Прогнозування економічного зростання
2.1. Динамічна модель Кейса.Модель Самуельсона-Хікса
У прогнозуванні економічного зростання широко використовують трендові й економетричні моделі.
Трендові моделі описують розвиток (зміни) доволі стабільної у часі СЕС, особливо її агрегованих показників.
Економетричні моделі, на відміну від трендових, розглядають економічне зростання залежно від одного або кількох найсуттєвіших чинників. Серед економетричних моделей вирізняють прості й складні, односекторальні й багатосекторальні, закриті й відкриті.
Динамічна модель Кейнса розглядає валовий внутрішній продукт (ВВП) як ендогенну змінну , що змінюється з часом. ВВП складається з чотирьох частин: споживання С; валових окремих внутрішніх інвестицій І; державних видатків на закупівлю товарів і послуг G; чистого експорту Е. У цій моделі економіка вважається закритою, тому чистий експорт дорівнює нулю, а державні видатки розподіляються на споживання і нагромадження:
Y = C+ I.
Передбачається, що попит на інвестиційні товари постійний, а попит на споживчі товари в наступному році є лінійною функцією від ВВП поточного року:
,
де — мінімальний обсяг фонду споживання;
с — нижня межа фонду невиробничого споживання або гранична схильність до споживання, 0 < с < 1.
У динамічній моделі Кейнса запланований випуск товарів кінцевого використання прирівнюють до прогнозованого попиту на них:
Yt + 1 = + cYt + I. (2.1.1)
Цю модель можна застосовувати лише для аналізу й короткотермінового прогнозування поведінки економіки. Вона непридатна для довготермінового прогнозування, оскільки не відображає процесу відтворення, зокрема в ній не враховано вибуття фондів через їх фізичне та моральне зношування.
З математичної точки зору модель (2.1.1) є нелінійним різницевим рівнянням першого порядку. За умови розв’язок рівняння (2.1.1) має вигляд:
Розв’язок однорідного рівняння Yt+1 – cYt = 0 будемо шукати у вигляді
, ; .
Стала А визначається за допомогою початкового значення Y0:
, де .
Звідси .
Остаточний розв’язок рівняння (2.1.1) запишеться
. (2.1.2)
При цьому , оскільки , тобто YЕ — усталене (зрівноважене) значення ВВП.
Модель Самуельсона-Хікса. Відміна моделі Самуельсона-Хікса від динамічної моделі Кейнса полягає у відмові від сталості інвестицій і введенні їхньої змінної частини, яка пропорційна приросту ВВП поточного року порівняно із минулим роком:
Yt+1 = C+ cYt + r (Yt – Yt - 1) + I, (2.1.3)
де r — коефіцієнт акселерації (прискорення), 0 < r < 1.
З математичної точки зору модель Самуельсона-Хікса (2.1.3) — лінійне різницеве рівняння другого порядку. Його розв’язок знаходять за допомогою перетворення Лорана [34].
Рівняння других різниць (2.1.3) у стандартній формі записують так:
Yt+2 – (r + c)Yt+1 + rYt = + I.
Введемо нові позначення змінних, які забезпечують нульове початкове значення ВВП:
Yt = Y0 + ?t, ?t = Yt – Y0,
тоді ?t задовольняє рівнянню:
?t+2 – (r + c) ?t+1 + r?t = a, ?0 = 0, ?t = Yt – Y0, (2.1.4)
де a = + I – (1 – c) Y0.
2.2. Виробнича функція
Найвідомішою є двофакторна модель виробничої функції (ВФ), яка відображає залежність результату виробництва від витрат ресурсів. Під ресурсами (чинниками виробництва) найчастіше розуміють нагромаджену працю у формі виробничих фондів (капіталу) К і дійсну (живу) працю L, а під результатом — валовий випуск X, валовий внутрішній продукт Y або національний дохід N. У будь-якому разі результат стисло називають випуском і позначають Y (це може бути і валовий випуск, і ВВП, і національний дохід).
Іноді як ресурс у виробничу функцію включають залучені до виробництва природні ресурси. Якщо останні практично не змінюються, їх не слід розглядати.
Випуск продукції є функцією від витрат ресурсів (фондів і праці):
Y = F (K, L), (2.1.5)
Виробничу функцію Y = F (K,L), називають неокласичною, якщо вона гладка і задовольняє низку умов, що підлягають природному економічному тлумаченню:
1) F(0,L) = F(K, 0) = 0 — за відсутності одного з ресурсів виробництво неможливе;
2) — із мірою зростання ресурсів випуск зростає;
3) — із мірою збільшення ресурсів швидкість зростання випуску гальмується;
4) F (+?, L) = F (K, +?) = +? — за необмеженого збільшення одного з ресурсів випуск необмежено зростає.
Випуск продукції моделюють за допомогою такої нелінійної ВФ:
, (2.1.6)
де А — коефіцієнт нейтрального технічного прогресу;
?, ? — коефіцієнти еластичності за фондами та працею.
Окремим випадком ВФ (2.1.6) є функція Кобба-Дугласа:
, (2.1.7)
де ? = 1 – ?.
Мультиплікативна ВФ визначається за часовими рядами випуску й витрат ресурсів (, , ), , де — довжина часового ряду, при цьому припускають, що виконуються співвідношень:
, (2.1.8)
де ?t — коригувальний випадковий коефіцієнт, який увідповіднює фактичний і розрахунковий випуски й відображає флуктуацію результату під впливом інших чинників .
Мультиплікативна функція, окрім властивості 1, має також властивість 2: із мірою зростання витрат ресурсів випуск збільшується, тобто

(2.1.9)

Часткові похідні випуску за чинниками називають граничними продуктами або граничними (маргінальними) ефективностями чинників; вони характеризують приріст випуску на невелику одиницю приросту чинника:
— гранична фондовіддача (гранична ефективність фондів);
— гранична продуктивність праці (гранична ефективність праці).
Для мультиплікативної функції із (2.1.9) випливає, що гранична фондовіддача пропорційна середній фондовіддачі із коефіцієнтом ?, а гранична продуктивність праці — середній продуктивності праці із коефіцієнтом ?:
Якщо ? < 1, ? < 1, граничні віддачі чинників нижчі за середні; за цими самими умовами мультиплікативна функція має властивість 3, яка дуже часто спостерігається в реальній економіці: із мірою зростання витрат ресурсу його гранична віддача зменшується. Із (2.1.6) також видно, що мультиплікативна функція має властивість 4, тобто за необмеженого збільшення одного із ресурсів випуск необмежено зростає. Отже, мультиплікативна функція за , є неокласичною.
Економічне тлумачення параметрів А, ?, ?, мультиплікативної ВФ. Параметр А тлумачиться як параметр нейтрального технічного прогресу: за тих самих ? й ? випуск у точці (К, L) тим більший, чим більше А. Щоб тлумачити ?, ?, необхідно ввести поняття еластичностей як логарифмічних похідних чинників:

(2.1.10)

Оскільки в нашому випадку
то
тобто ? — еластичність випуску за основними фондами; ? — еластичність випуску за працею.
Із (2.1.10) видно, що коефіцієнт еластичності чинника означає, на скільки відсотків збільшиться випуск, якщо чинник зросте на 1 %. Якщо ? > ?, має місце працезбережувальне (інтенсивне) зростання, в іншому випадку — фондозбережувальне (екстенсивне) зростання.
Розглянемо темп зростання випуску:
(2.1.11)
Якщо піднести обидві частини (2.1.8) до ступеня , отримаємо співвідношення:
(2.1.12)
праворуч — зважене середнє геометричне темпів зростання витрат ресурсів, тут за вагові коефіцієнти беруть відносні еластичності чинників:
(2.1.13)
За випуск зростає швидше, ніж у середньому збільшуються чинники, а за — повільніше. Насправді, якщо чинники зростуть (тобто Kt+1 > Kt, Lt+1 > Lt), то згідно з (2.1.13) збільшиться й випуск (тобто Yt+1 >Yt); тож за маємо:
. (2.1.14)
Отже, насправді темп зростання випуску перевищує середній темп зростання чинників. За ВФ описує економіку, що зростає.
Під час вивчення чинників зростання економіки виокремлюють екстенсивні чинники зростання (за рахунок збільшення затрат ресурсів, тобто збільшення масштабу виробництва) й інтенсивні чинники зростання (за рахунок підвищення ефективності використання ресурсів).
За допомогою ВФ можна відобразити масштаб та ефективність виробництва, якщо випуск і витрати виражено в порівняльних одиницях, наприклад представлено у вартісній формі. Однак проблема зіставлення сьогоденної та минулої праці й досі не має позитивного розв’язання.
У відносних показниках мультиплікативну ВФ записують так:
(2.1.15)
де Y0, K0, L0 — значення випуску й витрат фондів і праці в базовому році.
Безрозмірну форму (2.1.15) легко привести до початкового вигляду:

Отже, А — це коефіцієнт, який порівнює ресурси з випуском.
Якщо позначити випуск та ресурси у відносних (безрозмірних) одиницях вимірювання через то ВФ у формі (2.1.15) запишеться так:
. (2.1.16)
Визначимо ефективність економіки, представленою ВФ (2.1.16). Оскільки часткові показники ефективності (— фондовіддача, — продуктивність праці) мають однакову розмірність (точніше, вони однаково безрозмірні), то можна знайти будь-які середні з них. Оскільки ВФ виражена в мультиплікативній формі, то й середні взято в тій самій формі, тобто ВФ є середньогеометричним значенням.
Отже, узагальнений показник економічної ефективності є зваженим середнім геометричним часткових показників економічної ефективності, а саме:
, (2.1.17)
тут роль вагових коефіцієнтів відіграють відносні еластичності (2.1.13), тобто окремі ефективності беруть участь у створенні узагальненої ефективності з такими самими пріоритетами, з якими входять до ВФ відповідні ресурси.
З (2.1.17) випливає, що за допомогою коефіцієнта економічної ефективності ВФ перетворюється на форму, яка зовні збігається із функцією Кобба-Дугласа:
, (2.1.18)
але у співвідношенні (2.1.18) Е не є постійним коефіцієнтом, а функціонально залежить від (К, L).
Оскільки масштаб виробництва М виявляється в обсязі витрачених ресурсів, то згідно із міркуваннями, що були наведені стосовно розрахунків узагальненого показника економічної ефективності, середня кількість використаних ресурсів (масштаб виробництва) дорівнює:
. (2.1.19)
З (2.1.18) та (2.1.19) випливає, що випуск є добутком економічної ефективності та масштабу виробництва:
. (2.1.20)
Можна відійти від описаного вище виду ВФ і розглянути залежність результату виробництва (Y) не безпосередньо через значення чинників виробництва, а опосередковано — через чинники, які впливають як на величину (оцінку) чинників, так і на ефективність. Самі чинники виробництва (капітал, праця, НТП) є первинними (глобальними), а чинники, що впливають на них, — вторинними.
Вторинні чинники можна розглядати по-різному. З одного боку, це чинники, що впливають на величину глобальних чинників, з іншого — на їхню ефективність. Наведемо приклад такої класифікації чинників.
Жива праця у сфері виробництва:
1. Чинники впливу на величину L:
тривалість робочого року, тижні, дні;
віковий склад робочої сили;
статевий склад робочої сили.
2. Чинники впливу на продуктивність праці:
рівень загальної освіти;
рівень професійної освіти;
рівень навичок (тривалість роботи за фахом);
рівень і система оплати праці.
Виробничі фонди (колишня праця)
1. Чинники, що впливають на величину К:
погодинне завантаження фондів і рівень використання потенційних потужностей;
швидкість обігу фондів.
2. Чинники, що впливають на оцінку продуктивності фондів:
технічний рівень і рівень морального зношування фондів;
галузевий розподіл фондів;
територіальний розподіл фондів;
масштаби виробництва.
Розвиток чинникового підходу передбачає не так удосконалення методу виробничої функції, як поглиблену економічну й статистичну роботу.
2.3. Модель Солоу. Трисекторна модель економічного зростання
Модель Солоу також є односекторною моделлю економічного зростання. Економічна система розглядається як єдине ціле, що виробляє один універсальний продукт, який можна споживати й інвестувати. Модель доволі адекватно відображає найважливіші макрекономічні аспекти процесу відтворення. Експорт — імпорт у явному вигляді в ній не враховано.
Стан економіки в моделі Солоу визначають такі п’ять ендогенних змінних:
X — валовий внутрішній продукт (ВВП);
С — фонд невиробничого споживання;
І — інвестиції;
L — кількість зайнятих;
К — фонди.
Окрім того, в моделі використовують такі екзогенні показники (задані поза системою):
? — річний темп приросту кількості зайнятих;
? — частка основних виробничих фондів, що вибули за рік;
? — частка нагромадження (частка валових інвестицій у валовому внутрішньому продукті).
Екзогенні параметри перебувають у таких межах: –1 < ? < 1, 0 < ? < 1, 0 < ? < 1.
Припускається, що ендогенні змінні змінюються з часом (аргумент t пропущено, але він присутній за визначенням). Екзогенні показники вважаються постійними у часі, причому норма нагромадження є параметром управління, тобто в початковий момент часу може встановлюватися керівним органом системи з огляду на будь-яке гранично допустиме значення.
Час t вважається безперервним і вимірюється у роках. Для миттєвих значень показників L = L(t), К = K(t) в будь-який день можна з’ясувати кількість зайнятих і — шляхом інвентаризації — обсяг основних виробничих фондів. Значення показників типу потоків X = X(t), I = I(t), С = C(t) у момент t = [t] + {t} визначають у вигляді нагромаджених за рік, що починається на {t} днів пізніше 1 січня року [t].
Припускають, що річний випуск у кожен момент часу визначається лінійно-однорідною неокласичною виробничою функцією
X = F (K, L). (2.1.21)
Згідно з визначенням темпу приросту
або ,
тому
InL = ?t + lnA, L = Ae?t.
Використовуючи початкову умову L(0) = L0, одержуємо L = L0e?t.
Зношування та інвестиції в розрахунку на рік дорівнюють ?K та I відповідно, а за час ?t — становить відповідно ?K?t, I?t, тому приріст фондів за цей час дорівнюватиме ?К = – ?K?t + I?t, звідки маємо диференціальне рівняння:

Інвестиції та фонд споживання виражають через ВВП таким чином:
І = ?Х, С = (1 – ?)Х.
Отже, маємо такий запис моделі Солоу в абсолютних показниках:
L = L0e?t; ;
K (0) = K0; Х = F (K, L); І = ?Х; С = (1 – ?)Х. (2.1.22)
Оскільки

то запис моделі в питомій вазі показників набуває форми:

(2.1.23)
Отже, кожен абсолютний або відносний показник змінюється в часі, тобто можна говорити про траєкторію системи в абсолютних або відносних показниках.
Траєкторію називають стаціонарною, якщо показники з часом не змінюються:
k = k0 = const, х = х0 = const, I = I0 = const, с = с0 = const.
Як видно з формул (2.1.23), перебування фондоозброєності на постійному рівні kE приводить до виходу на стаціонарну траєкторію. На стаціонарній траєкторії , тому
,
або (2.1.24)
.
Якщо k0 = kE, то економіка, яка вже перебуває на стаціонарній траєкторії, може зійти з неї лише в разі зміни зовнішніх умов (встановлення іншого значення норми нагромадження, перехід до нових технологій зі зміною функції F(K, L)).
За k0 ? kE в економіці відбуватиметься перехідний процес, який завершиться встановленням стаціонарного режиму. У перехідному режимі фондоозброєність задовольняє рівнянню:
, (2.1.25)
причому за та .
Диференціюванням (2.1.25) знаходимо
, (2.1.26)
звідки видно, що
а) за < маємо ,
б) за , навпаки, ,
в) за k > kE завжди > 0, оскільки < kE.
Розглянемо перехідний процес для випадку, коли виробничу функцію описано функцією Кобба-Дугласа (2.1.7) .
Тоді , а рівняння (2.1.25) набуває вигляду
(2.1.27)
Зробивши заміну , , одержимо для и рівняння із розділеними змінними:
яке має такий розв’язок:
а з використанням значення стаціонарної фондоозброєності запишеться як:
u (t) = [(kE)1-?e(1-?)?t + (k0)1-? – (kE)1-?]1/1-?.
Повертаючись до фондоозброєності, отримаємо
K(t) = [(kE)1-? + ((k0)1-? – (kE)1-?)e(1-?)?t]1/1-?,
звідки видно, що
Відповідно до (2.1.26) отримуємо три типи перехідного процесу стосовно фондоозброєності:
1) за — спочатку відбувається пришвидшене зростання фондоозброєності, яке після досягнення значення k переходить на повільне зростання;
2) за < k0 < kE спостерігаємо вповільнене зростання фондо-озброєності;
3) за k0 > kE — уповільнений спад фондоозброєності («проїдання» фондів).
Таким чином, за < k0 < kE існує зовсім короткий перехідний процес.
У реальній економіці освоєння капітальних вкладень відбувається із запізненням, тобто інвестиції перетворюються на фонди не миттєво, а впродовж певного часу.
Існують два підходи до моделювання запізнень. Перший полягає в тому, що запізнення відбувається із фіксованим лагом ?, тим самим введення фондів у момент t V(t) є просто інвестиціями, зробленими в момент t – ?, тобто
V(t) = I(t – ?). (2.1.28)
Другий підхід полягає у використанні розподіленого лага. При цьому передбачають, що інвестиції, зроблені в момент ? обсягом I(?), на далі освоюватимуть поступово, частками, згідно з певним розподілом N(t, ?) > 0, причому . Оскільки інвестиції здійснюються не лише в якийсь фіксований момент часу, а взагалі в будь-який момент ?, то до часу t накопичується обсяг фондів, які підлягають введенню, а саме:
. (2.1.29)
Якщо процес інвестування та введення в дію має стаціонарний характер, тоді N(t, ?) = N (t – ?). Отже, (2.1.29) можна переписати таким чином:
. (2.1.30)
Далі приймаємо, що розподіл N(t – ?) є показниковим:
,
тому
. (2.1.31)
У результаті прямого диференціювання (2.1.31) маємо
(2.1.32)
Додаючи останнє рівняння до відповідним чином скоригованої системи рівнянь стандартної моделі Солоу, одержуємо односекторну модель економіки з урахуванням затримки введення фондів:
Х = I+ С;
X = F(K, L);
dK/dt = –?K + V, K(0) = K0; (2.1.33)
dV/dt = ?I – ?V;
L = L0 e?t.
Перше рівняння (2.1.33) — баланс розподілу ВВП на інвестиції та невиробниче споживання; друге — виробнича функція валового внутрішнього продукту залежно від ресурсів; третє — динаміка фондів залежно від зношування й уведення фондів; четверте — динаміка введення фондів із урахуванням інвестицій і затримки введення фондів; п’яте — динаміка трудових ресурсів.
Якщо, подібно до попередніх параграфів, вважати, що виробнича функція є лінійно-однорідною неокласичною, то рівняння (2.1.33) можна представити так: (i = I/L, c= C/L, f = F/L, ? = V/L):
(2.1.34)
Стаціонарна точка диференціальних рівнянь (2.1.34) задається такими алгебраїчними рівняннями:
. (2.1.35)
Розв’язавши цю систему рівнянь відносно ?E, отримаємо рівняння для kE,
– ??kE + ??f(kE) = 0. (2.1.36)
Якщо f?(0) = ?, f(k) > 0, f?(k) < 0, то (2.1.36) має один розв’язок (виключаючи тривіальний kE = 0).
Трисекторна модель економічного зростання [34]. Економіку в моделі розподіляють на три сектори: матеріальний (нульовий) — виробляє предмети праці; фондоутворювальний (перший) — виробництво засобів праці; споживчий (другий) сектор — виробництво предметів споживання.
Припускають, що за кожним сектором закріплено основні виробничі фонди (ОВФ), тоді як праця й інвестиції можуть вільно пересуватися між секторами.
Окрім того, застосовують припущення, аналогічні до зроблених в односекторній моделі Солоу, яка відіграє роль базової.
1. Технологічний устрій вважається сталим і визначається за допомогою лінійно-однорідних неокласичних виробничих функцій
Xi = Fi(Ki, Li,) i = 0, 1, 2,
де Xi, Ki, Li — відповідно випуск, ОВФ і кількість зайнятих у i-му секторі.
2. Загальна кількість зайнятих L (у виробничій сфері) змінюється із постійним темпом приросту ?.
3. Лаг капіталовкладень відсутній.
4. Коефіцієнти зношування ОВФ ?i і прямих матеріальних витрат аi секторів постійні.
5. Економіка закрита, тобто зовнішня торгівля безпосередньо не розглядається.
6. Час t змінюється неперервно.
Припущення (2) в дискретному часі має вигляд (t — номер року):

у разі переходу до неперервного часу набуває форми диференціального рівняння:

яке має такий розв’язок:
(2.1.37)
Із припущень (3, 4) виходить, що зміна за рік ОВФ i-го сектора складається з двох частин: зносу (– ?iKi) та приросту за рахунок валових капіталовкладень (+ Іі), тобто:
Ki(t + 1) – Ki(t) = – ?iKi(t) + Іі(t), i = 0, 1, 2,
або в неперервному часі:
Ki(t + ?t) – Ki(t) = – [?iKi(t) + Іі(t)]?t,
за ?t > 0 одержуємо диференціальні рівняння для ОВФ секторів:
(2.1.38)
Далі індекс часу t скрізь пропущено, але передбачається за визначенням. ОВФ і кількість зайнятих у секторах (Ki, Li) є миттєвими показниками, тобто їхні значення можна визначити (виміряти) в будь-який момент часу t. Випуск секторів, інвестиції (Xi, Ii) є показниками типу потоку, тобто їхні значення нагромаджуються за рік, що розпочинається в момент t.
Отже, для зроблених припущень трисекторна модель економіки в абсолютних показниках набуває вигляду (2.1.39):

— кількість зайнятих;


— розподіл зайнятих за секторами;


— динаміка фондів за секторами; (2.1.39)

Xi = Fi(Ki, Li), i = 0, 1, 2
— випуск за секторами;

X1 = I0 +I1 + I2
— розподіл продукції фондоутворювального сектора;

X0 = a0X0 +a1X1 + a2X2
— розподіл продукції матеріального сектора,

де Ii — інвестиції у -й сектор; ? — темп приросту кількості зайнятих; ?i –коефіцієнти вибуття ОВФ за секторами; ai — коефіцієнти прямих матеріальних витрат за секторами.
Трисекторна модель є динамічною, оскільки містить чотири лінійні динамічні елементи. Вона нелінійна, оскільки випуски секторів задано нелінійними виробничими функціями.
У відносних показниках модель набуває форми:
(2.1.40)
де — частка числа зайнятих у і-му секторі із загальної кількості зайнятих;
— частка інвестицій у і–й сектор у загальному обсязі інвестицій;
— продуктивність праці в і- му секторі;
народногосподарська продуктивність і-го сектора.
У моделі (2.1.40) параметри а0, а1, а2, ?0, ?1 ,?2, ? є екзогенними та вважаються сталими. Параметри (?, s) = (?0, ?1, ?2, s0, s1, s2) — є керівними. Рівняння для фондоозброєності має таку стаціонарну точку за умови, що (?, s) постійні:

За ki < ki0, як видно з (2.1.40), > 0, а за ki > ki0 значення , тому , (за kі0 < kі0 є зростаючими, фондоозброєність наближається до стаціонарного значення, а за kі0 > kі0 — спадними). Шляхом регульованого перерозподілу праці можна забезпечити монотонне наближення фондоозброєності до стаціонарного значення.