Метод заміни змінної чи підстановки. Полягає в тому, що деякий вираз позначають новою змінною, а потім весь підінтегральний вираз виражають через цю нову змінну. Приклад: В загальному випадку
Якщо останній інтеграл виявиться простішим від початкового, то заміна вдала. Для цього методу бажано знати, які заміни змінних в тих чи інших випадках приведуть до спрощення інтегралу. Такі вказівки розглянемо пізніше. Метод інтегрування частинами. Базується на використанні формули інтегрування частинами:
Відома формула: Проінтегруємо обидві частини.
За цим методом. Підінтегральний вираз розбивають на дві частини u та dv, а потім інтеграл перетворюється згідно формули інтегрування частинами. Корисні вказівки для цього методу. I Позначаємо . Інтегруємо частинами n разів. II Позначаємо . III Інтегрують два рази частинами, обидва рази позначаючи за u або показникову або тригонометричну функцію і отримують рівняння відносно невідомого інтегралу. IV Інтегрують частинами один раз і приходять до рівняння відносно невідомого інтегралу. Приклад 1: Приклад 2:
Приклад 3: Позначимо I=. Отримаємо рівняння:
Приклад 4: Позначимо I=. Отримаємо рівняння:
Інтегрування деяких класів елементарних функцій План. Інтегрування раціональних функцій: а. Основні означення. б. Виділення цілої частини в неправильному дробі. в. Прості раціональні дроби та їх інтегрування. г. Розклад правильного раціонального дробу на прості дроби. Інтегрування тригонометричних виразів: а. Інтеграли виду та і т. п. б. Інтеграли виду та універсальна тригонометрична підстановка. в. Підстановка Інтеграли від деяких ірраціональностей. Д.З.:Б-Н 153-162, 165-172. Інтегрування раціональних функцій Означення: Раціональна функція, це така, де зустрічаються тільки дії додавання, віднімання, множення, ділення і піднесення до натурального степеня змінної. Позначається R(x). Її можна подати у вигляді частки многочленів. Тому, R(x)=- Pn(x), Qm(x)-многочлени зі степенями n і m відповідно. Раціональну функцію називають ще раціональним дробом. Означення: Раціональний дріб називається правильним, якщо степінь многочленна в чисельнику строго менший від степеня многочленна в знаменнику: . Інакше дріб називається неправильним: . Виділення цілої частини в неправильному дробі Неправильний дріб можна подати у вигляді суми многочлена (ціла частина) і правильного дробу. Для цього треба поділити чисельник на знаменник з остачею. Приклад: f(x)= -- неправильний дріб. х5-2х3+3х І х3-3 - (х5-3х2) І х2-2 – ціла частина. -2х3+3х2+3х - (-2х3 +6) 3х2+3х-6 -- остача. f(x) = x2-2+ Отже, треба навчитись інтегрувати правильні дроби. Прості раціональні дроби Це дроби таких чотирьох типів. I ; ІІ ІІІ ІV n1. Всі букви, крім х - сталі числа, n- натуральне число. В ІІІ і ІV типах дискримінант знаменника від’ємний. Інтегрування простих дробів. І ІІ ІІІ Спочатку виділяють повний квадрат у знаменнику, тобто подають його у вигляді (ха)2b, а потім підведення під знак диференціалу або заміну змінної хa=t. Приклад 1: При А=0: Приклад 2: При А0: Інтегрування дробів ІV типу не входить в програму. Але при їх інтегруванні також отримують степеневі функції, ln і arctg.