є мірою інертності тіла при обертальному русі.
1.7. Аналоґії між формулами механіки поступального і обертального рухів
