Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут” КАФЕДРА ЕЛЕКТРОННИХ ПРИЛАДІВ ТА ПРИСТРОЇВ Реферат з обчислювальної математики на тему : Обращение матрицы с помощью расширенной матрицы Перевірив:
Обращение матрицы с помощью расширенной матрицы Процедура обращает квадратную матрицу M размером n*n с помощью элементарных операций, которые приводят матрицу M к единичной. Обозначим расширенную матрицу A: / К числу элементарных операций относятся: Перестановка двух столбцов (строк) матрицы. Умножение строки (столбца) на k не равное 0. Сложение двух строк (столбцов). Поскольку если матрица вырожденна, то у нее не существует обратной в алгоритме вводится дополнительная переменная S, по значению которой можно определить вырождена матрица (S=1) или нет (S=0). Блок-Схема рис.1
Алгоритм нахождения обратной матрицы представлен в виде блок-схемы на рис. 1. Блоки 2–5 отражают формирование столбца единичной матрицы. Если условие 3 выполняется и элемент находится на главной диагонали, то он равен единице, все остальные элементы нулевые. В блоке 6 происходит вызов подпрограммы для решения системы уравнений методом Гаусса. В качестве параметров в эту подпрограмму передается исходная матрица А, сформированный в пунктах 2–5 вектор свободных коэффициентов В, размерность системы n. Вектор X будет решением i-ой системы уравнений и, следовательно, i-ым столбцом искомой матрицы Y. Обращение матрицы методом Гаусса. Процедура находит, обратную квадратной матрице A размером n*n, по методу Гаусса. Для несобственной матрицы A=(ai j) находится матрица A -1=(xi j) , такая, что A A -1=E, где E- единичная матрица. Уравнение представляет собой n систем n линейных уравнений для n2 неизвестных xi j. Каждая из систем имеет одну и ту же основную матрицу A и различные свободные члены. Все системы решаются одновременно методом Гаусса (см. метод Гаусса). В процедуре введена переменная S, если матрица близка к вырожденной, то S=1 и обратная матрица не вычисляется, иначе S=0. Пример Исходная матрица А.
A = /
3
- 1
0
/
- 2
1
1
2
- 1
4
Найдем матрицу А-1 обратную к матрице А.
Для этого напишем расширенную матрицу , в левой части которой находится наша исходная матрица А, а в правой единичная.
Применяя метод Гаусса, последовательно будем приводить нашу исходную матрицу (левую часть расширенной матрицы) к единичной матрице. Причем совершенные преобразование мы будем применять ко всей расширенной матрице.
Приведя левую часть расширенной матрицы к единичной, правая часть будет являться обратной матрицей к нашей исходной.
Последовательность приведения левой части расширенной матрицы к единичной, Вы можете проследить по выделенным серыми прямоугольниками элементам.
/
3
- 1
0
/
1
0
0
/
- 2
1
1
0
1
0
2
- 1
4
0
0
1
? Рассмотрим столбец 1.
Постараемся выполнять преобразования матрицы в целых числах. Поступим следующим образом:
К элементам строки 1 прибавим соответствующие элементы строки 2.
/
1
0
1
/
1
1
0
/
- 2
1
1
0
1
0
2
- 1
4
0
0
1
К элементам стороки 2 прибавим соответствующие элементы строки 1 умноженные на 2.
/
1
0
1
/
1
1
0
/
0
1
3
2
3
0
2
- 1
4
0
0
1
К элементам стороки 3 прибавим соответствующие элементы строки 1 умноженные на -2.
/
1
0
1
/
1
1
0
/
0
1
3
2
3
0
0
- 1
2
- 2
- 2
1
? Рассмотрим столбец 2.
Поменяем местами строки 2 и 3 .
/
1
0
1
/
1
1
0
/
0
- 1
2
- 2
- 2
1
0
1
3
2
3
0
К элементам строки 3 прибавим соответствующие элементы строки 2.
/
1
0
1
/
1
1
0
/
0
- 1
2
- 2
- 2
1
0
0
5
0
1
1
? Рассмотрим столбец 3.
К элементам стороки 1 прибавим соответствующие элементы строки 3 умноженные на -1/5.
/
1
0
0
/
1
4
5
- 1
5
/
0
- 1
2
- 2
- 2
1
0
0
5
0
1
1
К элементам стороки 2 прибавим соответствующие элементы строки 3 умноженные на -2/5.
/
1
0
0
/
1
4
5
- 1
5
/
0
- 1
0
- 2
- 12
5
3
5
0
0
5
0
1
1
Элементы строки 2 разделим на -1 .
/
1
0
0
/
1
4
5
- 1
5
/
0
1
0
2
12
5
- 3
5
0
0
5
0
1
1
Элементы строки 3 разделим на 5 .
/
1
0
0
/
1
4
5
- 1
5
/
0
1
0
2
12
5
- 3
5
0
0
1
0
1
5
1
5
Ответ :
A-1 = /
1
4
5
- 1
5
/
2
12
5
- 3
5
0
1
5
1
5
Пример в маткад / / Вывод Сравнив все методы я понял, что метод Гаусса наиболее прост в его использовании и он широко применяется по сравнении с другими методами. Источники: http://www.reshmat.ru http://ftp.forsys.ru