Тема №9: Модульовані сигнали. Спектри амплітудно-модульованих сигналів.
Нехай задано високочастотне коливання:
??
??
=??
sin
??
0
??+??
=??
sin
??
, де (1)
A – амплітуда, ?? – початкова фаза, ?? – фаза коливання в момент часу ??. Коли ??=?????????? та ??=??????????, то вираз (1) визначає гармонічне коливання, де частота
??=??
0
– так звана несуча частота.
Коли ?? та ?? зазнають примусових змін, то коливання ??
??
називають модульованим.
Процес управління одним із параметрів називають модуляцією. В залежності від того, що змінюється при модуляції – амплітуда ?? чи кут ??, розрізняють два основних види модуляції: амплітудну та кутову. Кутова модуляція буває – частотною та фазовою.
Зміна хоча б одного з параметрів – амплітуди, частоти чи фази – приводить до того, що високочастотне коливання перестане бути гармонічним та перетворюється в складне, яке складається з більшого чи меншого числа простих гармонічних коливань.
На практиці часто приходиться зустрічатися зі змішаною модуляцією, наприклад, амплітудно-фазовою чи амплітудно-частотною.
Освоєння надвисоких частот, а також розвиток імпульсної техніки сприяли створенню нових видів модуляції, а саме імпульсної модуляції. При такій модуляції сигнал що передається тим чи іншим способом змінює допоміжну імпульсну послідовність, яка, в свою чергу, модулює високочастотне коливання.
В залежності від того, який параметр змінюється при первинній модуляції – амплітуда, тривалість чи розміщення імпульсів – розрізняють амплітудно-імпульсну модуляцію (АІМ), модуляцію по тривалості, частотно-імпульсна модуляція (ЧІМ), фазо-імпульсна модуляція (ФІМ) та інші.
Амплітудно-модульовані коливання.
При амплітудній модуляції огинаюча амплітуда сигналу високочастотного коливання зміщується за законом зміни керуючого сигналу. Нехай цей сигнал представляє собою задану функцію часу ??(??).
//
Тоді амплітудно модульоване коливання, яке зображене на рис. 2 можна представити так: ??
??
=
??
0
+????(??)
sin
??
0
??+
??
0
=??
??
sin
??
0
??+
??
0
, (1.1)
де ?? – коефіцієнт пропорційності;

??
0
- початкова фаза коливання (при t=0);

??
0
– амплітуда несучого коливання (при відсутності модуляції)
Розглянемо поняття глибини модуляції:
Якщо модулююча функція ??(??) є гармонічним коливанням ??
??
=??
sin
(???+??)
, то огинаючу високочастотного коливання можна записати так:
??
??
=
??
0
+?
??
??
sin
(???+??)
, (2)
де ? – частота модулюючої функції;
?? – початкова фаза згинаючої;
?
??
??
=???? – амплітуда зміни згинаючої.
Відношення ??=
?
??
??
??
0
називається коефіцієнтом глибини модуляції чи просто коефіцієнтом модуляції. Таким чином миттєве значення модульованого коливання можна записати в формі:
??
??
=
??
0
1+??
sin
(???+??)
sin?(
??
0
??+
??
0
)
(3)
У відповідності із зміною амплітуди змінюється і середнє за період високої частоти потужність модульованого коливання. Коли ??(??) – амплітуда струму в коливному контурі, то потужність яка виділяється на опорі (середня за період частоти):
??
??
=
??
2
??
??
2
.
Цей вираз справедливий за умови, що ??
??
0
оскільки тоді в межах одного періоду
??
0
=
2??
??
0
форму струму можна рахувати синусоїдною.
Розрізняють наступні значення ??(??):
Потужність режиму несучої хвилі (при відсутності модуляції):
??
??
=
??
0
2
??
2
;
Потужність в максимальному режимі:
??
??????
=
??
??????
2
??
2
=
??
0
2
(1+??)
2
2
=
??
0
(1+??)
2
;
Потужність в мінімальному режимі:
??
??????
=
??
0
(1???)
2
;
Потужність середня за період модуляції:
??(??)
=
??
2
(??)
2
??=
??
2

??
0
2
1+??
sin
(???+??)
2
=
??
0
(1+0.5
??
2
)
Спектр амплітудно-модульованого коливання
Згідно одного з параметрів високочастотного коливання в даному випадку амплітуди, приводить до утворення нових частот. Вираз (3) можна переписати наступним чином:
??
??
=
??
0
sin
??
0
??+
??
0
+??
sin
???+??
sin
(
??
0
??+
??
0
)
,
Другий доданок в правій частоті цього виразу, є наслідком модуляції і може бути записаний так:
??
sin
???+??
sin
??
0
??+
??
0
==?
??
2
cos
??
0
+?
??+(
??
0
+??)
+
??
2
??????
??
0
??
??+(
??
0
???)
у відповідності з чим розгорнутий вираз для ??(??) прийме наступну форму:
??
??
=
??
0
sin
??
0
??+
??
0
?
??
??
0
2
??????
??
0
+?
??+
??
0
+??
+
??
??
0
2
cos
??
0
??
??+
??
0
???
Перша складова представляє собою вхідне не модульоване коливання з «несучою» частотою
??
0
. Друга та третя складові відповідають новим коливанням, які появляються в процесі модуляції амплітуди. Частоти цих коливань
??
0
+? та
??
0
?? називають «верхньою» та «нижньою» базовими частотами модуляції. Амплітуди цих коливань однакові та складають від амплітуди не модульованого коливання частину, рівну
??
2
, а їх фази симетричні відносно несучого коливання.
Приведемо спектральну діаграму коливання при тональній (гармонічній) модуляції.
/
Ширина спектру в цьому випадку рівна подвоєній частоті модуляції 2?, а амплітуди коливання бокових частот не можуть перевищувати половини амплітуди не модульованого коливання.
Отримані результати не важко розповсюдити на випадок модуляції будь-яким складним сигналом.

Розглянемо такий випадок:
Нехай модулююче коливання ??(??) рівне:
??
??
=
??
1
sin
?
1
??
+
??
2
??????
?
2
??
Тоді по аналогії з виразом (2) отримаємо
??
??
=
??
0
+?
??
??1
sin
?
1
??
+?
??
??2
sin
?
2
??
=
??
0
1+
??
1
??????
?
1
??+
??
2
??????
?
2
??
Підставляючи цей вираз у (1.1) та провівши певні тригонометричні перетворення, отримаємо:
??
??
=??
??
=
??
0
sin
??
0
???
??
1
??
0
2
cos
??
0
+
?
1
??+
??
1
??
0
2
cos
??
0
?
?
1
???
??
2
??
0
2
cos
??
0
+
?
2
??+
??
2
??
0
2
cos
??
0
?
?
2
??
(Початкові фази несучого коливання
??
0
та модулюючих коливань з частотами
?
1
та
?
2
для спрощення опущені).
Ми бачимо, що кожна з частот
?
1
та
?
2
утворюють свою гармонічну модуляцію, яка супроводжує виникнення пари бокових частот.
Побудову амплітудного спектру модульованого коливання по заданому спектру сигналу ??
??
показано на рис.
//
а) Дискретний спектр керуючого сигналу, ??
??
;
б) спектр сигналу, який отримується при представленні кожного компонента ??
??
у вигляді суми коливань з додатніми та від’ємними частотами;
в) Спектр модульованого сигналу ??
??
.