4)Повний приріст . Озн . диф. функції в точці та диференціалу ф-ції 2 –х змінних. Формула для диференціалу через частині похідні та інваріантність форми диференціалу.
Повним приростом ф-ії f у точці (x0,y0,z0) називається рівняння ? f(x0,y0,z0) =f(x,y,z) -f(x0,y0,z0) = f(x0+ ?x, y0 +?y, z0 +?z) = f(x0,y0,z0)
Функція z= f (x,y) називається диференційованою в точці (x0,y0 ) якщо повний приріст функції z можна записати у вигляді
? z=A(x0,y0 ) ?x +B(x0,y0 ) ?y+O(g)
g=v?x2+?y2 де O(g)—величина яка нескінченно малого вищого порядку порівняно з g
Повним диференціалом dz функції в т. (x0,y0 ) називається величина
Dz=df (x0,y0 )=df/dx(x0,y0 ) dx+ df/dy (x0,y0 ) ?y
Dz=f ‘x (x0,y0 ) dx+ f ‘y(x0,y0 ) dy де dx і dy –диференціали незалежних з.
Універсальність форми диференціалу
D2z/dxdy=d2z/dydx
Знайти повний приріст ( повний диференціал функції за озн. Z=(x-1)2+2y2
? z=(x+? x-1)2+2(y+y2)2-(x-1)2-2y2=(x-1)2 +2? x (x-1)+ ? x2+2y2+4y? y+2? y2-(x-1)2-2y2=2? x(x-1)+ ? x2+4y? y+2? y2
Zx’=2(x-1)=
lim
?x=0
?z/?x
Zy’=
lim
?x=1
?z/?x
=4y
Dz= 2x(x-1)dx+4ydy
5)Частинні похідні складної функції багатьох змінних та похідні неявно заданих функцій , якщо
z=z(x,y) x=x(t) y=y(t ) тоді dz/dt=dz/dx*dy/dt+dzdy*dydt
Якщо z=z (x,y) y=y(x) тоді dz/dx= dz/dx+dz/dy*dy/dx
Якщо z=z(x,y), x=x(u,v) y=y(u,v) тоді частинні похідні за незалежними змінними u і v у довільній точці (u,v) знаходяться так
Dz/du=(dz/dx)(dx/du)+(dz/dy)(dy/du)
Dz/dv=(dz/dx)(dx/dv)+(dz/dy)(dy/dv)
Похідна неявних функцій.
Теорема. Якщо функція f(x,y)=0, задовільняє умови
---існує т. М0(x0,y0)=0
---в колі т. М0 ф-ія F (x,y)=0 та частинні похідні FX і FY неперервні
--- F’ (x,y)не =0 то в т. Що існує єдина неперервна ф-ія y?f(x) (x=?(y)) така що F(x,f(x))=0, (F(?(y),y)=0 y0=f(x0) (x0= ?(y),y)
Теорема. Якщо функція F(x,y) задовільняє умови теореми існування і є диференційованою за своїми змінними в т. М0 , то функція y(-f(x)) має неперервні похідні
Dy/dx= - ((dF/dx)(dF/dy)) dz/dx=- ((dF/dx)(dF/dz)) dz/dy=- ((dF/dy)(dF/dz))
Знайти частинні похідні ф – ій
А) z=u3 lnv u=x/v v=x2y
Z= (x/y)3 ln (x2y)
Z/x= 3(x/y)2 ln (x2y) *(1/y)+(x/y)3 (x2 y) =3x2/x3 * ln (x2y)+(x/y3)
Z/y= 3(x/y)2 ln (x2y) *(-1/y2)+(x/y)3 (x2 / x2 y )=-3x2/y4 * ln (x2y)+(x3/y4)
Б)3xyz-z3=8x
F=3xyz-z3 -8x
F/x=3yz-8 F/y=3xz F/z=3xy-3z2
Dz/dx= Z/x =- F/x / F/z =-(3yz-8)( 3xy-3z2)
Dz/dy= Z/y =- F/y/ F/z =(-3xz)( 3xy-3z2)
Dy/dx= - F/x/ F/y =-((3xz-8)( 3xy-3z2))/(( 3xy-3z2)( 3xz))=-(( 3yz-8)/(3yz))
6)Похідна по напрямку і її властивості, частинні похідні Градієнта Теорема про похідні по напрямку диференціації функції
Похідна складного коли f(x,y,z ) з даним напрямом S визначається за формулою
Df/dS=cos(S I )df/dx+cos(S j)df/dx+cos(S k)
Похідна за даним напрямком S характеризує швидкість зміни напрямку у даній точці
Df/dS=(S grad f) або df/dx=gradSf=ПрS grad f
Частинні похідні.Градієнт.
Знайти плохідні в напрямку l=(3,4) у функції z=x3+x2y-y2 в точці P(1,0)
Cos(і l)=(1.3+0.4)/(v1+0 *v9+16)=3/5
Cos(j l)=(0.3+1.4)/(v1+0 *v9+16)=4/5
Z/x= 3x2+2xy Z/x(1.0)=3
Z/y= x2-2y Z/y(1.0)=1
(Df/dl) / ?= 3/5*3+4/5*1=(9+4)/5=13/5
8)Екстремум функцій багатьох змінних.Необхідна і достатня умова екстремуму.Дослідження на екстремум замкнутій області.
Екстремум: необхідні умови .Функція z= F(x,y), яка є диференційованою може мати екстремум лише в точках де
Df/dx=0 та dF/dy=0 Ці точки називається стаціонарними
Достатні умови.Позначаємо через P значення похідних
D2F/dx2 D2F/dxdy D2F/dy2 в критичній точці (x0,y0) тоді якщо АС-В2?0 то
P(x0,y0)=ZMAX для A?0
P(x0,y0)=ZMIN для A?0
Якщо АС-В2?0 то екстремуму немає , якщо АС-В2?0 , то екстремум може бути , а може й не бути ( невизначений випадок)
За теоремою про необхідну умову екстремуму перевірити чи може т. М (-1,6) буде точкою екстремуму для ф –ії z=x2+y2 на всій площині Оxy
Z/x=2x
Z/y= 2y
Z/xx=2 A = Z/xx(-1.6) =2
Z/xy=2 B= Z/xy(-1.6)=2
Z/y2=2 C= Z/y2 (-1.6)=2
АС-В=4-4=0
Дана функція екстремуму може мати або не мати , функція невизначена.