Тема 11: Імпульсна модуляція. Особливості сигналів з ІМ.
Спектри ІМ сигналів.
В радіотехніці широке застосування отримали різні види імпульсної модуляції, при якій управляючий сигнал накладається на допоміжну імпульсну послідовність.
Важливе питання при імпульсній модуляції полягає у виборі частоти імпульсів, так званій «тактовій частоті».
Для покращення використання радіоліній вигідно збільшувати інтервали між імпульсами, тобто знижувати тактову частоту
?
1
. Але зменшення тактової частоти нижче певного мінімального рівня, який залежить від спектру повідомлення, що передається, є недопустимо, оскільки може призвести до втрати інформації. Саме тут і застосовується теорема Котельнікова чи як її ще називають теорема відліків.
Коли найбільша частота повідомлення рівна
?
??
=2 ??
??
??
, то інтервали між імпульсами не повинні перевищувати ???=
1
2
??
??
, тобто тактова частота
?
1
повинна відповідати умові:
?
1
>
2??
???
=2?? 2
??
??
=2
?
??
(1)
Нехай маємо деяку послідовність імпульсів, при цьому умова (1) виконується.
/
Позначаючи функцію, яка визначає окремий імпульс через f(t), періодичну послідовність можна передавати аналітично у вигляді наступного виразу:
??
??
=
??=??
?
??(???
??
??
)
,
Де
??
??
=??
??
1
+
??
0
, де K-ціле число.
Коли в результаті дії керуючого сигналу імпульси змінюються по висоті, зберігаючи при цьому незмінними свою форму, тривалість та положення в часі, то така модуляція називається амплітудно-імпульсною модуляцією, або скорочено АІМ.
/
Імпульсна послідовність, промодульована за амплітудою синусоїдним сигналом представлена на рисунку. Аналітично ця послідовність може бути представлена рівнянням
??
??
??
=[1+
??
??
sin?(?t+j)]
??=??
?
??
???
??
??
=[1+
??
??
sin?(?t+j)]??(??)
(3)
де ? – частота модуляції;
?? – початкова фаза управляючого сигналу
??
??
- коефіцієнт (глибина) модуляції сигналу імпульсів, а функція S(t) визначається виразом (2).
Знайдемо спектр модульованої послідовності
??
??
(??) (див. рис.), коли відомий спектр не модульованої послідовності з виразом (3) кожному компоненту спектра функції S(t) потрібно домножити на 1+
??
??
sin
(???+??)
Тоді постійна складова функції S(t), яку можна позначити через
??
0
, дасть добуток
[1+
??
??
sin
?t+j
??
0
=
??
0
+
??
??
??
0
sin?(?t+j)

Перша гармоніка функції S(t) дасть добуток виду:
[1+
??
??
sin
(???+??)]
??
1
sin?(
?
1
??+
??
1
)==
??
1
sin?(
?
1
??+??)?
??
??
??
1
2
cos?[
?
1
+?
??+
??
1
+??]+
??
??
??
1
2
cos?[
?
1
??
??+
??
1
???]
Друга гармоніка функції S(t) дасть добуток виду :
[1+
??
??
sin
(???+??)]
??
2
sin?(2
?
1
??+
??
2
)==
??
2
sin?(2
?
1
??+
??
2
)?
??
??
??
2
2
cos?[
2
?
1
+?
??+
??
2
+??]+
??
??
??
2
2
cos?[
2
?
1
??
??+
??
2
???] і т. д.
Тобто при АІМ до спектра вихідної не модульованої послідовності добавляється компонента з частотою ? та амплітудного
??
??
??
0
та «бокові частоти» ??
?
1
±? з амплітудами
1
2
??
??
??
??
, які розміщуються симетрично відносно частот
?
??
, тобто гармонік функції S(t). Отриманий в результаті спектр функції представлений на рис.
/
Пунктирними лініями показані амплітуди додаткових частот, які виникають в результаті модуляції. Аналогічно будують спектр і для більш складної зміни, огинаючої імпульсів.
Розглянемо тепер часову імпульсну модуляцію, при якій також імпульси, зберігаючи свою форму та величину, зміщуються в часі на величину ???, яка певним чином зв’язана з напругою модульованого сигналу (чи повідомлення). Приблизний вигляд модульованої послідовності при синусоїдальній модуляції показаний на рис.
/
Коли амплітуда часового зсуву ??? не залежить від частоти ? та визначається виключно амплітудою модулюючого сигналу, то часова модуляція може розглядатися як фазо-імпульсна модуляція (ФІМ). В цьому випадку величину часового зсуву K-го імпульсу (при синусоїдально модулюючому сигналі) можна визначити виразом:
?
??
??
=?
??
??
sin
(?
??
??
+??)
(4)
?
??
??
– максимальне значення відхилення по часу;
а величина фазового зсуву виразом:
??=
?
1
?
??
??
=
?
1
?
??
??
sin
?
??
??
+??
=
??
??
sin
(?
??
??
+??)
(5)
Тут через
??
??
=
?
1
?
??
??
позначено амплітуду зміщення фази. Припустимо, що модуляція полягає у зміні частоти слідування імпульсів, причому амплітуда частотного відхилення ?
?
??
пропорційне амплітуді сигналу та не залежить від частоти модуляції
?
?
1
=?
?
??
cos
(?
??
??
+??)
Таку різновидність часової модуляції можна розглядати як частотно-імпульсну модуляцію (ЧІМ).
Як і у випадку неперервного коливання, можна встановити зв’язок між модуляцією фази та модуляцією частоти в спектрі імпульсної послідовності.
Очевидно, що модуляція фази імпульсів по закону:
??
??
=
??
??
sin?(???+??) (6)
Еквівалентна зміні миттєвої частоти слідування по закону:
?
?
1
??
=
????
????
=
??
??
?
cos
???+??
=?
?
??
cos
???+??
=?
?
??
cos
(???+??)
(7)
де позначено ?
?
??
=
??
??
?
І навпаки, модуляція частоти слідування імпульсів по закону:
?
?
1
??
=?
?
??
cos
(???+??)

Еквівалентна зміні фази по закону
??=
0
??
?
?
1
??
????=
0
??
?
?
??
cos
???+??
????=
?
?
??
?
sin
???+??
+??

Звідки часовий зсув з врахуванням виразу (6) визначається виразом:
???=
???
??
0
?
1
=
?
?
??
??
?
1
sin?(???+??) де
?
??
??
=
1
?
1
?
?
??
?

Таким чином при модуляції смугою частот величина ?
??
??
не залежить від ? при ФІМ і обернено пропорційна ? при ЧІМ.
Окрім перекислених видів модуляції значний практичний інтерес представляє модуляція « по тривалості» (ДІМ). При цьому переважно мається на увазі імпульси прямокутної форми.
/
/
На рис. а) представлена імпульсна послідовність при односторонній модуляції по тривалості, коли один із фронтів імпульсу, в даному випадку задній, переміщується на величину ?
??
??
, яка пропорційна модульованій напрузі, а другий фронт зберігає своє фіксоване положення.