32.ряди з додатніми членами. Ознаки порівняння.
Ряд
??=1
~
аn
де an>0, називається рядом з додатніми членами.
Ознаки збіжності рядів з додатніми членами:
Порівняльна ознака
Якщо 0?an?bn? Для всіх n>n, то із збіжності ряду
??=1
~
??n
випливає збіжність ряду
??=1
~
аn
, а із розбіжності ряду
??=1
~
аn
, розбіжність ряду
??=1
~
bn
.
2)гранична порівняльна ознака
Якщо
??????
??>?
????
????
=A, де A?0 – число, то із збіжності(розбіжності) ряду
??=1
~
аn
випливає збіжність(розбіжність) ряду
??=1
~
??n
3)ознака Д’аламбера
Якщо
lim
??>?
а??+1
????
=A, де А –число, то
Для А<1,
??=1
~
аn
-збіжний
для A>1- розбіжний
для A=1- ознака відповіді не дає
4)інтегральна ознака Коші-Макнорена
Якщо функція f(x), для x?1 неперервна,додатна,монотонно спадна, то ряд
??=1
~
аn
,де аn=f(n) збігається або розбігається залежно від того, залежно від того, збігається чи розбігається невласний інтеграл
1
?
??
??
????
Порівняти ряд
??=1
~
??+1

n
2
з гармонічним
??=1
~
1
n
Гранична ознака порівняння
lim
??>?
1
??

??+1
??
2
=
lim
??>?
??
2
??
2
+??
=1?0
Отже,оскільки гармонічний ряд розбіжний,то й ряд
??=1
~
??+1

n
2
тоеж розбіжний
33.Ознака Даламбера , радикальна коли (див. завд. № 32 пит.3 та 4)
Ознака Коші: ?
? an
n = 1
якщо lim vаn = A, де А – число, то
n > ?
для А ‹ 1 ряд збіжний
для А › 1 ряд розбіжний
для А = 1 ознака відповіда не дає
Чи працює ознака Даламбера при досліджені ряду : ?
? 1/n
n = 1
Ознака непрацює оскільки lim 1/n+1 / 1/n = lim n/n+1=1
n > 1 n > ?

34.Інтегральна озн. Коші (див. завд № 32 прик. 4)
А) чи можна застосувати інтегральну ознаку для ряду : ?
? ln n
n = 1
? n n
? lns dx=lim ? lns dx=¦u =ln dv=dx¦ = lim(x ln x ) ¦ - ? dx = lim (n ln n – n) = ?
1 n>? 1 ¦du= dx/x v=x ¦ n>? 1 n>?
Ряд розбіжний
Б) чи збігається ряд : / Ряд /
Дослідимо/
Ряд збіжний
35. знакопочережні ряди.Ознака Лєйбніца.
Знакозмінними називають ряд що містить і додатні і відємні члени
Якщо у знакозмінному ряді знаки чергуються то такий ряд називають знакопочережним, або рядом типу Лєйбніца.Для таких рядів справедлива теорема .
Теорема Лєйбніца: Ряд збігається якщо виконуються умови
А)lim an=0
Б)починаються з деякою N для всіх n › N маємо ¦an¦›¦ an+1¦
Із заданих рядів вибрати знаконочережні
?
? -1/n²+1
n = 1
?
? (-1)?/n²+1 – знаконочережний ряд
n = 1
36.Знаконозмінні ряди – ряди які містять як додатні так і відємні члени.
Ряд ?
? аn
n=1
з довільним чергуванням знаків його членів називають абсолютно збіжним, якщо збігається ряд ?
? ¦аn ¦.
n=1
Збіжний ряд ?
? аn називають умовно збіжним, якщо ряд ?
n=1 ?¦аn¦ розбігається
n=1
Ознака Веєрштраса: функціональний ряд ряд ?
? un(x)
n=1
збігається на множені х рівномірно і абсолютно якщо ¦un(x)¦‹ an для всіх х є х і числовий ряд ?
? аn
n=1 збігається
Озню Даламбера див.завд.№32 пит. 3
Озн. Коші див. завд. № 33
Завдання 37
Функціональні ряди. Озн. областей збіжності
Функціональним рядом називають ряд
??=1
?
??n(x)
,де un(x) – функції визначені на деякому проміжку.
Ряд
??>1
?
??n(x)
називається збіжним у точці хо , якщо збігається числовий ряд
??>1
?
??n(x0)
.
Степеневі ряди:
Функціональний ряд вигляду
ax+a1x+a2x2+…+anxn+…+
??>0
?
??????^??
,
де aі-дійсні числа називають степеневим рядом
Область збіжності степеневого ряду як і довільного функціонального, можна знаходити користуючись достатніми умовами збіжності знакододатних числових рядів.
Число R?0 називають радіусом збіжності,якщо для |х|>R ряд збігається, а для |х|<R розбігається.
Інтервал( -R;R) називається інтервалом збіжності степеневого ряду.
Теорема Абеля:
Якщо ряд
??>0
?
??????^??
= ax+a1x+a2x2+a3x3+… збігається для х=х1, то він абсолютно збігається для |х|<|x1| якщо ряд розбігається для х=х2 то він розбігається для х|<|x2|.
а). Із заданих рядів вибрати степеневий
??>1
?
1
?????(??+??)

??>1
?
(???1)^??
??^2?+1
– степеневий
б).Проінтнгрувати почленно ряд
S(x)=
??>1
?
??^??
2??+1
нв відрізку [0,1]
Теорема: якщо степеневий ряд має радіус збіжності R( суму S(х))то ряд отриманий його почленним диференціюванням, має той же радіус зб R і сума його похідна від ф-ції S(х).
Теорема: Ряд отриманий в результаті почленного інтегрування ряду в межах від 0 до х має такий же радіус збіжності і його сума рівна інтегралу S(x) dlx
n>1
?
x^n
2n+1
=
x
3
+
x^2
5
+
x^3
7
+…
0
1
x
n
2n+1
=
(
x
3
+
x^2
5
+
x^3
7
+…)|01=
1
6
+
1
15
+
1
28
Завдання 38
Розклад функції в ряд Тейлора і Маклорена
Нехай f(x) є нескінченно диференційованою функцією в околі точки х0.
Рядом Тейлора функції f(x) називається ряд вигляду
f(x)=
??=1
?
1
??!
f(n)(x0)(x-x0)n= f(x0)+ f `(x0) (x-x0)+1/2*fn(x0) (x-x0)2+…
Для x0= 0 ряд Тейлора називають рядом Маклорена
Теорема: Якщо ф-цію f(x) в інтервалі (x0-R, x0+R) тобто щоб справджувалась рівність
f(x)=
??=1
?
f^(n)(x0)
??!
(x-x0)n необхідно й достатньо щоб ф-ція f(x) мала в цьому інтервалі похідні всіх порядків і залишковий член її ряду Тейлора прямував до нуля при n>? для всіх х з даного інтервалу.
? Знайти перші 3 члени розкладу в ряд Маклорена ф-ції f(x)=3x
Розв.
f `(x)= 3xln3
f```(x)= 3xln2 3
f `` `(x)= 3xln3 3
3x=31+x ln3+1/2(x2 ln2 3)+1/6(x3 ln3 3)+…
Завдання 39
Ряди Маклорена для функцій
ex=1+
??
1!
+
??^2
2!
+
??^3
3!
+… (R=?)
sinx=
??
1!
-
??^3
3!
+
??^5
5!
?
??^7
7!
+… (R=?)
cosx= ex=1 -
??^2
2!
+
??^4
4!
-
??^6
6!
+… (R=?)
ln(1+x)=
??
1
-
??^2
2
+
??^3
3
- … (R=1)
(1+x)?=1+?x+
??(???1)
1?2
x2+
??
???1
(???2)
1?2?3
x3+… (R=1)
Arctgx= x -
??^3
3
+
??^5
5
?
??^7
7
+… (R=1)
Використовуючи попередні ряди розкласти в ряд Маклорена ф-цію:
e2x^2=1+
2??^2
1!
+
4??^4
2!
+
8??^6
3!
+…