16. Інтегрування деяких ірраціональних функцій Теорема1. Інтеграл ?? ??, ?? ????+?? ????+?? ???? Підстановкою ?? ?? = ????+?? ????+?? зводиться до інтеграла від раціональної ф-ції відносно t. Теорема2. Інтеграл ?? ??, ????+?? ????+?? ??1 ??1 , ????+?? ????+?? ??2 ??2 ,…, ????+?? ????+?? ???? ???? підстановкою ?? ?? = ????+?? ????+?? , де n-кратне число n1, n2,…, ?? ?? зводиться до інтеграла від раціональної фукції. А) провести вдалу підстановку ?? 2 ???? 4? ?? 2 = ??= 4? ?? 2 4? ?? 2 = ?? 2 ?? 2 =4? ?? 2 ????= ?2????? ?? 2 4? ?? 2 = (4? ?? 2 ) 2??? ?? 2 4? ?? 2 ?? = 4? ?? 2 ???? Б) ?????? 3 ???1 + ???1 = ?? 6 =???1 ??= ?? 6 +1 ????=6 ?? 5 ???? = ( ?? 6 +1)6 ?? 5 ???? ?? 2 + ?? 3 = 6 ?? 3 ( ?? 6 +1) ??+1 ???? 17. Визначений інтеграл. Означення, геом. і фізичний зміст. Якщо існує границя інтегральної суми для ? -> 0, n-> ? яка не залежить від способу розбиття відрізка [а;b] і вибору точок, то ця границі назив. Визначеним інтегралом від ф-ції f(x) на відрізку [а;b] і позн. символом ?ав f(x)dx=limSn; ?>0; n>?. Теорема: якщо ф-ція f(x) неперервна на [a;b] то limSn; ?>0; n>? існує і не залежить від способу розбиття відрізка [a;b] на часткові. В такому випадку ф-цію назив. інтегрованою числа а, b відповідно нижньою та верхнею межами інтегрування. Якщо f(x) >0 то ?ав f(x)dx чисельно = площі криволінійної трапеції обмеженої лініями у = f(x), х=а, х=в, у = 0. У цьому випадку маємо геометричний зміст визначеного інтеграла. Фізичний зміст: Шлях, яким рухалася точка з моменту t1 до t2 рівний інтегралу S = ? t1 t2 f(t)dt А) Б) зобразити фігуру,площа якої виражається інтегралом ?13 (х - 1)dx В) ?13(х - 1)dx = ((х2/2) - х)¦13 = (9/2) – 3 – (1/2) + 1 = 4 -2 = 2(кв. од.) 18. Умови існування на властивості визн. Інтеграла. Теорема: якщо ф-ція f(x) неперервна на [a;b] то limSn; ?>0; n>? існує і не залежить від способу розбиття відрізка [a;b] на часткові. В такому випадку ф-цію назив. інтегрованою числа а, b відповідно нижньою та верхнею межами інтегрування. Властивості: При перестановці мед інтегралу змінюється його знак ?ав f(x)dx= - ?ва f(x)dx Для будь - якої ф-ції f(x) ?аа f(x)dx = 0 Сталий множник можна винести за знак визначеного інтеграла ?ав сf(x)dx = с?ав f(x)dx Інтеграл зі суми = сумі інтегралів ?ав (f(x) - + g(x))dx = ?ав f(x)dx + - ?ав g(x)dx Адитивна властивість ?ав f(x)dx = ?ав f(x)dx + ?св f(x)dx, де а ? с ? в Якщо f(x), g(x) – неперервні на [а, в] і f(x) ? g(x), то ?ав f(x)dx ? ?ав g(x)dx ¦?ав f(x)dx¦= ?ав ¦ f(x)¦dx а) чи інтегрована ф-ція f(x) = ln(х) на відрізку [-1.2] ?-12 ln(х)dx = ¦u=lnx du=dx/x ¦= xlnx¦-12 - ?-12 x(dx/x) = xlnx¦-12 - x¦-12 = ¦dv=dx v=x ¦ X(mx-1) ¦-12 = 2(ln2-1)-(-1)(ln(1)- 1)=2(ln2-1) Б) не обчислюючи порівняти -?13 xdx i ?13 x2 dx На відрізку [1.3] х ? х2 , а отже за ознакою № 6 ?13 xdx ? ?13 x2 dx 19. Ф-ція верхньої межі інтеграла. Формула Ньютона – Лейбніца Розглянемо інтеграл із змінною верхньою межею. ? а х f(t)dt Очевидно він є ф-цією верхньої межі. Цю ф-цію про диференціюємо. (? а х f(t)dt)’х = f(x) Тобто похідна від інтеграла із змінною верхньою межею = значенню підінтегральної ф – ції при цій межі. Формула Ньютона – Лейбніца. Якщо ф-ція f(x) визначена і неперервна на відрізку [a;b], і F’(x) = f(x), то ?ав f(x)dx = F(x)¦ab = F (b) – F (a), де F (b), F (a) – значення первісної в т. b i a. Знайти похідну по змінній x з інтегралу (?1х(3t2+2)dt )’x = 3x2 + 2 20. Застосування визначеного інтегралу. Формули для обчислення площ, об’ємів. Обч. Площ плоских фігур. Нехай f(x) - ф – ція неперервна на проміку [a;b], відомо, що якщо f(x) ? 0 на [a;b], то площина S криволінійної трапеції, обмеженої лініями у > f(x), у = 0, х = а, х = в дорівню інтегралу S = ?ав f(x)dx Якщо f1(x) ? f2(x) S = ??? (f1(x) - f2(x))dx Обєм тіла обертання. Обєм тіла, утвореного обертанням навколо осі ОХ криволінійної трапеції визначається ф-лою V = lim ???>0 ??? ?? 2 ??? = ?ab ?y2dx Навколо осі OY V= ?ab ?x2dy Виразити через визн. Інтеграл об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі ОХ фігури, обмеженої лініями у=0, у=х, х=1 V = ?01?y2dx = ?01?x2dx = ?x3/3¦01 = ?/3(куб.од.) 21. Ознаки невласних інтегралів 1-го роду, та геометричний зміст. Невласні інтеграли з нескінченними межами інтегрування для функції у=f(x) визначаються так: ?ва f(x)dx=lim ?ва f(x)dx, b>? ?в-? f(x)dx=lim ?ва f(x)dx, a>? Якщо відповідна границя існує і є скінченною, то невласний інтеграл називають збіжним, в іншому випадку-розбіжним. Геометричний зміст. Інтеграл ??0 f(x)dx В разі збільшення ординати площа фігури зростає, але не безмежно. У називають площею нескінченної смуги. Sn = ?в-? f(x)dx Обрати серед даних інтегралів невласні інтеграли 1-го роду і виразити їх через границі: ??1 ???? ??2+?? = lim ?a1 ???? ??2+?? a>? 22.Означення невласного інтеграла 2-го роду, та геометричний зміст. Невласний інтеграл з нескінченними межами для підінтегральної функції визначається так: ?+?-? f(x)dx=?а-? f(x)dx+?+?а f(x)dx Дана сума інтегралів не залежить від вибору а. Геометрично: площа нескінченої полоси збігання до максимально великого числа, але вона точно є обмеженою. Якщо = lim ?na f(x)dx -розбіжний, то маємо невласний інтеграл 2-го роду n>? lim ?a1 ???? ??2+?? = lim(arctg(a)-arctg(1))=П/4 a>? Невласних інтегралів 2-го роду в переліку немає. 23. Означення ДР, його порядку, розв’язку, інтегралу. Диф. Рівнянням називають р-ння, незлежну змінну,невідому функцію та її похідну або диференціали різних порядків. Порядком диф. р-ння називається порядок найстаршої похідної, що входить до рівняння. Розв’язком диф. р-ння називається диференційована функція, підставлення якої разом з її похідними перетворє його в тотожність. Процес відшукання розв’язків диф. р-ння називається розв’язуванням або інтегруванням диф. р-ння. Диф. р-ння 1-го порядку має вигляд: F(x,y,y’)=0 Або y’=f(x,y) Диф. р-ння зі змінними, що відокремлюються: f1 (x)g1(y)yx’+ f2 (x)g2(y)=0 Однорідні диф. р-ння: y’=f( ?? ?? ) Визначити порядок ДР y’-2xy=0 і перевірити, чи є функція y=ex2+3 його розв’язком. Розв’язання : Маємо ДР 1-го порядку, y’=2x* ex2 ; підставляємо в рівняння: 2x* ex2-2x(ex2+3 )=0; 0=0 y= ex2+3 є розв’язанням р-ння y’-2xy=0 24. Задача Коші. Теорема про існування та єдність розв'язку задачі Коші для ДР 1-го порядку. Розглянемо р-ння ??y dx =f(x,y) Серед цих розв’язків даног р-ння знайти такий, який при заданому значенні аргумента х=х0 приймає задане значення у(х)=у0. Числа х0 та у0 називають початковими умовами. Теорема: Якщо ф-ція f(x,y) неперервна в деякій області, що містить точки(х,у), має у цій точці обмежену частинну похідну по у, то існує тільки один розв’язок р-ння y’=f(x,y), який задовольняє умову Коші: у= у0 при х=х0 Чи виконуються умови теореми про існування і єдність розв’язку задачі Коші для такої задачі y’= ???y2 x+1 , y(0)=1, в деякому околі т.(0,1) Розв'язання: ??y dx = ???y2 x+1 ; ??y y2 = ?????? x+1 ? y-2dy=? dx- ? ???? ??+1 (??)?1 ?1 = x- ln|x+1|+C 1 ?? = ln|x+1|-x+C y= 1 ??? ????|??+1|+?? y(0)= 1 ?c =1 C=1 y= 1 ln x+1 ?X+1 В-дь: y= 1 ln x+1 ?X+1 25.загальний розв’язок і загальний інтеграл ДР 1-го порядку. Розв’язування задачі Коші при відомому загальному розв’язку. Частковий і особливий розв’язки.відомий загальний розвязок ДР у’-2х=0: у = х2 +с . знайти розвязок задачі Коші для цього рівняння з початковою умовою у(1)=0. Загальним розв’язком ДР є вираз виду: у=f(х)+с ,де с – const. Розв’язати задачу Коші означає знайти єдиний розвязок,який би задовільнив умову задачі. Наприклад прийнявши константу с=0 отримаємо у=f(х)- конкретний розвязок ДР 1-го порядку. Якщо загальний розвязок одержано в неявному вигляді Ф(х,у,с)=0 то його називають загальним інтегралом. Розвязок,який отримують із загального при конкретному значенні довільної сталої,називається частковим розв’язком. Відомий аг.розвязок ДР: у’-2х=0, у=х2+с. Розвяжемо задачу Коші зпочатковою умовою: у(1)=0 у(1)=12 +с=0; 1+с=0; с=-1. У=х2 -1 – розвязок задачі Коші.
26.ДР розв’язані в квадратурах. Др із зміними,що виокремлюються ДР розв’язані в квадратурах-ДР 1-го порядку,які мають вигляд ???? ???? = ??(??) ??(??) , тощо Далі ДР зводяться до обчислення простих інтегралів g(y)dy=f(x)dx ДР із змінними,що відокремлюються-це рівняння виду: f1(x)g1(y)y’x + f2(x)g2(y)=0; ділимо на добуток функцій f1g2 і після інтегрування отримаємо: g1 y g2 y ???? + f2 x f1 x ???? =с. Вибрати рівняння з відокремлюваними змінними із заданих рівнянь: y’= ?? ?? ???? ?? ?? x3y’ + y=6 – рівняння з відокремленими змінними y’ + ?? ?? + xy2 = 0 y’ + ?? 3+?? = ???? 5?? 27.однорідні функції n-го степеня(приклад). Однорідні ДР 1-го порядку. а) чи є однорідною і якого степеня функція ?? 2 + ?? 2 ? б) вибрати однорідне рівняння із заданих рівнянь(список в попередньому питанні). Функція f(x,y) називається однорідною функцією n-го виміру,якщо при заміні в ній змінних х і у відповідно на tx,ty, де t-довільна величина(параметр), одержується та ж функція поміняна на tk,тобто: f(tx,ty)= tkf(x,y) показник k називають виміром,або степенем однорідної функції. Рівняння M(x,y)dx+ N(x,y)dy = 0,в якому функції M(x,y) та N(x,y) – однорідні функції одногой того ж виміру,також є однорідними рівняннями відносно х і у. а)f(x,y)= х2+у2 ; f(tx,ty)= ??2х2+??2у2 =?? х2+у2 функція однорідна, першого виміру б) вибрати однорідне ДР y’= ?? ?? ???? ?? ?? - однорідне ДР.
28.Лінійні ДР 1-го порядку. Метод варіації довільної сталої. Вибрати лінійне рівняння із заданих рівнянь(список в попередніх питаннях) Лінійними називають ДР яке є лінійним щодо шуканої функції та похідної, воно має вигляд: ???? ???? =?? ?? ???=?? ?? Якщо ?? ?? =0, то рівняння називається лінійним однорідним,в іншому випадку- лінійним неоднорідним. Метод варіації довільної сталої спочатку розв’язують відповідне однорідне ДР ???? ???? =?? ?? ???=0 Його загальний розвязок у= се? ?? ?? ???? далі С з попереднього рівняння розглядають як функцію від х, С=С(х), підбирають цю функцію так, щоб функція була розв’язком неоднорідного рівняння. Загальний розвязок рівняння виражається формулою: y = е? ?? ?? ???? ( ??(??) е ?? ?? ???? dx+C1) Обрати лінійне рівняння y’ + ?? 3+?? = ???? 5?? 29.Лінійні ДР 1-го порядку.метод Бернуллі.Рівняння Бернуллі. Рівняння ???? ???? + ??(??)?? =Q(x)yn (n ?0,n?1) Називається рівнянням Бернулі. Помножимо обидві його частини на (1-n)y- n,матимемо (1-n)y-n ???? ???? + (1-n)y1-nP(x)=(1-n)Q(x) y1-n=z, (1-n)y- n ???? ???? = ???? ???? Одержємо лінійне рівняння Вибрати рівняння бернулі y’+ ?? ?? +xy2=0
30.означення числового ряду,частинних сум,збіжності і суми ряду. Геометричний ряд. Вираз а1+а2+…ап.= ??=1 ~ аn називається числовим рядом,а число а1,а2,ап –числами ряду. Сума скінченної кількості членів ряду S1=a1, S2=a1+a2,…, Sn=a1+a2+…+an називається частковою сумою. Якщо існує границя S= lim ??>? ???? , то ряд називається збіжним,а число S- сумою цього ряду. Якщо lim ??>? ???? не існує, або вона необмежена,то ряд називається розбіжним. Геометричний ряд – ряд складений з членів геометричної прогресії 1,q,q2,…….. 1+q+q2+q3+…+qn-1= ??=1 ~ ??^(???1) При |q|<1 –збіжний При q=-1,q=1,q>1 –розбіжний Знайти частинні суми S2 I S3 для ряду ??=1 ~ ??+1 ??2 S1=2 S2= 3 4 +2= 11 4 S3= 4 9 + 11 4 = 16+99 36 = 115 36 31.властивості рядів. Необхідна умова збіжності ряду. Гармонічний ряд і його збіжність. Властивості: Члени ряду,що збігається,можна групувати в довільному порядку,зберігаючи послідовність членів,в результаті новий ряд збігається і має таку свму суму. Якщо ряди ??=1 ~ аn і ??=1 ~ ??n збігаються, то збігається і ряд
