11)Методи інтегрування: підведення під знак диференціалу та заміна зміної.
Нехай ?f(x)dx не є табличним. Покладемо x=?(t), де ?(t) – неперервна і раціональна функція на деякому проміжку, тоді ?f(x)dt, а інтеграл набуде вигляду ?f(?(t))?’(t)dt=?f(t)dt.
Підстановку обираємо таку, щоб новий інтеграл був простійшим від попереднього.
А) Як можна перетворити вирази, з допомогою підведення під знак диференціалу.
??
2
????=
1
3
??
??
3
????
??????
2
??
=???(????????)
Б)Чи правильні такі підведення під знак диференціалу.
x2 dx=d(3x2)- не правильне бо d(3x2)=6xdx ? x3dx
????
??????
2
??
=??????
??
2
??-не правильне (див. п.а) dcos2x=2cosx(-sinx)dx=-sin2xdx?
????
????
??
2
??
В) Провести в інтегралі таку заміну
??=
1
??
;????=
?
1
??
2
????;
????
??
??
2
+5
; ??=
1
??
; ????=(?
1
??
2
)????
Підставимо
????
??
??
2
+5
=
?
1
??
2
????
1
??
1
??
2
+5
=?
????
??
1+5
??
2
??
2
=?
????
1+5
??
2
=?
1
5
????
5
??+
1+5
??
2
+??=
=
??=
1
??
=?
1
5
????
5

1
??
+
1+
5
??
2
+??
Підстановка вдала, розвязок отримали.
12) Інтегрування частинами основні типи інтегралів, в яких використовують ці методи?
Якщо інтеграл (f lx)dx не є табличним, то його представляють у вигляді ?udv=uv-?vdu. Тут uv- частина первісної, інтеграл ?vdu треба знаходити. Цей метод зручно використовувати, якщо ?vdu не складніше ніж udv. Така функція показникова, логарифмічна, тригоментрична тощо.
До яких типів належать інтеграли і як розбити підінтегральний вирази?
??
2
??????????????=
??=????????????
????=
????
1+
??
2
????=
??
2
????
??=
??
3
3
=
??
3
3
?????????????
1
3
??
3
????
1+
??
2
Підінтегральний вираз містить оберненотригометричну функцію.
(??+5)2
2
????=
??=??+5
????=????
????=
2
??
????
??=
2
??
????2
=
??+5
2
??
????2
?
2
??
????
????2
=
2
??
??+5
????2
?
2
??
????
2
2
+??
13)Означення раціональної функції, правильного та неправильного раціональних дробів.
Дроби вигляду
??
????+??
;
??
(????+??)
??
;
????+??
??
??
2
+????+??
;
????+??
(??
??
2
+????+??)
??
де k?2, A,B,a,b,c – дійсні числа;
D=b2-4ac<0 елементами або простими дробами.
Теорема. Будь-який правильний раціональний дріб можна єдиним способом представити у вигляді суми скінченої кількості елементарних дробів
??
??
??
??
??
??
=
??
??
??
??
0
???
??
1
??
…(???
??
??
)
????
(
??
2
+
??
1
+??
)
??
…(
??
2
+
??
2
+
??
2
)
??
=
=
??
1
???
??
1
+
??
1
(
???
??
1
)
2
+…+
??
??1
(
???
??
1
)
??1
+
??
??
???
??
??
+
??
1??
+
??
1
??
2
+
??
1
??+
??
1
+
??
2??
+
??
2
(
??
2
+
??
1
??+
??
1
)
2
+…
Таке представлення назив. Розкладанням правильного раціонального дробу на елементарні.
Метод знаходження невизначених коефіцієнтів у розкладі раціонального дробу на частини.
Нехай треба знайти
??
??
(??)
??
??
(??)
????
. Якщо підінтегральний дріб є неправильним, то його завжди можна представити у вигляді алгебраїчної суми многочлена правильного раціонального дробу, тобто.
??
??
(??)
??
??
(??)
=??
??
+
??
??
(??)
??
??
(??)
Теорема. Інтеграл від будь-якої рац. Функції цілого аргументу виражається через елементарні функції.
А)Виділити цілу частину із дробу.
??
6
+3
??
3
?2??+1
??
3
+??
. Поділимо дроби…
Виходить:
??
6
+3
??
3
?2??+1=
??
3
+??
??
3
???+3
+
??
2
?5??.
Отже
??
6
+3
??
3
?2??+1
??
3
+??
=
??
3
???+3+
??
2
?5??+1
??
3
+??
.
Б) Які з функцій є раціональними.
3????????+2
??
2
-не раціональна
3
??
4
?2??
??
2
+1
- раціональна
2
??
+5
??
2
+5
–не раціональна