Lab_4
Метод Гауссса
Формулу Гауссса називають формулою найвищої алгебраїчної точності, абсциси xi при інтерполяції (наближенні, заміні) функції EMBED Equation.3 вибираються з умови забезпечення мінімальної похибки інтерполяції. В методі Гауссса інтеграл
EMBED Equation.2 (23)
зводиться до вигляду
EMBED Equation.2 (24)
причому точне значення інтегралу заміняється на наближену квадратурну формулу.
Це зведення відбувається у наступній послідовності. У формулі (23) змінна x заміняється на
EMBED Equation.2 (25)
Тоді
EMBED Equation.2 (26)
і з врахуванням (24) можна записати, що:
EMBED Equation.2 . (27)
В формулі (24) коефіцієнти EMBED Equation.3 та абсциси ( вузли ) EMBED Equation.3 вибираються в залежності від числа цих вузлів). Значення EMBED Equation.3 невідомих EMBED Equation.3 є коренями так званих поліномів Лежандра. Вузли EMBED Equation.3 розташовані на інтервалі (-1,1), завжди симетрично відносно нуля. Всі вагові коефіцієнти додатні, а їх сума дорівнює 2.
Для достатньо гладкої підінтегральної функції формула Гаусса (27) забезпечує високу точність вже при невеликому числі вузлів EMBED Equation.3 . Для оцінки похибки обчислень за формулою Гауссса з EMBED Equation.3 вузлами користуються формулою:
EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2
Наприклад, при
EMBED Equation.3 EMBED Equation.2 ;
EMBED Equation.3 EMBED Equation.2 .

Lab_6
Метод Рунге-Кутта з автоматичною зміною кроку
Після обчислення EMBED Equation.3 з кроком EMBED Equation.3 всі обчислення виконуються повторно з кроком EMBED Equation.3. Після цього порівнюються результати, отримані в точці хn+1 з кроком EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3. Якщо модуль різниці менший EMBED Equation.3, то обчислення продовжуються з кроком EMBED Equation.3, в іншому випадку крок зменшують. Якщо нерівність дуже сильна, то крок збільшують.
EMBED Visio.Drawing.11
Маємо EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 - значення незалежної змінної в точці EMBED Equation.3
EMBED Equation.3- значення функції в точціEMBED Equation.3
EMBED Equation.3- значення функції в точці EMBED Equation.3, обчислене з кроком EMBED Equation.3
EMBED Equation.3- значення функції в точці EMBED Equation.3, обчислене з кроком EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 - значення функції EMBED Equation.3, обчислене з кроком EMBED Equation.3
1) Якщо
EMBED Equation.3
обчислення повторюються з кроком EMBED Equation.3 і т.д., доки не виконається умова EMBED Equation.3 .
2) Якщо виконується ця умова, то можливі два варіанти, в залежності від значення K, де K – ознака поділу кроку.
Початкове значенняEMBED Equation.3і залишається таким після першого поділу кроку на два. Надалі, якщо крок ділиться, то K приймає значення одиниці.
а) Якщо EMBED Equation.3, то навіть коли виконалась умова EMBED Equation.3 , крок не змінюється, тобто лишається тим самим (обчислення далі проводяться з попереднім кроком).
б) Якщо EMBED Equation.3 і виконалась умова EMBED Equation.3 , тоді EMBED Equation.3.
В обох випадках а) і б) результат EMBED Equation.3 виводиться на друк.