Тема 4:Математичні моделі детермінованих сигналів. Загальна характеристика сигналів. Узагальнений ряд Фур`є.
Сигнал - це фізичний процес, який несе інформацію.
Математична модель – дозволяє зробити сигнал об`єктом теоретичного вивчення і розрахунків. Це функціональна залежність, де аргументом являється час.
Звичайно вивчають такі властивості сигналу, які об`єктивно виступають як найбільш важливі.
Розглянемо деякі основні види сигналів:
Одномірні сигнали – напруга чи струм
Багатовимірні сигнали – утворюються множиною деяких одномірних сигналів:
??
??
=
{??
1
??
,
??
2
??
,…,
??
??
??
}, де N-розмірність сигналу.
Приклад: система напруг на клемах багатополюсника.
Багатовимірний сигнал – впорядкована сукупність одномірних сигналів.
{
??
1
,
??
2
}?{
??
2
,
??
1
}
Застосування багатовимірних сигналів доцільно при використанні для аналізу складних систем, наприклад ЕОМ.
а)Детерміновані сигнали – це сигнали , параметри яких можуть бути визначені з ймовірністю рівною одиниці в будь-який момент часу.
Приклад: це можуть бути імпульси(пачки імпульсів) відомої форми і розміщення в часі, а також неперервні сигнали із заданими амплітудними і фазними співвідношеннями всередині його спектру.
б)Випадкові сигнали – функція часу, значення якої завчасно передбачені бути не можуть(або передбачаються з ймовірністю <1).
Приклад: це може бути електрична напруга, яка відповідає мові; послідовність кодів на вході багатоканального приймача тощо. Власне будь-який сигнал, який несе інформацію, повинен розглядатися як випадковий.
в)Окремо виділяються випадкові сигнали та шуми.
Для аналізу випадкових сигналів визначають:
а)Закон розподілу ймовірностей, на підставі якого визначають час прибуття сигналу в певному діапазоні рівнів.
б)Спектральний розподіл потужності сигналу(тобто розподіл середньої потужності сигналу по частотам).
3. Періодичні сигнали – задовольняють умову ??
??
=??(??+?????), де
T – період(скінченне число); k – будь-яке ціле число.
Неперіодичний сигнал – сигнал, для якого не виконується умова ??
??
=??(??+?????). Періодичний детермінований сигнал – це гармонічне коливання.
??
??
=???
cos
((2??????)/??
???)=???
cos
(????
???) при ??<??<?
Спектр такого коливання – одна єдина лінія. У реальних сигналах, які мають початок і кінець, спектр розмивається.
Будь – який складний сигнал можна представити у вигляді суми гармонічних коливань з частотами k*?, тобто кратними ?=2*?/T. Це спектральна функція, яка містить інформацію про амплітуди та фази окремих гармонік сигналу.
4. Аналогові, дискретні та цифрові сигнали
Аналогові сигнали – це сигнали, значення яких можна виміряти в будь – який момент часу.
Дискретний сигнал утворюється скінченною множиною точок на осі часу, де кожній з них відповідають відлікові значення сигналу Si .Цифрові сигнали – відлікові значення представляються у формі чисел.

Динамічне представлення сигналу
//
а)Сходинки; б)Імпульси
Сигнал може бути представлений сумою деяких елементарних сигналів, які виникають в послідовні моменти часу.
Вибір елементарних сигналів в принципі довільний. Розглянемо деякі елементарні сигнали.
Функція включення(функція Хевісайда)
?(t) – скачок функції здійснюється миттєво.
Олівер Хевісайд – англійський фізик (1850-1925).
Реально функція включення виглядає так:
/
??
??
=
0 , ??<???
0.5?
??
??+1
, ???<??<??
1, ??>??
Прихід із «нульового» стану в «одиничний» відбувається навпротязі 2*?.
Коли параметр ??>0, то процес переходу із одного стану в інший здійснюється миттєво. Це буде вже функція включення, за допомогою якої зручно описувати процеси в електричних колах.
??
??
=
0 , ??<0
0.5, ??=0
1, ??>0
Наступна відносно початку координат функція включення ??
???
??
0
??
???
??
0
=
0 , ??<
??
0
0.5, ??=
??
0
1, ??>
??
0
Другий спосіб запису ??
??

??
??
??
=1/(1?
??
?????
)
Чим більше n, тим точніша апроксимація сигналу.
Приклад 1: Описати аналітично
??
??
=15???
??
?15???
???5?
10
?6

Приклад 2: Джерело ЕРС (електрорушійної сили) e(t)=3*106*t, B під`єднується ідеальним ключем в момент t0=2мкс. Описати напругу на виході.
??
??
=3?
10
?6
??????(???2?
10
?6
), B
При t<2мкс, U(t)=0.
Динамічне представлення довільного сигналу за допомогою функції включення
Сигнал при будь – якому t може бути представлений як сума сигналів в момент часу (0,?,2?…).
??
??
?
??
0
???
??
+
(??
1
?
??
0
)???
????
+
(??
2
?
??
1
)???
???2?
+…=
??
0
???
??
+
??=1
?
(??
??
?
??
???1
)???
??????
Якщо ?>0, то дискретну змінну k? можна замінити змінною ?. Малі прирости
(??
??
?
??
???1
) диференційні ds=(ds/dt)*d?.
І тепер: ??
??
=
??
0
???
??
+
0
?
????
????
???
?????
????
Приклад. Нехай S(t)=0 при t<0. А при t>0, S(t)=A*t2. Знайти аналітичне представлення.
Тут S0=0 dS/dt=d(A*t2)/d?=2*A*?. Тому S
t
=2?A?
0
?
???
t??
d?
.
Дельта – функція
??
??,??
=
1
??
?[??
??+
??
2
???
???
??
2
]
П
??
=
??
?
??????=1
При будь – якому виборі ? площа дельта – функції рівна 1. Якщо ?>0, тоді ??(??) перетворюється в дельта – імпульс.
??
??
=
lim
??>0
??(??,??)

??
?
??
??
????=1
Розклад сигналу по заданій системі функцій. Ортогональні функції.
Важливе значення має розклад сигналу по різних системах ортогональних функцій.
Нескінченна система дійсних функцій ?0(x), ?1(x), ?2(x),…, ?n(x).. називається ортогональною на відрізку [a,b], якщо
??
??
??
??
??
???
??
??
????=0 , при m?n
При цьому допускається, що ніяка функція ?n(x) не рівна тотожно, тобто
??
??
??
??
2
??
?????0
Норма функції ?n(x)
??
??
=
??
??
??
??
2
??
????;
Функція називається нормованою, якщо
??
??
2=1, тобто
??
??
??
??
2
??
????=1
Система нормованих функцій, з яких кожні дві попарно ортогональні, називається ортонормованою.
Узагальнений ряд Фур`є
В математиці доведено, що довільна кусково – неперервна функція f(x), для якої виконується умова:
??
??
[??
??
]
2
????<?
може бути представлена за допомогою неперервних ортогональних функцій ?0(x), ?1(x), ?2(x),…, ?n(x).. у вигляді суми ряду
??
??
=
0
?
??
??
?
??
??
(??) Ci – коефіцієнт ряду
Тобто f(x)= C0 ?0(x)+ C1?1(x)+ C2 ?2(x)+…+ Cn?n(x)..
Помножимо обидві частини рівняння на
??
??
(??) і про інтегруємо в інтервалі [a,b] . Всі доданки виду
??
??
??
??
?
??
??
??
?
??
??
??
???? при m?n перетворюються в нуль в силу ортогональності функцій
??
??
(??) та
??
??
(??) . В правій частині залишається лише один доданок :
??
??
??
??
?
??
??
??
?
??
??
??
????=
??
??
?
??
??
??
??
2
??
????=
??
??
?
??
??
2
Це дозволяє нам написати :
??
??
=
1
??
??
2
?
??
??
??(??)
?
??
??
??
????
Ряд, в якому коефіцієнти визначені за наведеною формулою, називається загальним рядом Фур`є по даній системі.
Властивості узагальненого ряду Фур`є. Нерівність Бесселя.
При заданій системі функцій
??
??
??
і фіксованому числі елементів ряду N ряд Фур`є забезпечує найкращу апроксимацію(в сенсі мінімуму середньоквадратичної похибки) даної функції f(x).
Середньоквадратична похибка ряду М досягає мінімуму при an=Cn.
??=
??
??
[??
??
?
0
??
??
??
?
??
??
(??)]
2
????
Підставляєм в М значення an=Cn+bn. Тоді :
??=
??
??
[??
??
?
0
??
(
С
??
+
??
??
)?
??
??
(??)]
2
????=
??
??
??
2
??
?????2?
??
??
??
??
?
0
??
С
??
+
??
??
?
??
??
??
+
??
??
[
0
??
С
??
+
??
??
?
??
??
??
]
2
????=
??
2
?2?
0
??
С
??
+
??
??
?
??
??
??
??
?
??
??
??
????+
[
0
??
С
??
+
??
??
]
2
?
0
??
0
??
??
??
2
??
????
Переписуємо цей вираз з врахуванням того , що:
??
??
??
??
2
??
????
=
??
??
2
;
??
??
??
??
?
??
??
??
????
=
??
??
?
??
??
2
??=
??
2
?2?
0
??
С
??
+
??
??
?
С
??
?
??
??
2
+
[
0
??
С
??
+
??
??
]
2
?
??
??
2
Зауваження:
??
??
(
0
??
С
??
+
??
??
?
??
??
(??)
)
2
????
буде містити складові виду
??
??
??
??
?
??
??
??
?
??
??
??
?
??
??
????
в силу ортогональності.
Тому надалі будемо рахувати, що у цьому виразі залишаються лише
??
??
[
0
??
С
??
+
??
??
]
2
?
??
??
2
??
????
Тому: ??=
??
2
?
0
??
2?С
??
2
+
2???
??
?
??
??
?
??
??
2
+
0
??
(
??
??
2
+2?
??
??
?
??
??
+
??
??
2
)
?
??
??
2
=
??
2
?
0
??
??
??
2
?
??
??
2
+
0
??
??
??
2
?
??
??
2
Звідси слідує, що похибка апроксимації М буде мінімальною при рівності 0 останнього члена виразу. Тобто:
??
??????
=
??
??
[??
??
?
0
??
??
??
?
??
??
(??)]
2
???? – мінімальна СК похибка .
Враховуючи цю обставину, що
??
??????
>=0, можна записати наступну рівність:
??=0
?
??
??
2
?
??
??
2
?
??
2
Це є нерівність Бесселя, яка справедлива для будь – якої системи ортогональних функцій.
Ортогональна система є повною, якщо зі збільшенням числа її членів середньоквадратичну похибку апроксимації М можна зробити скільки завгодно малою. Умова повної системи:
??=0
?
??
??
2
?
??
??
2
=
??
2
При виконанні умови повноти можна рахувати, що ортогональний ряд Фур`є сходиться в середньому, тобто що :
lim
??>?
[??
??
?
??=0
?
??
??
?
??
??
(??)]
2
????=0
Узагальнений ряд Фур`є для сигналів часу s(t)
Застосовуючи до сигналів s(t) ряд Фур`є можна записати так:
S(t)=
??=0
?
??
??
?
??
??
(??)
Тоді цей вираз може мати енергетичний зміст. Дійсно можна записати:
??
2
=
??
1
??
2
??
2
??
????=??
Коли рахувати, що S(t) це струм чи напруга, тоді ?? є не що інше, як енергія сигналу в проміжку
??
2
?
??
1
на опорі 1Ом.
Таким чином енергію сигналу можна представити в системі ортогональних функцій.
??=
0
?
??
??
2
?
??
2
, а при використанні ортонормованої системи:
??=
0
?
??
??
2
При цьому інтервал
??
2
?
??
1
повинен бути інтервалом ортогональності для вибраної системи функцій.
Очевидно, що середня за час
??
2
?
??
1
потужність сигналу:
??
??
2
=
??
??
2
?
??
1
=
1
??
2
?
??
1
?
??=0
?
??
??
2
?
??
2
Лінійний простір сигналів
Лінійний простір сигналів існує при виконанні наступних систем:
1.Будь – який сигнал u?M при будь – яких t приймає лише дійсні значення.
2.Для будь – яких u?M і v?M існує сума ?=u+v, при чому ? також міститься в М. При цьому операція додавання:
- комутативна : u+v=v+u; -асоціативна: u+(v+x)=(u+v)+x
3.Для будь – якого сигналу s?M і будь – якого зважуваного числа ? визначений сигнал f=ds?M.
4.Множина М містить особливий нульовий елемент ?, такий що u+?=u для всіх u?M.
Елементи лінійних просторів називаються векторами, щоб підкреслити аналогію між об`єктами лінійних просторів, векторами в математиці.
Коли розглядати математичні моделі сигналів, які приймають комплексні значення, і припустити в аксіомі 3 перемноження на комплексні числа, це – комплексний лінійний простір.
Координатний базис
Лінійний простір сигналу – це простір, де над сигналами можуть виконуватися лінійні операції. Лінійний простір може бути доповнений спеціальною структурою, яка відіграє роль системи координат.
Лінійно незалежним координатним базисом називається сукупність векторів {e1,e2,e3…}, які належать простору М, якщо
??
??
??
?
??
??
=??
Лише у випадку одночасного перетворення в нуль всіх числових коефіцієнтів
??
??
.
Якщо дано розклад деякого синалу S(t) у вигляді ??
??
=
??
??
??
?
??
??
, то числа {C1,C2….} являються проекціями сигналу S(t) відносно вибраного координатного базису.
Коли число базисних векторів наближено велике, то такий скінченний простір називають безмежним.
Приклад: Якщо лінійний простір утворено сигналами, які описуються многочленами n-го порядку ??
??
=
??=0
?
??
??
?
??
??
, то координатним базисом буде система одночленів {e0=1;e1=t;e2=t2;…..}.
Нормований лінійний простір
Норма – аналог довжини вектора в математиці.
Лінійний простір сигналів L є нормованим, якщо кожному сигналу s(t)?L однозначно співставлено число
??
- норма цього вектора, при цьому мають виконуватися аксіоми:
Норма невід`ємна, тобто
??
?0, при чому
??
=0 тоді і лише тоді, коли s=?.
Для будь – якого сигналу, помноженого на деяке число ? –

?????
=
??
?
??
Коли s(t) та p(t) - два сигнали з простору L , то виконується нерівність трикутника:
??+??
=
??
+
??
В радіотехніці
??
=
??
?
??
2
??
????
, при чому беруться лише додатні значення кореня.
Для комплексних сигналів:
??
=
??
?
??
??
?
??
?
(??)????
Квадрат норми сигналу рівний його енергії:
??
=
??
?
??
2
??
????
=??
Приклад: Обчислимо енергію і норму сигналу s(t)=u*t/?n


??
??
=
??
?
(???
??
??
??
)
2
????=
??
2
??
??
2
?
0
??
??
??
2
????=
??
2
?
??
??
3

??
=
??
??
=U?
??
??
3
;
Метричні простори
Введення поняття МП дозволяє узагальнити нашу уяву про відстань між точками в просторі.
Лінійний простір L стає метричним, якщо кожній парі елементів u та v співставлень невід`ємне число ?(u,v), яке називається метрикою чи відстанню між цими елементами.
Метрика повинна відповідати аксіомам:
Рефлективність метрики ?(u,v) = ?(v,u);
?(u,u)=0 при будь – яких u?L;
Коли елемент ??L, тоды завжди ?(u,v)? ?(u,v)+ ?(?,v);
Звичайно метрику визначають як норму різниці двох сигналів:
?(u,v)=
?????
І тоді норму можна розуміти як відстань між вибраним елементом та нульовим елементом:
??
= ?(u,?)=
?????
=
??
Поняття метрики дозволяє говорити про те, наскільки один сигнал добре апроксимує інший.
Приклад: u(t) – відрізок синусоїди u(t)=u?
sin
??t
T
, при 0?t?T
Вибрати амплітуду прямокутного імпульсу так, щоб забезпечити мінімальну відстань між цими сигналами.
Квадрат відстані між сигналами:
??
2
??,??
=
0
??
(???
sin
?????
??
???)
2
????
=
??
2
?
??
2
?4???????
??
??
+
??
2
???
Дослідження цього виразу на екстремум показує, що мінімальна відстань буде досягатися при: A=2*u/?=0.637*u. При цьому :
??
??????
2
=
??
2
????
1
2
?
4
??
2
=0.095?
??
2
???;
??
??????
=0.308????
??
Відзначимо, що енергія синусоїдального імпульса:
??
??
=
??
2
?
0
??
??????
2
(
?????
??
???)????=
??
2
???/2(тобто квадрат норми).
А норма :
??
=0.707????
??
; Тобто в рамках вибраної нами метрики мінімальна відстань між двома сигналами складає 44% від норми синусоїдального імпульсу.
Теорії ортогональних сигналів. Скалярний добуток сигналів.
Коли в звичайному тривимірному просторі відомі два вектори
??
і
??
, тоді квадрат модуля їх суми:
??+??
2
=
??
2
+
??
2
+2
????
/
де (
??

??
)=
??
?
??
?
cos
??
- скалярний добуток цих векторів, який залежить від кута ? між ними.
За аналогією обчислимо енергію суми двох сигналів u та v:
??
=
??
?
(??+??)
2
????=
??
??
+
??
??
+2?
??
?
??????????
, тобто
??
2
????+
??
2
????+2?
?????
???? /
На відміну від самих сигналів їх енергія неадитивна – енергія сумарного сигналу містить в собі взаємну енергію.
??
????
=2?
??
?
??
??
???
??
????
Порівнюючи формули 1 та 2 визначимо скалярний добуток сигналів u та v:
??,??
=
??
?
??
??
???
??
????
/
А також косинус кута між ними:
cos
??
????
=(??,??)/
??
?
??
Скалярний добуток володіє наступними очевидними властивостями:
(u,v)?0;
(u,v)=(v,u);
(?u,v)=?(u,v), де ? – будь – яке число; /
(u+v,?)=(u,?)+(v,?).
Девід Гільберт (1862-1943) – німецький математик.
Дійсний гільбертовий простір – це такий простір, в якому введено сумарний добуток 3, при чому справедливі умови 4.
Н – позначення гільбертового простору.
В математиці доведено, що в гільбертовому просторі справедлива нерівність Коші - Буняковського.
(??,??)
?
??
?
??
Якщо ці сигнали приймають комплексні значення, то визначають комплексний гільбертовий простір.
??,??
=
??
?
??
??
???
??
????
Приклад: Є два зміщених в часі експоненційних імпульса напруги
u1(t)=
??
?10
5
??
???
??
;
u2(t)=
??
?10
5
(???2?
10
?6
)
???
???2?
10
?6
;
Знайти скалярний добуток а також кут між ними./
Енергія цих сигналів однакова:
??
1
2
=
??
2
2
=25?
0
?
??
?2?10
5
??
????=1.25?
10
?4
Скалярний добуток:
??
1
,
??
2
=25?
0
?
??
?10
5
??
?
??
?10
5
?(??+2?
10
?6
)
????=1.023?
10
?4
Звідки:
cos
??
??
1
??
2
=0.819 та
??
??
1
??
2
= 35
°
Ортогональні сигнали та узагальнені ряди Фур`э
Два сигнали u та v називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток рівний нулю(а значить і взаємна енергія).
??,??
=
??
?
??
??
???
??
????=0
Ці сигнали «гранично» не подібні один на одного.
Узагальнений ряд Фур`є дає можливість характеризувати сигнали скінченою(але, взагальному, нескінченною) системою коефіцієнтів узагальненого ряду Ck, які представляють собою проекції вектора s(t) в гільбертовому просторі Н на базисні напрямки.
Приклад ортогонального базису
Сукупність гармонічних сигналів складає ортогональний координатний базис.
sin
??
1
??,
cos
??
1
??,
sin
2??
1
??,
cos
2??
1
??,
…,sin
????
1
??,
cos
??
??
1
??
,…
Інтервал ортогональності рівний періоду:
T=2*?/?1
Квадрат норми
??????
2
=
??????
2
=
???/2
??/2
sin
??
??
1
??
2
????=
1
2
????
1
4????
??
1
?
sin
2????
1
??)|
?
??
2
;
??
2
=(
1
2
?
??
2
+
1
2
?
??
2
?
1
4????
??
1
?(
sin
2????
1
???/2)
+
sin
2????
1
?
??
2
=
??
2
?
1
4????
??
1
?(
sin
2????
+
sin
2????
)
=??/2
Норма гармонічного ортогонального сигналу:
??????
=
??????
=
??/2
Ортонормовані базиси
Способи побудувати нескінченні системи функцій детально вивчені в математиці.
Вибір найбільш раціональної ортогональної системи функції залежить від мети, яку потрібно досягнути при розкладі складної функції(сигналу) в ряд. Серед різноманітних задач, які вимагають розкладу складного сигналу, найбільш важливими є:
Точний розклад на дискретні ортогональні складові;
Апроксимація сигналу мінімальною кількістю складових( при заданій допустимій похибці).
При першій постановці задачі найбільше розповсюдження отримала ортогональна система основних тригонометричних функцій – синуса і косинуса. Гармонічне коливання зберігає свою форму при проходженні через лінійні кола, а розклад на синус і косинус дозволяє використовувати символьні методи.
При другій постановці задачі застосовуються різноманітні ортогональні і ортонормовані системи функцій : поліноми Чебешева, Еліта, Лагерра, функції Хаара, Уолша та інші.
Ортонормована система гармонічних сигналів
Систематригонометричних функцій з крайніми частотами, доповнена постійним в часі сигналом u0 утворює ортонормований базис.
??
0
=1/
??
Квадрат норми кожної з цих
??
1
=
2/??
?
sin
(2????)/??
функцій =1 незалежно від

??
2
=
2/??
?
cos
(2????)/??

….. номера функцій.
??
2???1
=
2/??
?
sin
(2??????)/??

??
2??
=
2/??
?
cos
(2??????)/??

Система функцій Уолша
В інтервалі свого існування (-T/2;T/2) вони приймають лише значення ?1. Введемо безрозмірний час ?=t/T; будемо позначати k-y функцію Уолша wal(k,?).
Номер функції k рівний числу змін знаку на інтервалі її існування.
////
Рис.Графіки перших чотирьох функцій Уолша.
Умова нормування функцій Уолша при будь – якому значенні k:
wal(k,?)
2
=
?
1
2
1
2
wal
2
k,?
d?=1
Ортогональність забезпечується принципом їх побудови і може бути перевірена безпосередньо:
?1/2
1/2
wal
1,?
?wal(2,?)d
?=
?1/2
?1/4
(?1)
2
d?+
?1/4
0
?1
?1d?+
0
?1/4
1?1d?+
1/4
1/2
1?
?1
d?=0
Розклад сигналу із скінченною енергією , заданою на інтервалі часу [-T/2;T/2] в узагальнений ряд Фур`є по функції Уолша має вигляд:
??
?
=
k=0
?
C
k
?
wal(k,?) ?=t/T
Приклад: знайти перші два коефіцієнти в розкладі імпульса трикутної форми по системі функцій Уолша. В інтервалі [-T/2;T/2] сигнал описується
S(t)=(u/T)*(t+T/2)
/
??
0
=
?1/2
1/2
??(
?)?wal
0,?
d?=u?
?1/2
1/2
?+
1
2
d?=u/2
??
1
=
?1/2
1/2
??(
?)?wal
1,?
d?=?u?
?1/2
0
?+
1
2
d?+u?
0
1/2
?+
1
2
d?=u/4
Тобто при апроксимації ми отримуємо ступінчасту криву, але з точки зору енергетичної ця похибка не така вже велика. Дійсно, енергія імпульса:
E
s
=u
2
?
?1/2
1/2
?+
1
2
?
?+
1
2
d?=u?u/4
Енергія різниці:
??
?
?
C
0
?wal
0,?
?
C
1
?wal
1,?
=4?
??
2
?
0
1/4
??
2
????
=?????/3.16
І складає лише 1/16 або 6.25% від енергії синусоїдального імпульсу.