32.ряди з додатніми членами. Ознаки порівняння. Ряд ??=1 ~ аn де an>0, називається рядом з додатніми членами. Ознаки збіжності рядів з додатніми членами: Порівняльна ознака Якщо 0?an?bn? Для всіх n>n, то із збіжності ряду ??=1 ~ ??n випливає збіжність ряду ??=1 ~ аn , а із розбіжності ряду ??=1 ~ аn , розбіжність ряду ??=1 ~ bn . 2)гранична порівняльна ознака Якщо ?????? ??>? ???? ???? =A, де A?0 – число, то із збіжності(розбіжності) ряду ??=1 ~ аn випливає збіжність(розбіжність) ряду ??=1 ~ ??n 3)ознака Д’аламбера Якщо lim ??>? а??+1 ???? =A, де А –число, то Для А<1, ??=1 ~ аn -збіжний для A>1- розбіжний для A=1- ознака відповіді не дає 4)інтегральна ознака Коші-Макнорена Якщо функція f(x), для x?1 неперервна,додатна,монотонно спадна, то ряд ??=1 ~ аn ,де аn=f(n) збігається або розбігається залежно від того, залежно від того, збігається чи розбігається невласний інтеграл 1 ? ?? ?? ???? Порівняти ряд ??=1 ~ ??+1
n 2 з гармонічним ??=1 ~ 1 n Гранична ознака порівняння lim ??>? 1 ??
??+1 ?? 2 = lim ??>? ?? 2 ?? 2 +?? =1?0 Отже,оскільки гармонічний ряд розбіжний,то й ряд ??=1 ~ ??+1
n 2 тоеж розбіжний 33.Ознака Даламбера , радикальна коли (див. завд. № 32 пит.3 та 4) Ознака Коші: ? ? an n = 1 якщо lim vаn = A, де А – число, то n > ? для А ‹ 1 ряд збіжний для А › 1 ряд розбіжний для А = 1 ознака відповіда не дає Чи працює ознака Даламбера при досліджені ряду : ? ? 1/n n = 1 Ознака непрацює оскільки lim 1/n+1 / 1/n = lim n/n+1=1 n > 1 n > ?
34.Інтегральна озн. Коші (див. завд № 32 прик. 4) А) чи можна застосувати інтегральну ознаку для ряду : ? ? ln n n = 1 ? n n ? lns dx=lim ? lns dx=¦u =ln dv=dx¦ = lim(x ln x ) ¦ - ? dx = lim (n ln n – n) = ? 1 n>? 1 ¦du= dx/x v=x ¦ n>? 1 n>? Ряд розбіжний Б) чи збігається ряд : / Ряд / Дослідимо/ Ряд збіжний 35. знакопочережні ряди.Ознака Лєйбніца. Знакозмінними називають ряд що містить і додатні і відємні члени Якщо у знакозмінному ряді знаки чергуються то такий ряд називають знакопочережним, або рядом типу Лєйбніца.Для таких рядів справедлива теорема . Теорема Лєйбніца: Ряд збігається якщо виконуються умови А)lim an=0 Б)починаються з деякою N для всіх n › N маємо ¦an¦›¦ an+1¦ Із заданих рядів вибрати знаконочережні ? ? -1/n²+1 n = 1 ? ? (-1)?/n²+1 – знаконочережний ряд n = 1 36.Знаконозмінні ряди – ряди які містять як додатні так і відємні члени. Ряд ? ? аn n=1 з довільним чергуванням знаків його членів називають абсолютно збіжним, якщо збігається ряд ? ? ¦аn ¦. n=1 Збіжний ряд ? ? аn називають умовно збіжним, якщо ряд ? n=1 ?¦аn¦ розбігається n=1 Ознака Веєрштраса: функціональний ряд ряд ? ? un(x) n=1 збігається на множені х рівномірно і абсолютно якщо ¦un(x)¦‹ an для всіх х є х і числовий ряд ? ? аn n=1 збігається Озню Даламбера див.завд.№32 пит. 3 Озн. Коші див. завд. № 33 Завдання 37 Функціональні ряди. Озн. областей збіжності Функціональним рядом називають ряд ??=1 ? ??n(x) ,де un(x) – функції визначені на деякому проміжку. Ряд ??>1 ? ??n(x) називається збіжним у точці хо , якщо збігається числовий ряд ??>1 ? ??n(x0) . Степеневі ряди: Функціональний ряд вигляду ax+a1x+a2x2+…+anxn+…+ ??>0 ? ??????^?? , де aі-дійсні числа називають степеневим рядом Область збіжності степеневого ряду як і довільного функціонального, можна знаходити користуючись достатніми умовами збіжності знакододатних числових рядів. Число R?0 називають радіусом збіжності,якщо для |х|>R ряд збігається, а для |х|<R розбігається. Інтервал( -R;R) називається інтервалом збіжності степеневого ряду. Теорема Абеля: Якщо ряд ??>0 ? ??????^?? = ax+a1x+a2x2+a3x3+… збігається для х=х1, то він абсолютно збігається для |х|<|x1| якщо ряд розбігається для х=х2 то він розбігається для х|<|x2|. а). Із заданих рядів вибрати степеневий ??>1 ? 1 ?????(??+??)
??>1 ? (???1)^?? ??^2?+1 – степеневий б).Проінтнгрувати почленно ряд S(x)= ??>1 ? ??^?? 2??+1 нв відрізку [0,1] Теорема: якщо степеневий ряд має радіус збіжності R( суму S(х))то ряд отриманий його почленним диференціюванням, має той же радіус зб R і сума його похідна від ф-ції S(х). Теорема: Ряд отриманий в результаті почленного інтегрування ряду в межах від 0 до х має такий же радіус збіжності і його сума рівна інтегралу S(x) dlx n>1 ? x^n 2n+1 = x 3 + x^2 5 + x^3 7 +… 0 1 x n 2n+1 = ( x 3 + x^2 5 + x^3 7 +…)|01= 1 6 + 1 15 + 1 28 Завдання 38 Розклад функції в ряд Тейлора і Маклорена Нехай f(x) є нескінченно диференційованою функцією в околі точки х0. Рядом Тейлора функції f(x) називається ряд вигляду f(x)= ??=1 ? 1 ??! f(n)(x0)(x-x0)n= f(x0)+ f `(x0) (x-x0)+1/2*fn(x0) (x-x0)2+… Для x0= 0 ряд Тейлора називають рядом Маклорена Теорема: Якщо ф-цію f(x) в інтервалі (x0-R, x0+R) тобто щоб справджувалась рівність f(x)= ??=1 ? f^(n)(x0) ??! (x-x0)n необхідно й достатньо щоб ф-ція f(x) мала в цьому інтервалі похідні всіх порядків і залишковий член її ряду Тейлора прямував до нуля при n>? для всіх х з даного інтервалу. ? Знайти перші 3 члени розкладу в ряд Маклорена ф-ції f(x)=3x Розв. f `(x)= 3xln3 f```(x)= 3xln2 3 f `` `(x)= 3xln3 3 3x=31+x ln3+1/2(x2 ln2 3)+1/6(x3 ln3 3)+… Завдання 39 Ряди Маклорена для функцій ex=1+ ?? 1! + ??^2 2! + ??^3 3! +… (R=?) sinx= ?? 1! - ??^3 3! + ??^5 5! ? ??^7 7! +… (R=?) cosx= ex=1 - ??^2 2! + ??^4 4! - ??^6 6! +… (R=?) ln(1+x)= ?? 1 - ??^2 2 + ??^3 3 - … (R=1) (1+x)?=1+?x+ ??(???1) 1?2 x2+ ?? ???1 (???2) 1?2?3 x3+… (R=1) Arctgx= x - ??^3 3 + ??^5 5 ? ??^7 7 +… (R=1) Використовуючи попередні ряди розкласти в ряд Маклорена ф-цію: e2x^2=1+ 2??^2 1! + 4??^4 2! + 8??^6 3! +…