1.Функції багатьох змінних. Графік функції двох змінних.
Величина z називається ф-цією двох змінних величин x,y, якщо кожній парі чисел, які можуть бути значеннями змінних x,y, відповідає одне або декілька визначених значень величини z. При цьому змінні x,y, назив аргументами.
Поняття ф-ції трьох і більше аргументів і її область визначення вводиться аналогічно ф-ції двох аргументів.
Ф-цією двох і більше аргументів можна задати таблично у вигляді просторової моделі .
Область визначення двох змінних плюс пари тих чисел, які можуть бути значеннями аргументів x,y, функції f(x,y,).
Графіком функції двох змінних z=f(x,y,) є деяка повехня S в прямокутній системі координат OXYZ; Проекція точки М поверхні S на площину XOYє зображеннями аргументів x,y, апліката z точки М відображає відповідне значення функції.
Які з величин є функціями n змінних? Вказати n.
А) Довжина кола l=2ПR – функція однієї змінної n=1.
Б) Об’єм конуса V – двох змінних n=2.
В) Потенціальна енергія тіла. u=u(u1,u2,u3) – багатьох змінних.
2. Границя функції двох змінних. Неперервність в точці і в області.
Поняття границі функції двох аргументів встановлюється так, як і для функції одного аргументу. Число l називається границею функції z=f(x,y,) в точці М0(а,в) якщо z прямує до l коли точка М(х,у) прямує до М0.
lim
?????0
f(x,y,)
=l або
lim
х>а
у>в
??
??,у
=l
Вважається, якщо ф-ція визначена у всіх точках в околі точки М0.
Визначення: число l називається границею функції f(x,y,) в точці М0(а,в), якщо значення різниці f(x,y,)- l залишається меншим ніж попередньо встановлене додатнє число Е у випадку коли відстань М0М=
(х???)
2
+(у?
??)
2
від точки М0(а,в) до точки М(х,у) менше за деяке додатне число Е .
Геометричний зміст.
Апліката поверхні z=f(x,y,) відрізняються від l менше ніж на Е як тільки проекція точки, яка лежить на поверхні, потрапляє в середину кола радіуса ?? з центром в точці М0(а,в)
А) Намалювати окіл точки М(3,2) при Е=1/2.
у
2 .
3 х
Б) Знайти границю ф-ції в точці за теоремою про арифметичні дії з границями:
lim
х,у
>
?1,0
??
2
+3у
у
2
=
lim
(х,у)>
1,0
??
2
+
lim
(х,у)>
1,0
3у
lim
(х,у)>
1,0
у
2
=
1+0
0
= ?
Відповідь: ?
3. Часткові прирости. Частинні похідні, градієнт.
Нехай функція f кількох змінних визначена в точках (х0,у0,….z0) є Rn та (х,у,…z) є Rn. Тоді різниця ?х=х-х0, ?у = у-у0, ???=z-z0 – називають відповідно приростами відповідних змінних х,у,…z.
Якщо ?у = 0……..??? = 0, то різницю:
?х f(х0,у0,….z0)=f(x+?x0, у0,….z0)- f(х0,у0,….z0) – називають частинним приростом ф-ції f по змінній ху трчці (х0,у0,z0).
Аналогічно визначаються частинні прирости функції f в точці (х,у,z) по змінній у,….,z.
?у f(х0,у0,….z0),…., ??? f(х0,у0,….z0)
Частинною похідною по змінній х ф-ції в точці (х0,у0,….z0) називають число
f’(х0,у0,….z0)=
lim
?х>0
?х f(х0,у0,….z0)
?х
=
??f(х0,у0,….z0)
?х
.
Якщо частинні похідні позначають у будь-якій точці з області визначення ф-ції, то їх позначають так:
f’х, f’у,…., f’z або
????
????
,
????
??у
,…,
????
????
.
Градієнт – вектор визначений у кожній точці скалярного поля формулою.
gradf=
????
????
??
+
????
??у
??
+
????
????
??
У кожній точці скалярного поля вектор gradf напрямлений до нормалі до поверхні рівня , що проходить через дану точку М.
Знайти частковий приріст і похідну по змінній х за означенням, якщо z=x2+2xy
?х f(х,у)= ?х Z=((x+?х )y=х2+2х?х +?х 2+2ху+2?х у=х2+2?х (х+у)+ ?х2+2ху
f’х = Z’x+
lim
?х>0
?х Z
?х
=
lim
?х>0
??
2
+2????+2?х (??+??)
?х
+?х
2
=
lim
?х>0
(
??
2
?х
+
2????
?х
+2xy+?х)= 2(x+y).
4)Повний приріст . Озн . диф. функції в точці та диференціалу ф-ції 2 –х змінних. Формула для диференціалу через частині похідні та інваріантність форми диференціалу.
Повним приростом ф-ії f у точці (x0,y0,z0) називається рівняння ? f(x0,y0,z0) =f(x,y,z) -f(x0,y0,z0) = f(x0+ ?x, y0 +?y, z0 +?z) = f(x0,y0,z0)
Функція z= f (x,y) називається диференційованою в точці (x0,y0 ) якщо повний приріст функції z можна записати у вигляді
? z=A(x0,y0 ) ?x +B(x0,y0 ) ?y+O(g)
g=v?x2+?y2 де O(g)—величина яка нескінченно малого вищого порядку порівняно з g
Повним диференціалом dz функції в т. (x0,y0 ) називається величина
Dz=df (x0,y0 )=df/dx(x0,y0 ) dx+ df/dy (x0,y0 ) ?y
Dz=f ‘x (x0,y0 ) dx+ f ‘y(x0,y0 ) dy де dx і dy –диференціали незалежних з.
Універсальність форми диференціалу
D2z/dxdy=d2z/dydx
Знайти повний приріст ( повний диференціал функції за озн. Z=(x-1)2+2y2
? z=(x+? x-1)2+2(y+y2)2-(x-1)2-2y2=(x-1)2 +2? x (x-1)+ ? x2+2y2+4y? y+2? y2-(x-1)2-2y2=
=2? x(x-1)+ ? x2+4y? y+2? y2
Zx’=2(x-1)=
lim
?x=0
?z/?x
Zy’=
lim
?x=1
?z/?x
=4y
Dz= 2x(x-1)dx+4ydy
5)Частинні похідні складної функції багатьох змінних та похідні неявно заданих функцій , якщо
z=z(x,y) x=x(t) y=y(t ) тоді dz/dt=dz/dx*dy/dt+dzdy*dydt
Якщо z=z (x,y) y=y(x) тоді dz/dx= dz/dx+dz/dy*dy/dx
Якщо z=z(x,y), x=x(u,v) y=y(u,v) тоді частинні похідні за незалежними змінними u і v у довільній точці (u,v) знаходяться так
Dz/du=(dz/dx)(dx/du)+(dz/dy)(dy/du)
Dz/dv=(dz/dx)(dx/dv)+(dz/dy)(dy/dv)
Похідна неявних функцій.
Теорема. Якщо функція f(x,y)=0, задовільняє умови
---існує т. М0(x0,y0)=0
---в колі т. М0 ф-ія F (x,y)=0 та частинні похідні FX і FY неперервні
--- F’ (x,y)не =0 то в т. Що існує єдина неперервна ф-ія y?f(x) (x=?(y)) така що F(x,f(x))=0, (F(?(y),y)=0 y0=f(x0) (x0= ?(y),y)
Теорема. Якщо функція F(x,y) задовільняє умови теореми існування і є диференційованою за своїми змінними в т. М0 , то функція y(-f(x)) має неперервні похідні
Dy/dx= - ((dF/dx)(dF/dy)) dz/dx=- ((dF/dx)(dF/dz)) dz/dy=- ((dF/dy)(dF/dz))
Знайти частинні похідні ф – ій
А) z=u3 lnv u=x/v v=x2y
Z= (x/y)3 ln (x2y)
Z/x= 3(x/y)2 ln (x2y) *(1/y)+(x/y)3 (x2 y) =3x2/x3 * ln (x2y)+(x/y3)
Z/y= 3(x/y)2 ln (x2y) *(-1/y2)+(x/y)3 (x2 / x2 y )=-3x2/y4 * ln (x2y)+(x3/y4)
Б)3xyz-z3=8x
F=3xyz-z3 -8x
F/x=3yz-8 F/y=3xz F/z=3xy-3z2
Dz/dx= Z/x =- F/x / F/z =-(3yz-8)( 3xy-3z2)
Dz/dy= Z/y =- F/y/ F/z =(-3xz)( 3xy-3z2)
Dy/dx= - F/x/ F/y =-((3xz-8)( 3xy-3z2))/(( 3xy-3z2)( 3xz))=-(( 3yz-8)/(3yz))
6)Похідна по напрямку і її властивості, частинні похідні Градієнта Теорема про похідні по напрямку диференціації функції
Похідна складного коли f(x,y,z ) з даним напрямом S визначається за формулою
Df/dS=cos(S I )df/dx+cos(S j)df/dx+cos(S k)
Похідна за даним напрямком S характеризує швидкість зміни напрямку у даній точці
Df/dS=(S grad f) або df/dx=gradSf=ПрS grad f
Частинні похідні.Градієнт.
Знайти плохідні в напрямку l=(3,4) у функції z=x3+x2y-y2 в точці P(1,0)
Cos(і l)=(1.3+0.4)/(v1+0 *v9+16)=3/5
Cos(j l)=(0.3+1.4)/(v1+0 *v9+16)=4/5
Z/x= 3x2+2xy Z/x(1.0)=3
Z/y= x2-2y Z/y(1.0)=1
(Df/dl) / ?= 3/5*3+4/5*1=(9+4)/5=13/5
7. Частинні похідні вищих порядків. Повна похідна 2-го порядку. Теорема про рівність змішаних похідних
Частинні похідні називаються частинними похідними 1го порядку функції ??. Якщо вони самі мають частинні похідні то останні називають частинними похідними 2го порядку ф-ції і позначають
??"
??
2
=(
??
?
??
)?
??
=
??
2
??
??
??
2
??"
????
=(
??
?
??
)?
??
=
??
2
??
????????
??"
??
??
=(
??
?
??
)?
??
=
??
2
??
????
2
При цьому
??"
??
2
,
??"
??
??
- називають чистими частинними похідними.
Так само визначаються частинні похідні вищих порядків.
?????
??
3
=(
????
??
2
)?
??
або
?????
??
2
??
=(
????
??
2
)?
??
Теорема: якщо мішані частинні похідні
??"
????
та
??"
????
неперервні в т.М0 , то вони рівні в цій точці
Перекрнатись у правильності теореми про рівність змішаних похідних для ф-ції:

???
??
=3
??????
3???2??
,

???
??
=?2???????(3???2??),

????
????
= ?3
??????
3???2??
?(?2)
=6???????(3???2??)

????
????
=2
??????
3???2??
?
3
=6???????(3???2??)
Для ф-ції ??=sin?(3???2??) теорему перевірено
8)Екстремум функцій багатьох змінних.Необхідна і достатня умова екстремуму.Дослідження на екстремум замкнутій області.
Екстремум: необхідні умови .Функція z= F(x,y), яка є диференційованою може мати екстремум лише в точках де
Df/dx=0 та dF/dy=0 Ці точки називається стаціонарними
Достатні умови.Позначаємо через P значення похідних
D2F/dx2 D2F/dxdy D2F/dy2 в критичній точці (x0,y0) тоді якщо АС-В2?0 то
P(x0,y0)=ZMAX для A?0
P(x0,y0)=ZMIN для A?0
Якщо АС-В2?0 то екстремуму немає , якщо АС-В2?0 , то екстремум може бути , а може й не бути ( невизначений випадок)
За теоремою про необхідну умову екстремуму перевірити чи може т. М (-1,6) буде точкою екстремуму для ф –ії z=x2+y2 на всій площині Оxy
Z/x=2x
Z/y= 2y
Z/xx=2 A = Z/xx(-1.6) =2
Z/xy=2 B= Z/xy(-1.6)=2
Z/y2=2 C= Z/y2 (-1.6)=2
АС-В=4-4=0
Дана функція екстремуму може мати або не мати , функція невизначена.
9. Первісна ф-ції на інтервалі та неозначений інтеграл, їх властивості.
Ф-ція F назив. первісною для ф-ції ??(??),на заданому проміжку, якщо для всіх х з цього проміжку справедлива рівність: F?(x)= ??(??),
У загальному випадку, якщо F(x) є первісною для ф-ції ??(??), то для будь-якої сталої є функція F(x) + С також є первісною для функції ??(??)
Множина всіх первісних функ-й ?(х), Х Є (а, b) називають невизначеним інтегралом і записується так:

??(??)????
Отже, якщо ??(??) є первісною для ??(??),
??
??
????=??
??
+??, ??=??????????
Ф-ція ??(??) - інтегральна ф-ція
Вираз ??(??)dx – інтегральний вираз
Властивості
Похідна від невизначеного Інтеграла дорівнює підінтегральній функції :(
??
????)?=??(??)

Диференціал від невизн. інтеграла дорівнює виразу ??(
??
??
????)=??
??
????
Знак інтеграла перед знаком диференціала знищує останній, а при цьому вводиться довільний сталий додаток:
??
??
??
=??
??
+??

Сталий множник можна винести за знак інтеграла:
????
??
????=??
??
??
????

Інтеграл від алгебраїчній сумі інтегралів від даних ф-цій:
??
??
+??
??
????=
??
??
????+
??
??
????
Чи є функція 3+х2 первісною для ф-ції х2 на проміжку х є R
??
??
=x2+3
??
?
??
=2??? x2 функція х2+3 не є первісною для функції х
Знайти за властивостями первісну для ф-ції ???????(????+??)
??
??
=
sin
2??+5
??=
1
2
(
sin
2??+5
??
2??
=
1
2
sin
2??+5
??
2??+5
=?
1
2
cos
2??+5
+??
Відповідь: С -
1
2
cos?(2??+5)
10. таблиця інтегралів. Приклади з неелементарними первісними. Умови існування первісної
1)
??
n????=
??
??+1
??+1
; 2)
????
??
=??
??
??
+??
; 3)
??
??
????=
??
??
+??; 4)
??
??
????=
??
??
??????
+??
5)
??????????=?????????+??
6)
????????????=????????+??
7)
??????????=??
??
??????
??
+??
8)
????????????=??
??
??????
??
+??
9)
????
??????
2
??
=?????????+??
10)
????
??????
2
??
=??????+??
11)
????
1?
??
2
=??????????????+??
; 12)
????
1+
??
2
=????????????+??
13)
????
??
2
?
??
2
=
1
2??
??
??
?????
??+??
?+??
14)
????
??
2
?
??
2
=
1
2??
ln
????
??
2
±
??
2
=
??
??
??+?
??
2
±
??
2
?+C
Прикладами є №7 та №8
Знайти табличний інтеграл

????
??
2
?9
=
1
2?3
??
??
???3
??+3
?+??=
1
6
????
?
???3
??+3
?+ C
11)Методи інтегрування: підведення під знак диференціалу та заміна зміної.
Нехай ?f(x)dx не є табличним. Покладемо x=?(t), де ?(t) – неперервна і раціональна функція на деякому проміжку, тоді ?f(x)dt, а інтеграл набуде вигляду ?f(?(t))?’(t)dt=?f(t)dt.
Підстановку обираємо таку, щоб новий інтеграл був простійшим від попереднього.
А) Як можна перетворити вирази, з допомогою підведення під знак диференціалу.
??
2
????=
1
3
??
??
3
????
??????
2
??
=???(????????)
Б)Чи правильні такі підведення під знак диференціалу.
x2 dx=d(3x2)- не правильне бо d(3x2)=6xdx ? x3dx
????
??????
2
??
=??????
??
2
??-не правильне (див. п.а) dcos2x=2cosx(-sinx)dx=-sin2xdx?
????
????
??
2
??
В) Провести в інтегралі таку заміну
??=
1
??
;????=
?
1
??
2
????;
????
??
??
2
+5
; ??=
1
??
; ????=(?
1
??
2
)????
Підставимо
????
??
??
2
+5
=
?
1
??
2
????
1
??
1
??
2
+5
=?
????
??
1+5
??
2
??
2
=?
????
1+5
??
2
=?
1
5
????
5
??+
1+5
??
2
+??=
=
??=
1
??
=?
1
5
????
5

1
??
+
1+
5
??
2
+??
Підстановка вдала, розвязок отримали.
12) Інтегрування частинами основні типи інтегралів, в яких використовують ці методи?
Якщо інтеграл (f lx)dx не є табличним, то його представляють у вигляді ?udv=uv-?vdu. Тут uv- частина первісної, інтеграл ?vdu треба знаходити. Цей метод зручно використовувати, якщо ?vdu не складніше ніж udv. Така функція показникова, логарифмічна, тригоментрична тощо.
До яких типів належать інтеграли і як розбити підінтегральний вирази?
??
2
??????????????=
??=????????????
????=
????
1+
??
2
????=
??
2
????
??=
??
3
3
=
??
3
3
?????????????
1
3
??
3
????
1+
??
2
Підінтегральний вираз містить оберненотригометричну функцію.
(??+5)2
2
????=
??=??+5
????=????
????=
2
??
????
??=
2
??
????2
=
??+5
2
??
????2
?
2
??
????
????2
=
2
??
??+5
????2
?
2
??
????
2
2
+??
13)Означення раціональної функції, правильного та неправильного раціональних дробів.
Дроби вигляду
??
????+??
;
??
(????+??)
??
;
????+??
??
??
2
+????+??
;
????+??
(??
??
2
+????+??)
??
де k?2, A,B,a,b,c – дійсні числа;
D=b2-4ac<0 елементами або простими дробами.
Теорема. Будь-який правильний раціональний дріб можна єдиним способом представити у вигляді суми скінченої кількості елементарних дробів
??
??
??
??
??
??
=
??
??
??
??
0
???
??
1
??
…(???
??
??
)
????
(
??
2
+
??
1
+??
)
??
…(
??
2
+
??
2
+
??
2
)
??
=
=
??
1
???
??
1
+
??
1
(
???
??
1
)
2
+…+
??
??1
(
???
??
1
)
??1
+
??
??
???
??
??
+
??
1??
+
??
1
??
2
+
??
1
??+
??
1
+
??
2??
+
??
2
(
??
2
+
??
1
??+
??
1
)
2
+…
Таке представлення назив. Розкладанням правильного раціонального дробу на елементарні.
Метод знаходження невизначених коефіцієнтів у розкладі раціонального дробу на частини.
Нехай треба знайти
??
??
(??)
??
??
(??)
????
. Якщо підінтегральний дріб є неправильним, то його завжди можна представити у вигляді алгебраїчної суми многочлена правильного раціонального дробу, тобто.
??
??
(??)
??
??
(??)
=??
??
+
??
??
(??)
??
??
(??)
Теорема. Інтеграл від будь-якої рац. Функції цілого аргументу виражається через елементарні функції.
А)Виділити цілу частину із дробу.
??
6
+3
??
3
?2??+1
??
3
+??
. Поділимо дроби…
Виходить:
??
6
+3
??
3
?2??+1=
??
3
+??
??
3
???+3
+
??
2
?5??.
Отже
??
6
+3
??
3
?2??+1
??
3
+??
=
??
3
???+3+
??
2
?5??+1
??
3
+??
.
Б) Які з функцій є раціональними.
3????????+2
??
2
-не раціональна
3
??
4
?2??
??
2
+1
- раціональна
2
??
+5
??
2
+5
–не раціональна
14. Теорема про розклад многочлена на множники. Про розклад правильного раціонального дробу на прості. План інтегрування раціонального дробу. Теорема про первісну раціональну функцію.
Розклад многочлена
??
0
??
??
+
??
1
??
???1
+…+
??
??
=0
На множники зводиться до рівняння
План інтегрування:
При інтегруванні неправильних раціональних дробів спочатку виділяють цілу частину
Знаменник дробу, що лишився розкладають на множники
Пробуємо ділити чисельник на кожен з множників знаменника
Розкладаємо отриманий дріб на суму простих дробів
15. Універсальна тригонометрична підстановка та інші методи інтегрування раціональних функцій від sinX, cosX..
Теорема1.Інтеграл від рац. Ф-цій аргументами якої є тригонометричні функції, тобто за допомогою підстановки, зводиться до інтеграла від раціональної функції відносно змінної t , а отже виражаються в елементарних функціях.
Дійсно ?????????
2?
????
2
??
2
1+
????
2
??
2
=
2???
1+??
Cos(x)*
1?
????
2
??
2
1+
????
2
??
2
=
1?
??
2
1+
??
2
, x=2*arctg(t),
2????
1+
??
2
Підставивши ці значення замість тригонометричних функцій в підінтегральних функцій в підінтегральну функцію одержуємо?R1(t)dt. Підстановка
????
??
2
?? називається універсальною тригонометричною підстановкою.
Теорема2. Якщо виконується одна з рівностей
?(-sinX,cosX)=-?(sinX,cosX)
?(sinX,-cosX)=-?(sinX,cosX) то для обчислення інтеграла ??(sinX,cosX)dx можна скористатись підстановкою t=cos(x) або t=sin(x).
Теорема3.Якщо ?(-sinX,-cosX)=?(sinX,cosX) то ??(sinX,cosX) зводиться до інтегралу від раціональної функції tgX=t
А) Провести вдалу підстановку
????
3?????????+2??????????1
=
??=????
??
2
????????=
????
1+
??
2
????????=
1?
??
2
1+
??
2
????=
2???
??
1+
??
2
=
2???
??
1+
??
2
3?
2???
1+
??
2
+2?
1?
??
2
1+
??
2
?1
=
2
??
??
1+
??
2
6+2???2
??
2
?1?
??
2
1+
??
2
=2
????
?3
??
2
+6??+1
=2
Б) Які заміни чи методи використовувати
??????
3
???
??????
2
???????=
??????
2
???
??????
2
?????
(??????
??)=
1?
??????
2
??
?
??????
2
?????
????????
Ввести sinXпід знак диференціала і застосувати основну тригонометричну тотожність
????
??????
2
??+3?
??????
2
??
=
????
1+2?
??????
2
??
- застосувати універсальну підстановку
????
4
??????=
??????
4
??????
??????
4
??
; t=sinX