Національний технічний університет України
“Київський політехнічний інститут”
КАФЕДРА ЕЛЕКТРОННИХ ПРИЛАДІВ ТА ПРИСТРОЇВ
Реферат
з обчислювальної математики на тему :
Обращение матрицы с помощью расширенной матрицы
Перевірив:

Обращение матрицы с помощью расширенной матрицы
Процедура обращает квадратную матрицу M размером n*n с помощью элементарных операций, которые приводят матрицу M к единичной. Обозначим расширенную матрицу A:
/
К числу элементарных операций относятся:
Перестановка двух столбцов (строк) матрицы.
Умножение строки (столбца) на k не равное 0.
Сложение двух строк (столбцов).
Поскольку если матрица вырожденна, то у нее не существует обратной в алгоритме вводится дополнительная переменная S, по значению которой можно определить вырождена матрица (S=1) или нет (S=0).
Блок-Схема
рис.1

Алгоритм нахождения обратной матрицы представлен в виде блок-схемы на
рис. 1. Блоки 2–5 отражают формирование столбца единичной матрицы. Если
условие 3 выполняется и элемент находится на главной диагонали, то он равен
единице, все остальные элементы нулевые. В блоке 6 происходит вызов
подпрограммы для решения системы уравнений методом Гаусса. В качестве
параметров в эту подпрограмму передается исходная матрица А,
сформированный в пунктах 2–5 вектор свободных коэффициентов В, размерность системы n. Вектор X будет решением i-ой системы уравнений и, следовательно, i-ым столбцом искомой матрицы Y.
Обращение матрицы методом Гаусса.
Процедура находит, обратную квадратной матрице A размером n*n, по методу Гаусса. Для несобственной матрицы A=(ai j) находится матрица A -1=(xi j) , такая, что
A A -1=E,
где E- единичная матрица.
Уравнение представляет собой n систем n линейных уравнений для n2 неизвестных xi j. Каждая из систем имеет одну и ту же основную матрицу A и различные свободные члены. Все системы решаются одновременно методом Гаусса (см. метод Гаусса).
В процедуре введена переменная S, если матрица близка к вырожденной, то S=1 и обратная матрица не вычисляется, иначе S=0.
Пример
Исходная матрица А.

A =
/

3



-
1




0



/




-
2




1




1









2



-
1




4







Найдем матрицу А-1 обратную к матрице А.

Для этого напишем расширенную матрицу , в левой части которой находится наша исходная матрица А, а в правой единичная.

Применяя метод Гаусса, последовательно будем приводить нашу исходную матрицу (левую часть расширенной матрицы) к единичной матрице. Причем совершенные преобразование мы будем применять ко всей расширенной матрице.

Приведя левую часть расширенной матрицы к единичной, правая часть будет являться обратной матрицей к нашей исходной.

Последовательность приведения левой части расширенной матрицы к единичной, Вы можете проследить по выделенным серыми прямоугольниками элементам.


/

3



-
1




0



/

1




0




0



/


-
2




1




1





0




1




0







2



-
1




4





0




0




1






? Рассмотрим столбец 1.

Постараемся выполнять преобразования матрицы в целых числах. Поступим следующим образом:

К элементам строки 1 прибавим соответствующие элементы строки 2.

/

1




0




1



/

1




1




0



/


-
2




1




1





0




1




0







2



-
1




4





0




0




1






К элементам стороки 2 прибавим соответствующие элементы строки 1 умноженные на 2.

/

1




0




1



/

1




1




0



/



0




1




3





2




3




0







2



-
1




4





0




0




1






К элементам стороки 3 прибавим соответствующие элементы строки 1 умноженные на -2.

/

1




0




1



/

1




1




0



/



0




1




3





2




3




0







0



-
1




2




-
2



-
2




1






? Рассмотрим столбец 2.

Поменяем местами строки   2   и   3 .

/

1




0




1



/

1




1




0



/



0



-
1




2




-
2



-
2




1







0




1




3





2




3




0






К элементам строки 3 прибавим соответствующие элементы строки 2.

/

1




0




1



/

1




1




0



/



0



-
1




2




-
2



-
2




1







0




0




5





0




1




1






? Рассмотрим столбец 3.

К элементам стороки 1 прибавим соответствующие элементы строки 3 умноженные на -1/5.

/

1




0




0



/

1




4







5



-
1







5



/



0



-
1




2




-
2



-
2




1







0




0




5





0




1




1






К элементам стороки 2 прибавим соответствующие элементы строки 3 умноженные на -2/5.

/

1




0




0



/

1




4







5



-
1







5



/



0



-
1




0




-
2



-
12







5




3







5







0




0




5





0




1




1






Элементы строки 2 разделим на    -1 .

/

1




0




0



/

1




4







5



-
1







5



/



0




1




0





2




12







5



-
3







5







0




0




5





0




1




1






Элементы строки 3 разделим на    5 .

/

1




0




0



/

1




4







5



-
1







5



/



0




1




0





2




12







5



-
3







5







0




0




1





0




1







5




1







5






Ответ :

A-1 =
/

1




4







5



-
1







5



/





2




12







5



-
3







5









0




1







5




1







5






Пример в маткад
/
/
Вывод
Сравнив все методы я понял, что метод Гаусса наиболее прост в его использовании и он широко применяется по сравнении с другими методами.
Источники:
http://www.reshmat.ru
http://ftp.forsys.ru