§ 8. Однопараметричні і багатопараметричні методи
інтеративного агрегування
Задамо, взагалі кажучи, довільним способом число ? і елемент ?? ?
Е
?
. Вважаємо, що оператор
??
1
?
задовільняє умову (6.1). Інтераційний алгоритм (6.6), (6.7) побудований таким чином, що задаємо допоміжні оператори
??
(??)
,
?
(??)
, яким належить істотна роль в структурі інтераційних формул. Ступінь довільності їхнього вибору підпорядкований насамперед умові (6.5). Формальне обгрунтування цього алгоритму і його практична числова реалізується грунтуючись на використанні множини
??
0
, означеної за допомогою рівності (6.4). Множина
??
0
разом з умовою (6.5) забезпечує належність до
??
0
інтераційних наближень {
??
(??)
,
??
(??)
} за умови, що до цієї множини належить початкове наближення {
??
(0)
,
??
(0)
}. До цієї множини
??
0
належить також і розв'язок {
??
?
,
??
?
} системи (1.18), (6.4). Завдяки цьому отримується рівність (6.12), яка є аналогом рівності (5.20), у якій
?
1
,
??
1
є точними власним числом і відповідним до нього власним елементом оператора
??
?
. З-поміж можливостей конкретизації алгоритму (6.6), (6,7) виокремимо випадок, коли
??
(??)
та
??
(??)
означені за формулами:
??
(??)
=
1
(??,
??
(??)
)
A
??
(??)
,
?
(??)
=
(
??
1
?
,??,
??
??
)
(??,
??
(??)
)
(n=0.1,...) (8.1)
В такому разі алгоритм (6.6), (6.7) ідентичний з алгоритмом інтеративного агрегування (2.12). Інтераційні формули (6.6), (6.7) за умови, що
??
(??)
,
??
(??)
означені за формулами (8.1), можна подати у вигляді
??
(??+1)
=
????
(??)
+
1
(??,
??
??
)
A
??
(??)
(
??
(??)
-
??
(??+1)
) + b, (8.2)
??
(??+1)
= ?
??
(??+1)
+ (
??
1
?
?,
??
(??)
+
(??
1
?
??,
??
(??)
)
(??,
??
??
)
(
??
(??)
-
??
(??+1)
), (8.3)
а також у вигляді (2.12) і (2.13). Зазначений вибір операторів
??
(??)
,
?
(??)
дозволяє скористатися з наведених тверджень у §6 при обгрунтуванні збіжності і алгоритму (6.12). Переконаємося, що умова (6.5) справджується, якщо справджуються рівності (8.1).
(8.1). Якщо
??
(??)
,
??
(??)
задовільняють співвідношення (8.1), то справджується умова (6.5).
Доведення: Потрібна рівність випливає з (6.1) та (8.1). Саме:
(
??,??
(??)
) +
?
(??)
=
(??, ??
??
??
)
(??,
??
??
)
+
(??
1
?
??,
??
(??)
)
(??,
??
??
)
=
(??
1
?
??,
??
(??)
)+
(??
1
?
??,
??
(??)
)
(??,
??
??
)
=
??
?,
??
??
?
(??
1
?
??,
??
(??)
)+
(??
1
?
??,
??
(??)
)
(??,
??
??
)
= ?.
Маючи на увазі, що
??
(??)
,
??
(??)
означені за допомогою формул (8.1), тобто
??
(??)
= a(
??
(??)
),
?
(??)
= ?(
??
(??)
), де ??(x) =
1
(??, ??)
Ax, ?
x
=
(??
1
?
, ??, ??)
(?,x)
,
для оператора
Н
(??)
Z = H(
??
(??)
)z, що фігурує в умовах теореми 6.2, можна , зокрема, записати
??
??
(x)z = Az -
????
(??,
?????
??)
(??,
?????
??). (8.4)
Cправді з (8.2), (8.3) та (6.2), (6.3) випливає
??
(??+1)
-y =
??,??
??
??
??,
??
??
? ??
? (??,
??
??
)(??,??
??
??
???
)
??,
??
??
? ??
??
(??)
(8.5)
Cпівставимо це з рівністю
??
(??+1)
-x = A(
??
??
? ??)+
??
??
(??)
(??,
??
??
)
(
??
(??)
-y) -
??
??
(??)
(??,
??
??
)

(??
(??+1)
-y),
яку можна знайти з (8.2) та (2.1) способом, подібним до того способу, що застосовувався для отримання (6.13). В результаті, враховуючи (6.5), знайдемо
??
(??+1)
-x = A(
??
??
? ??) -
??
??
(??)
(??,
?????
??
(??)
)
(??,
?????
(??
(??)
-x)) -
??
(??)
(??,
??
??
???)?
??
(??)
(
??
(??)
-y) (8.6)
Тут
??
(??)
та
??
0
(??)
означені так само як і в §6. Як частковий випадок рівності (8.6) матимемо також
??
(??+1)
-x = A(
??
??
? ??) -
??
??
(??)
(??,
?????
??
(??)
)
(??,
?????
(??
(??)
-x)). (8.7)
Використовуючи позначення (8.4), отримуємо звідси такий результат.
Теорема 8.1. Якщо {
??
(0)
,
??
(0)
} ?
??
0
і при всіх { x, y} ?
??
0
справджується умова
||
??
1
(x)|| ?
??
0
< 1,
то послідовність {
??
(??)
}, отримана за доромогою алгоритму (8.2), (8.3), збігається до розв'язку x=
??
?
рівняння (2.1) не повільніше від геометричної прогресії зі знаменником
??
0
.
Позначимо
?
11
(x)z = Az -
????
(??,
?????
??)
(??,
?????
??)?
??
??
??,??
,
?
12
(x)? = -
??
??
?,
?
21
(x)z =
(??,????)
??,??
? (??,??)(??,????)
(??,
?????
??)
-
??
0
(??)
(?,z),
- 2 –
?
22
(x)? = -
??
0
(??)
?,
H
??
(x) = {
?
????
(??) } i,j=1,2 ,
??
1
(??)
=
H
??
(
??
(??)
).
За допомогою рівності (8.6) та рівності (8.3) і рівняння (6.3) можна отримати такий результат.
Теорема 8.2. Нехай {
??
(0)
,
??
(0)
} ?
??
0
і при всіх { x, y } ?
??
0
справджується умова
||
??
1
(x)|| ? q < 1,
де норму в Е x
??
1
( Е - простір,
??
1
- множина дійсних чисел) означено, наприклад, як
|
??
|
2
+|??
|
2
, де ||x|| - норма в Е-елемента x ? Е, |y| - абсолютна величина числа y. Тоді послідовність {
??
(??)
}, отримана за допомогою алгоритму (8.2), (8.3), збігається до розв'язку
??
?
ріняння (1.18) не повільніше від геометричної прогресії зі знаменником q.
Доведення. Очевидним способом отримуються рівності
??
(??+1)
?
??
?
=
?
11
(??)
(
??
(??)
?
??
?
) +
?
12
(??)
(
??
(??)
-
??
?
), (8.9)
??
(??+1)
?
??
?
=
?
21
(??)
(
??
(??)
?
??
?
) +
?
22
(
??
(??)
-
??
?
), (8.10)
з яких випливає твердження теореми.
Приклад 8.1. До системи
??
1
= 2
??
1
+3
??
2
? 130,
??
2
= 1.92
??
1
+ 2
??
2
? 202
в прикладі 6.1 застосований алгоритм (6.6), (6.7). З такими
??
(??)
,
?
(??)
, які задовольняють умову 6.5, але відрізняються від означених за формулами (8.1). Застосуємо однопараметричний метод інтеративного агрегування у вигляді (8.2), (8.3). Будемо вважати, що замість
??
1
=4.4 маємо ?= 4.5, а замість
??
1
= {4;5} маємо ? = {4.2; 5.1} . Ці значення для ? і ? використані також в прикладі 6.1. За початкове наближення виберемо те саме
??
(0)
= {10; 100
}
т
в прикладі 6.1. Вибираємо
??
0
з умови {
??
(0)
,
у
(0)
} ?
??
0
, тобто,

у
(0)
=
(??,??)
1???
- (?,
??
(0)
) =
4.5
?130
+5.1 (?202)
1?4.5
- (4.5 · 10 + 5.1 · 100).
Отже, за такого вибору
??
(0)
маємо
у
(0)
= - 93.08572. Очевидно, що
??
(0)
= {
??
1
(0)
;
??
2
(0)
}
??
= { 0.5797101; 0.3971014
}
??
, (?,
??
(0)
) = 4,5
??
1
(0)
+ 5.1
??
2
(0)
= = 0.4599995;
??
(0)
= ? - (?,
??
(0)
) = 4.5 - 4.4599995 = 0.400005,
??
1
?
= ? I -
??
?
= (
2,5
?1,92
?3
2,5
),
(??
1
?
?,
??
(0)
) = 22.08, оскільки
??
1
?
? = { 0.708; 0.15 }. Для знаходження
у
(1)
матимемо
у
(1)
= 4.5
у
(1)
+ (
??
1
?
?,
??
(0)
) +
??
(0)
( -93. 08572 -
у
(1)
). Отже,
у
(1)
= 5.3053548. Продовживши обчислення, знайдемо, зокрема, що
??
(1)
= { 134. 08643; -21.12375
}
??
,
??
(2)
= { 99. 52555; 10. 43289
}
??
. Ці ж числові результати отримуються при використанні алгоритму (2.13) з тим самим
- 3 -

??
(0)
= {10; 100
}
т
, яке використане у прикладі 6.1.
Приклад 8.2 Застосуємо однопараметричний метод інтеративного агрегування до системи рівнянь з прикладу 5.8. Використовуючи формулу (2.12 будемо мати
??
1
(??+1)
=
( ??,
??
??+1
)
(??,
??
(??)
)
(2.1
??
1
(??)
+ 2.2
??
2
(??)
+ 0.3
??
3
(??)
+ 0.5
??
4
(??)
) - 257,
??
2
(??+1)
=
( ??,
??
??+1
)
(??,
??
(??)
)
(0.9
??
1
(??)
+ 0.82.1
??
2
(??)
+ 0.22.1
??
3
(??)
) +7,
??
3
(??+1)
=
( ??,
??
??+1
)
(??,
??
(??)
)
(0.1
??
1
(??)
+ 0.2
??
2
(??)
+ 2.5
??
3
(??)
+ 2.8
??
4
(??)
) - 163,
??
4
(??+1)
=
( ??,
??
??+1
)
(??,
??
(??)
)
(0.4
??
1
(??)
+ 0.3
??
2
(??)
+ 0.5
??
3
(??)
+ 0.2
??
4
(??)
) - 12,
де ? =
??
1
= ?(A) = 3.5, ? =
??
1
= { 1; 1; 1;1}, (?,
??
(??)
) =
??
1
(??)
+
??
2
(??)
+
??
3
(??)
+
??
4
(??)
= =170, (?, b) =
??
1
+
??
2
+
??
3
+
??
4
= - 425. Формально цей процес тотожний з інтераційним процесом (1.19), оскільки
??
1
і
??
1
є точними власним числам і власним векторам відповідно спряженої з матрицею коефіцієнтів системи. Фактична заміна методу (1.19) методом, який описують щойно наведені формули, не призводить до збіжності інтерацій
??
(??)
. Реалізуючи цей інтераційний алгоритм з тим самим початковим наближенням
??
(0)
= { 50; 50; 50;10
}
??
, яке використано в прикладі 5.8, можна зробити висновок про його розбіжність. Це можна спостерегти з наведених двох інтерацій:
??
(1)
= { - 17; 102; 33; 52
}
??
,
??
(2)
= {- 32.4; 79.9; 83.8; 38.7
}
??
і з наступних інтерацій.
Зауваження 8.1. Позначимо
??
(??)
z = G (
??
(??)
)z, G(x)z =
????
(??,
?????
??)
(?, (I - A) z).
Рівність (8.7) при цьому отримує вигляд:
??
(??+1)
-
??
?
= (A -
??
(??)
) (
??
(??)
-
??
?
)
і співвідношення (8.8) можна розглянути як умову узагальненого стану оператора A на множині E x
??
?
.
Вважатимемо, що рівняння(1.18) записане у вигляді (5.26) і розглядатимемо його за тих самих припущень щодо оператора А і вільного члена b, які зафіксовані в §7. Дослідження агрегаційно-інтеративного алгоритму (7.6), (7.7) грунтується в §7, зокрема, на двох основних припущеннях. Одне з них підпорядковує
??
(??)
= {
??
????
(??)
} та
??
(??)
= {
??
????
(??)
},
??
????
(??)
=
??
????
(
??
(??)
),
??
????
(??)
=
??
????
(
??
(??)
), вимозі, щоб справджувалися рівності (7.21). Інше - стосується до початкового наближення {
??
(0)
,
??
(0)
}, вибраного таким чином, що {
??
(0)
,
??
(0)
} ?
??
0
, де
??
0
означено за допомогою рівності (7.4). Припустимо, що справджуються рівності
- 4 -
(7.17) і що, взагалі кажучи, оператор
??
?
= {
??
????
?
} є нульовим.
Розглянемо інтераційний алгоритм
??
??
(??+1)
=
??=1
??
(
Ф
??,
??
??
(??+1)
)
??
(
Ф
??,
??
??
(??)
)
??

??
????

??
??
(??)
+
??
??
(s =
1, ??
) (8.11)
Конкретизуємо вибір оператора
??
(??)
= {
??
????
(??)
} за допомогою формул
??
????
(??)
=
??
????

??
??
(??)
(
Ф
??,
??
??
(??)
)
??
і записуємо формули (8.11) у вигляді
??
??
(??+1)
=
??=1
??
??
????
(??)
(
Ф
??,
??
??
(??+1)
)
??
+
??
??
, (8.13)
а також у вигляді
??
(??+1)
=
??
(??)
(Ф,
??
(??+1)
)
??
+ b. (8.14).
- 5 -
Тема 8.2.
Нехай справджується умова
det (I - [Ф,
??
(??)
]
??
) ?0,
де
??
(??)
=
{ ??
????
(??)
},
??
????
(??)
означені рівностями (8.12). Тоді формули (8.11) можна переписати у вигляді
??
(??+1)
=
??
(??)
(I - [Ф,
??
(??)
]
??
)
?1
(Ф, b
)
??
+ b. (8.16)
Доведення. Оскільки з формул (8.11) випливає, що
(
Ф
??
,
??
??
(??+1)
)
??
= (
Ф
??
,
??=1
??

??
????

??
??
(??)
(
Ф
??,
??
??
??
)
(
Ф
??,
??
??
(??+1)
)
??
+
??
??
)
??
=
??=1
??

(Ф
?? ,
??
????

??
??
??
)
??
(
Ф
??,
??
??
??
)
??
(
Ф
??,
??
??
??+1
)
??
+ (
Ф
??
,
??
??
)
тобто,
(Ф,
??
(??+1)
)
??
= [Ф,
??
(??)
]
??
(Ф,
??
(??+1)
)
??
+ (Ф, b
)
??
. (8.17)
Звідси і з (8.11) випливає рівність (8.16).
При R=1 інтераційний процес ідентичний з процесом (2.12).
Тема 8.3.
Нехай
??
????
(??)
означені за допомогою формул (8.12). Якщо матрицю
??
(??)
= {
??
????
(??)
} з числовими елементами
??
????
(??)
означено за формулами
??
????
(??)
=
??
????
?

Ф
??,

??
??
??
)
??
(
Ф
??,
??
??
??
)
??
=
Ф
??,

??
????

??
??
??
)
??
(
Ф
??,
??
??
??
)
??
, (8.18)
то при кожному n=0.1,... справджуються рівності (7.5), тобто, рівності
[Ф,
??
(??)
]
??
+
??
(??)
= ?. (8.19)
Доведення. Використаємо співвідношення (8.11), (8.12), (8.18) та (7.1). Отримаємо:
(Ф
??,

??
????
(??)
)
??
+
??
????
(??)
=
(Ф
??,
??
????

??
??
??
)
??
+
Ф
??,

??
????

??
??
??
)
??

(
Ф
??,
??
??
??
)
??
=
A
????
?

Ф
??,
??
??
??
)
??
+
??
????
?

Ф
??,

??
??
??
)
??
(
Ф
??,
??
??
??
)
??
=
??
????
Цим тему доведено.
- 6 -
Таким чином, багатопараметричнний метод інтеративного агрегування, побудований за допомогою формул (8.11), можна розглядати як окремий випадок багатопарамеричного агрегаційно-інтеративного алгоритму (7.6), (7.7). Винятковість алгоритму (8.11) за цієї ситуації проявляється в тому, що вибір
??
(??)
та
??
(??)
за формулами (8.12) та (8.18) забезпечує достовірність співвідношень (8.19).
Розглянемо особливий випадок, який виокремлюється припущення, що справджується рівність (5.27) і тому множина
??
0
означується як сукупність таких X ? E, для яких матимемо рівність (5.32).
Тема 8.4
Нехай справджуються рівності (5.27) і маємо нерівність
det (I - ?) ? 0
Тоді для деякого
??
(0)
? E одна інтерація, зреалізована за допомогою формули (8.11), призводить до співвідношення
??
(1)
?
??
0
, де множина
??
0
означена за допомогою рівності (5.32).
Доведення. За цих обставин оператори
??
????
?
в формулах (7.17) можна вважати нульовими, тобто, можна вважати, що маємо рівності:
??
????
?

Ф
??
=
??
????
Ф
??
.
Тому, використовуючи (8.12), знайдемо
(Ф
??
,
??
????
(??)
)
??
=
(Ф
?? ,
??
????

??
??
??
)
??
(
Ф
??,
??
??
??
)
=
A
????
?

Ф
??,
??
??
??
)
??
(
Ф
??,
??
??
??
)
=
??
????
(
Ф
??,
??
??
??
)
??
(
Ф
??,
??
??
??
)
??
=
??
????
.
Отже, [Ф,
??
(??)
] = ?. Використавши міркування, подібні до тих, які використані для доведення рівності (8.17), можна з рівностей (8.11) отримати рівність
(Ф,
??
(??+1)
)
??
= ? (Ф,
??
(??+1)
)
??
+ (Ф, b
)
??
.
Звідси випливає, що
(Ф,
??
(??+1)
)
??
= (I - ?) (Ф, b
)
??
(8.21)
При n=0 отримаємо рівність, яка означає, що тему доведено.
- 7-
Зазначимо, що використані при обгрунтуванні теми 8.4 міркування
дозволяють зробити також висновок про те, що у випадку, коли
??
(??)
,
??
(??)
підібрані за формулами (8.12), (8.18), інтерації (8.11) при n ? 1 тотожні з отриманими за допомогою звичайного методу послідовних наближень
??
(??+1)
= A
??
(??)
+b інтераціями з одним і тим самим початковим наближенням
??
0
?
??
0
.
Приєднаємо до рівняння (5.26) допоміжну систему рівнянь
??
??
=
??=1
??
??
????

??
??
+
??=1
??
(
??
????
?

Ф
??
,
??
??
(??)
)
??
(s =
1, ??
). (8.22)

Використовуючи формули (8.12) , (8.18) , алгоритм (8.11) подамо у вигляді інтераційного процесу, який описується формулами

??
??
(??+1)

??=1
??
??
????

??
??
(??+1)
+ (
??
????
?

Ф
??
,
??
??
(??)
)
??
+
??=1
??
??
????
(??)
(
??
??
(??)
-
??
??
(??+1)
) (8.23)
??
??
(??+1)
=
??=1
??
??
????
??
??
(??)
+

??=1
??
(
??
??
(??)
?
??
??
(??+1)
)
+
??
??
. (8.24)
Тому для дослідження збіжності алгоритму (8.11) можна використати результати §7.
- 8 -