Тема №9: Модульовані сигнали. Спектри амплітудно-модульованих сигналів. Нехай задано високочастотне коливання: ?? ?? =?? sin ?? 0 ??+?? =?? sin ?? , де (1) A – амплітуда, ?? – початкова фаза, ?? – фаза коливання в момент часу ??. Коли ??=?????????? та ??=??????????, то вираз (1) визначає гармонічне коливання, де частота ??=?? 0 – так звана несуча частота. Коли ?? та ?? зазнають примусових змін, то коливання ?? ?? називають модульованим. Процес управління одним із параметрів називають модуляцією. В залежності від того, що змінюється при модуляції – амплітуда ?? чи кут ??, розрізняють два основних види модуляції: амплітудну та кутову. Кутова модуляція буває – частотною та фазовою. Зміна хоча б одного з параметрів – амплітуди, частоти чи фази – приводить до того, що високочастотне коливання перестане бути гармонічним та перетворюється в складне, яке складається з більшого чи меншого числа простих гармонічних коливань. На практиці часто приходиться зустрічатися зі змішаною модуляцією, наприклад, амплітудно-фазовою чи амплітудно-частотною. Освоєння надвисоких частот, а також розвиток імпульсної техніки сприяли створенню нових видів модуляції, а саме імпульсної модуляції. При такій модуляції сигнал що передається тим чи іншим способом змінює допоміжну імпульсну послідовність, яка, в свою чергу, модулює високочастотне коливання. В залежності від того, який параметр змінюється при первинній модуляції – амплітуда, тривалість чи розміщення імпульсів – розрізняють амплітудно-імпульсну модуляцію (АІМ), модуляцію по тривалості, частотно-імпульсна модуляція (ЧІМ), фазо-імпульсна модуляція (ФІМ) та інші. Амплітудно-модульовані коливання. При амплітудній модуляції огинаюча амплітуда сигналу високочастотного коливання зміщується за законом зміни керуючого сигналу. Нехай цей сигнал представляє собою задану функцію часу ??(??). // Тоді амплітудно модульоване коливання, яке зображене на рис. 2 можна представити так: ?? ?? = ?? 0 +????(??) sin ?? 0 ??+ ?? 0 =?? ?? sin ?? 0 ??+ ?? 0 , (1.1) де ?? – коефіцієнт пропорційності;
?? 0 - початкова фаза коливання (при t=0);
?? 0 – амплітуда несучого коливання (при відсутності модуляції) Розглянемо поняття глибини модуляції: Якщо модулююча функція ??(??) є гармонічним коливанням ?? ?? =?? sin (???+??) , то огинаючу високочастотного коливання можна записати так: ?? ?? = ?? 0 +? ?? ?? sin (???+??) , (2) де ? – частота модулюючої функції; ?? – початкова фаза згинаючої; ? ?? ?? =???? – амплітуда зміни згинаючої. Відношення ??= ? ?? ?? ?? 0 називається коефіцієнтом глибини модуляції чи просто коефіцієнтом модуляції. Таким чином миттєве значення модульованого коливання можна записати в формі: ?? ?? = ?? 0 1+?? sin (???+??) sin?( ?? 0 ??+ ?? 0 ) (3) У відповідності із зміною амплітуди змінюється і середнє за період високої частоти потужність модульованого коливання. Коли ??(??) – амплітуда струму в коливному контурі, то потужність яка виділяється на опорі (середня за період частоти): ?? ?? = ?? 2 ?? ?? 2 . Цей вираз справедливий за умови, що ?? ?? 0 оскільки тоді в межах одного періоду ?? 0 = 2?? ?? 0 форму струму можна рахувати синусоїдною. Розрізняють наступні значення ??(??): Потужність режиму несучої хвилі (при відсутності модуляції): ?? ?? = ?? 0 2 ?? 2 ; Потужність в максимальному режимі: ?? ?????? = ?? ?????? 2 ?? 2 = ?? 0 2 (1+??) 2 2 = ?? 0 (1+??) 2 ; Потужність в мінімальному режимі: ?? ?????? = ?? 0 (1???) 2 ; Потужність середня за період модуляції: ??(??) = ?? 2 (??) 2 ??= ?? 2
?? 0 2 1+?? sin (???+??) 2 = ?? 0 (1+0.5 ?? 2 ) Спектр амплітудно-модульованого коливання Згідно одного з параметрів високочастотного коливання в даному випадку амплітуди, приводить до утворення нових частот. Вираз (3) можна переписати наступним чином: ?? ?? = ?? 0 sin ?? 0 ??+ ?? 0 +?? sin ???+?? sin ( ?? 0 ??+ ?? 0 ) , Другий доданок в правій частоті цього виразу, є наслідком модуляції і може бути записаний так: ?? sin ???+?? sin ?? 0 ??+ ?? 0 ==? ?? 2 cos ?? 0 +? ??+( ?? 0 +??) + ?? 2 ?????? ?? 0 ?? ??+( ?? 0 ???) у відповідності з чим розгорнутий вираз для ??(??) прийме наступну форму: ?? ?? = ?? 0 sin ?? 0 ??+ ?? 0 ? ?? ?? 0 2 ?????? ?? 0 +? ??+ ?? 0 +?? + ?? ?? 0 2 cos ?? 0 ?? ??+ ?? 0 ??? Перша складова представляє собою вхідне не модульоване коливання з «несучою» частотою ?? 0 . Друга та третя складові відповідають новим коливанням, які появляються в процесі модуляції амплітуди. Частоти цих коливань ?? 0 +? та ?? 0 ?? називають «верхньою» та «нижньою» базовими частотами модуляції. Амплітуди цих коливань однакові та складають від амплітуди не модульованого коливання частину, рівну ?? 2 , а їх фази симетричні відносно несучого коливання. Приведемо спектральну діаграму коливання при тональній (гармонічній) модуляції. / Ширина спектру в цьому випадку рівна подвоєній частоті модуляції 2?, а амплітуди коливання бокових частот не можуть перевищувати половини амплітуди не модульованого коливання. Отримані результати не важко розповсюдити на випадок модуляції будь-яким складним сигналом.
Розглянемо такий випадок: Нехай модулююче коливання ??(??) рівне: ?? ?? = ?? 1 sin ? 1 ?? + ?? 2 ?????? ? 2 ?? Тоді по аналогії з виразом (2) отримаємо ?? ?? = ?? 0 +? ?? ??1 sin ? 1 ?? +? ?? ??2 sin ? 2 ?? = ?? 0 1+ ?? 1 ?????? ? 1 ??+ ?? 2 ?????? ? 2 ?? Підставляючи цей вираз у (1.1) та провівши певні тригонометричні перетворення, отримаємо: ?? ?? =?? ?? = ?? 0 sin ?? 0 ??? ?? 1 ?? 0 2 cos ?? 0 + ? 1 ??+ ?? 1 ?? 0 2 cos ?? 0 ? ? 1 ??? ?? 2 ?? 0 2 cos ?? 0 + ? 2 ??+ ?? 2 ?? 0 2 cos ?? 0 ? ? 2 ?? (Початкові фази несучого коливання ?? 0 та модулюючих коливань з частотами ? 1 та ? 2 для спрощення опущені). Ми бачимо, що кожна з частот ? 1 та ? 2 утворюють свою гармонічну модуляцію, яка супроводжує виникнення пари бокових частот. Побудову амплітудного спектру модульованого коливання по заданому спектру сигналу ?? ?? показано на рис. // а) Дискретний спектр керуючого сигналу, ?? ?? ; б) спектр сигналу, який отримується при представленні кожного компонента ?? ?? у вигляді суми коливань з додатніми та від’ємними частотами; в) Спектр модульованого сигналу ?? ?? .