Методом статистичних випробувань знаходимо наближене значення заданного інтеграла
I=
0,2
1
????(0,3
??
2
)????
??
2
+0,3
при проведенні N=16 випробувань.
Цей інтеграл не відповідає вимогам застосування формули, тому що проміжок інтегрування не збігається з проміжком (0;1). В цьому не важко переконатись:
0,2? x?1
Проводяться заміни по осям координат:
Х = а+(в-а)z = 0,2+(1-0.2)z=0,2+0,8z
f*= f(a+(в-а)z)/fmax ,
де fmax – найбільше значення f(x) в інтервалі (а,в) .
Тоді інтеграл перетвориться до вигляду:
I=
а
в
??
??
????=
??
??????

в?а

а
в
??
?
??
????=
??
??????

в?а

??
?
??
??????
=
1.5
1
0.2
2
+2.5
= 0,123
Одержана заміна дає змогу обчислити
??
?
за формулою (1), а потім і сам інтеграл I – за допомогою останнього виразу.
Згідно з алгоритмом після проведення N=16 випробувань за допомогою пар чисел (xi; yi) з таблиці потрібно для кожної точки М(xi; yi) підрахувати значення
??
?
(x), яке потім порівняємо з величиною yi.
Одчислюємо значення функцій:
f*(z=0)=f(x=0,2)/ 0,123=0,6762/0,123=0,148332
f*(z=0.1)=f(x=0,28)/ 0,123=0.6496/0,123=0,261264
f*(z=0.2)=f(x=0,36)/ 0,123=0.6241/0,123=0,380534
f*(z=0.3)=f(x=0,44)/ 0,123=0.6/0,123=0,495054
f*(z=0.4)=f(x=0,52)/ 0,123=0.5769/0,123=0,598984
f*(z=0.5)=f(x=0,6)/ 0,123=0.555/0,123=0,690376
f*(z=0.6)=f(x=0,68)/ 0,123=0.5343/0,123=0,769604
f*(z=0.7)=f(x=0,76)/ 0,123=0.5149/0,123= 0,838189
f*(z=0.8)=f(x=0,82)/ 0,123=0.4965/0,123=0,898095
f*(z=0.9)=f(x=0,9)/ 0,123=0.4792/0,123=0,951371
f*(z=1.0)=f(x=1)/ 0,123=0.4629/0,123=0.6728
Будуємо графік функції f*(z):
/
Послідовно вибираємо пари чисел з таблиці 4, ототожнюємо їх з точками квадрата і з’ясовуємо візуально, в якій частині цього квадрата стосовно графіка функції f вони знаходяться. У так званих сумнівних випадках (випадкові точки знаходяться біля кривої) згідно з алгоритмом методу проводиться порівняльний аналіз величин yi і f(xi). Результати фіксуються:
М1(0,01;0,09) – під; М2(0,73;0,25) – під; М3(0,33;0,76) – під; М4(0,52;0,01) – під;
М5(0,35;0,86) – під; М6(0,34;0,067) – під; М7(0,35;0,48) – під;
М8(0,76;0,83) – над; М9(0,49;0,12) – під; М10(0,56;0,24) – під;
М11(0,88;0,68) –під; М12(0,54;0,02) –під; М13(0,00;0,86) – під;
М14(0,50;0,75) – під; М15(0,84;0,91) – над; М16(0,37;0,84) – під.
Сумнівних точок немає. За допомогою формули 12 знаходимо наближене значення:
I*? (16-2)/16 = 0.875
Тепер знаходимо значення заданого інтеграла:
І = 0,688 0,875 = 0,602
2. Для перевірки одержаного результату можна використати один з чисельних методів інтегрування. Наприклад метод трапеції. Основним співвідношенням цього методу є така формула:
І?h((y0 + yn)/2 + y1 + y2 + … +yn-1),
де h = (в - а)/n - крок інтегрування; n – кількість кроків інтегрування; yi = f(xi), i=0,1,2,…,n.
Якщо прийняти n=10, то h= (2 – 1,1)/10=0,09 і значення підінтегральної функції у вузлових точках будуть такими:
y0 =f(x0 =1,1)=0,6762 y6 =f(x6 =1,64)=0,5343
y1 =f(x1 =1, 19)=0,6496 y7 =f(x7 =1,73)= 0,5149
y2 =f(x2 =1,28)= 0,6241 y8 =f(x8 =1,82)=0,4965
y3 =f(x3 =1,37)= 0,6 y9 =f(x9 =1,91)= 0,4792
y4 =f(x4 =1,46)=0,5769 y10 = f(x10=2)=0,4629
y5 =f(x5 =1,55)= 0,555
Підставимо ці результати у формулу і матимемо:
І? 0,09(
0,6762 +0,6762
2
+ 0,6496+0,6241+0,6+0,5769+0,555+0,5343+0,5149+0,4965+0,4792+0,4629=0,09
0,6762+5,4934
=0,5553
Розбіжність між двома наближеними результатами становить приблизно 7,7%. Якщо провести методом статистичних випробувань значно більшу, ніж N=16 кількість випробувань, то розбіжність зменшиться.
Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України
Національний університет «Львівська політехніка»
/
Розрахункова робота №2
«Статистичне моделювання. Обчислення площ фігур і визначення інтегралів»
Варіант №17
Виконав:
Ст. гр. БД – 22
Залипко Михайло
Прийняв:
Шиндер В.К.
Львів - 2012