Загальні відомості
Ефектом Холла називається поява в провіднику зі струмом щільністю j, вміщеному в магнітне поле Н, електричного поля Ех, перпендикулярного Н і j. При цьому напруженість електричного поля, званого ще полем Холла, дорівнює:
Рис 1
Ex = RHj sin (, (1)
де ( кут між векторами Н і J (( <180 °). Коли H(j, то величина поля Холла Ех максимальна: Ех = RHj. Величина R, звана коефіцієнтом Холла, є основною характеристикою ефекту Холла. Ефект відкритий Едвіном Гербертом Холом в 1879 в тонких пластинках золота. Для спостереження Холла ефекту уздовж прямокутних пластин з досліджуваних речовин, довжина яких l значно більше ширини b та товщини d, пропускається струм:
I = jbd (див. рис 1.);
тут магнітне поле перпендикулярно площині пластинки. На середині бічних граней, перпендикулярно струму, розташовані електроди, між якими вимірюється ЕРС Холла Vx:
Vx = Ехb = RHj(d. (2)
Так як ЕРС Холла змінює знак на зворотний при зміні напрямку магнітного поля на протилежне, то Холла ефект відноситься до непарних гальваномагнітних явищ.
Найпростіша теорія Холла ефекту пояснює появу ЕРС Холла взаємодією носіїв струму (електронів провідності і дірок) з магнітним полем. Під дією електричного поля носії заряду набувають спрямований рух (дрейф), середня швидкість якого (дрейфова швидкість) vдр(0. Щільність струму в провіднику j = j = n*evдр, де n — концентрація числа носіїв, е — їх заряд. При накладенні магнітного поля на носії діє Лоренца сила: F = e[Hvдp], під дією якої частки відхиляються в напрямі, перпендикулярному vдр і Н. В результаті в обох гранях провідника кінцевих розмірів відбувається накопичення заряду і виникає електростатичне поле - поле Холла. В свою чергу поле Холла діє на заряди і врівноважує силу Лоренца. В умовах рівноваги eEx = еНvдр, Ex =1/ne Hj, звідси R = 1/ne (cмз / кулон). Знак R збігається зі знаком носіїв струму. Для металів, у яких концентрація носіїв (електронів провідності) близька до щільності атомів (n(1022См-3), R~10-3 (см3/кулон), у напівпровідників концентрація носіїв значно менше і R~105 (см3/кулон). Коефіцієнт Холла R може бути виражений через рухливість носіїв заряду е(/m* і питому електропровідність ( = j/E = еnvлр/Е:
R=(/( (3)
Тут m*— ефективна маса носіїв, ( — середній час між двома послідовними зіткненнями з розсіюючими центрами.
Іноді при описі Холла ефекту вводять кут Холла ( між струмом j та напрямком сумарного поля Е: tg(= Ex/E=((, где ( — циклотронна частота носіїв заряду. У слабких полях (((<<1) кут Холла ((((, можна розглядати як кут, на який відхиляється рухомий заряд за час (. Наведена теорія справедлива для ізотропного провідника (зокрема, для полікристала), у якого m* і ( їх-постійні величини. Коефіцієнт Холла (для ізотропних напівпровідників) виражається через парціальні провідності (э і (д і концентрації електронів nэ і дірок nд:
(a) для слабких полів (4)

(б) для сильних полів.
При nэ = nд, = n для всієї області магнітних полів:
,
а знак R вказує на переважаючий тип провідності.
Для металів величина R залежить від зонної структури та форми Фермі поверхні. У разі замкнутих поверхонь Фермі і в сильних магнітних полях (((»1) коефіцієнт Холла ізотропний, а вирази для R збігаються з формулою 4 б. Для відкритих поверхонь Фермі коефіцієнт R анізотропії. Однак, якщо напрям Н відносно кристалографічних осей вибрано так, що не виникає відкритих перетинів поверхні Фермі, то вираз для R аналогічно 4, б.
Пояснення ефекта Холла за допомогою електронної теорії
Якщо металеву пластинку, уздовж якої тече постійний електричний струм, помістити в перпендикулярне до неї магнітне поле, то між гранями, паралельними напрямками струму і поля виникає різниця потенціалів U=(1-(2 (дивися рис 2.1). Вона називається Холлівською різницею потенціалів (у попередньому пункті - ЕРС Холла) і визначається виразом:
uh =RbjB (2.1)
Тут b — ширина пластинки, j — густина струму, B — магнітна індукція поля, R — коефіцієнт пропорційності, який отримав назву постійної Холла. Ефект Холла дуже просто пояснюється електронною теорією, відсутність магнітного поля струм в платівці обумовлюється електричним полем Ео (дивися рис 2.2). Еквіпотенціальна поверхні цього поля утворюють систему перпендикулярних до вектора Ео швидкостей. Дві з них зображені на малюнку суцільними прямими лініями. Потенціал у всіх точках кожної поверхні, а отже, і в точках 1 і 2 однаковий. Носії струму - електрони - мають негативний заряд, тому швидкість їх упорядкованого руху і направлена ??протилежно вектору щільності струму j.
При включенні магнітного поля кожен носій опиняється під дією магнітної сили F, спрямованої уздовж боку b пластинки і рівної по модулю
F=euB (2.2)
В результаті у електронів з'являється складова швидкості, спрямована до верхньої (на малюнку) межі пластинки. У цієї межі утворюється надлишок негативних, відповідно у нижній межі - надлишок позитивних зарядів. Отже, виникає додаткове поперечне електричне поле ЕB. Тоді напруженість цього поля досягає такого значення, що його дія на заряди буде врівноважувати силу (2.2), встановиться стаціонарний розподіл зарядів в поперечному напрямку. Відповідне значення EB визначається умовою: eEB=euB. Звідси:
ЕB=uВ.
Поле ЕB складається з полем Ео в результуюче поле E. Еквіпотенціальна поверхні перпендикулярні до вектора напруженості поля. Отже, вони повернуться і займуть положення, зображене на рис. 2.2 пунктиром. Точки 1 і 2, які раніше лежали на одній і тій же еквіпотенціальної поверхні, тепер мають різні потенціали. Щоб знайти напруга виникає між цими точками, потрібно помножити відстань між ними b на напруженість ЕB:
UH=bEB=buB
Висловимо u через j, n і e відповідно до формули j=neu. В результаті отримаємо:
UH=(1/ne)bjB (2.3)
Останній вираз співпадає з (2.1), якщо покласти
R=1/ne (2.4)
З (2.4) випливає, що, вимірявши постійну Холла, можна знайти концентрацію носіїв струму в даному металі (тобто число носіїв в одиниці об'єму).
Важливою характеристикою речовини є рухливість в ньому носіїв струму. Рухливістю носіїв струму називається середня швидкість, що купується носіями при напруженості електричного поля, що дорівнює одиниці. Якщо в поле напруженості Е носії набувають швидкість u то рухливість їх u0 дорівнює:
U0=u/E (2.5)
Рухливість можна пов'язати з провідністю ( і концентрацією носіїв n. Для цього розділимо співвідношення j=neu на напруженість поля Е. Взявши до уваги, що ставлення j до Е дає (, а ставлення u до Е - рухливість, отримаємо:
(=neu0 (2.6)
Вимірявши постійну Холла R і провідність (, можна за формулами (2.4) і (2.6) знайти концентрацію і рухливість носили струму у відповідному зразку.
Рис 2.1
Рис 2.2
Эфект Холла в напівпровідниках
Ефект Холла спостерігається не тільки в металах, але і в напівпровідниках, причому по знаку ефекту можна судити про належності напівпровідника до n- або p-типу, так як в напівпровідниках n-типу знак носіїв струму негативний, напівпровідниках p-типу - позитивний . На рис. 4.1 сопоставлен ефект Холла для зразків з позитивними і негативними носіями. Напрямок магнітної сили змінюється на протилежне як за зміни напрямку руху заряду, так і за зміни його знака. Отже, при однаковому напрямку струму і поля магнітна сила, що діє на позитивні і негативні носії, має однакове напрямок. Тому в разі позитивних носіїв потенціал верхньої (на малюнку) межі вище, ніж нижній, а в разі негативних носіїв - нижче. Таким чином, визначивши знак холлівської різниці потенціалів, можна встановити знак носіїв струму. Цікаво, що у деяких металів знак Uн відповідає позитивним носіям струму. Пояснення цієї аномалії дає квантова теорія. Рис 4.1
Ефект Холла на інерційних електронах в напівпровідниках
Передбачений новий фізичний ефект, обумовлений дією сили Лоренца на електрони напівпровідника, що рухається прискорено. Отримано вираз для поля Холла і виконані оцінки холлівської напруги для реальної двовимірної гетероструктури. Виконано аналіз можливої ??схеми посилення холлівської поля на прикладі двох холлівських елементів, один з яких - генератор напруги, а другий - навантаження.
Відомий досвід Толмена і Стюарта, в якому спостерігався імпульс струму j, пов'язаний з інерцією вільних електронів. При інерційному поділі зарядів в провіднику виникає електричне поле напруженістю E. Якщо такий провідник помістити в магнітне поле B, то слід очікувати появи ерс, аналогічної ефекту Холла, зумовленої дією сили Лоренца на інерційні електрони.
У провіднику, що рухається з прискоренням dvx/dt, виникає струм jx і поле Ex
, (1)
, (2)
де ( = en( — провідність, ( — рухливість. У магнітному полі B(0; 0; Bz) порушується поле Ey = (1/ne) jxBz або
(3)
Останній вираз еквівалентно Ey = Ex(Bz.
Найбільш підходящий об'єкт для експериментального спостереження ефекту - двовимірні електрони в гетеросистемах n-AlxGa1-xAs/GaAs. В одиничному зразку (1x1 см2) в поле 1 Тл и (( 104 см2 (В * с) для dvx/dt ( 10 м/с2 слід очікувати сигнал Vy( 6*10-11B, що цілком доступно для сучасної техніки вимірів.
Розглянемо одну з можливостей посилення ефекту на прикладі двох холлівських елементів, один з яких (I) є генератором поля Холла, а другий (II)-навантаженням. Схема з'єднань холлівських елементів I і II показана на малюнку.
Отже, в магнітному полі Bz (напрямок якого на малюнку позначено знаком () у першому холлівському елементі (I) збуджується струм j(1)x, поле E(1)x і холлівське поле E(1)y, що даються виразами (1) - (3). Замкнув потенційні (холлівські) контакти X1-X1 на струмові контакти T2-T2 холлівського елемента II, в останньому додатково до первинного полю E(2)x = E(1)x,, що визначається виразом (2), маємо і поле E(1)y. Так що результуюче поле має два компоненти — E(2)x = E(1)x+ E(1)y. Це можливо, якщо холлівський елемент I розглядати як генератор напруги, навантажений на холлівський елемент II. В цьому випадку повинен виконуватися режим "холостого ходу", для чого необхідно виконати умову R(X1-X1)<<R(T2-T2), где R — опір між відповідними контактами. В такому випадку в холлівському елементі II збуджується поле
E(2)y=(E(1)y+ E(1)y)(Bz (4)
Враховуючи співвідношення E(1)y=E(1)x(Bz, отримуємо
E(2)y=(1+(Bz)(BzE(1)x (5)
Безпосереднє спостереження ефекту, мабуть, утруднено. Більш реально здійснити досліди з вібрацією зразка в магнітному полі. Корисний сигнал (y при цьому може бути відділений від наведення (*y по квадратичної залежності від частоти коливань ( (наводка пропорційна 1-го ступеня частоти коливань).
Справді, для даної геометрії досвіду (см малюнок) в магнітному полі B(0; 0; Bz) при зміні координати x з часом за законом x = x0 cos (t, где ( — частота генератора, що задає, навантаженого на п'єзоелемент, і x0 — амплітуда коливань останнього, маємо зі співвідношення (3)
(6)
де ly — відстань між холлівськими контактами зразка (X1-X1) тобто Ey = Eyly. Паразитна наводка (*y, що виникає в з'єднувальних проводах відповідно до закону електромагнітної індукції Фарадея, визначається виразом
(7)
де l*y — ефективна довжина сполучних провідників, що включають зразок в схему вимірів. Таким чином, корисний сигнал (y має відмінні риси по відношенню до наводкою (*y. Перша особливість це пропорційність величиною (2, тоді як (*y((. Одночасно (y y в часі змінюється синфазно, а (*y — противофазно напрузі задає генератора. Істотно відзначити, що маса, що входить у вирази (1) - (3), це маса вільного електрона; величина же рухливості ( визначається ефективною масою.
Схема посилення холлівського поля з двох елементів I і II.
Вказані напрямки: знаком ( — магнітного поля Bz; стрілками — прискорення dVx/dt; полів Холла E(1)y , E(2)y; густин струму j(1)x , j(2)x.
Ефект Холла в напівпровідниках з двома типами носіїв заряду
Припустимо, що в напівпровіднику струм переноситься електронами і дірками, концентрації і рухливості яких відповідно рівні n, і р, .
Визначення коефіцієнта Холла проведемо для випадку слабого магнітного поля. Припустимо, що вектор напруженості електричного поля ?, вектор щільності струму J і вектор магнітної індукції В орієнтовані відносно осей координат, як показано па мал. 6.7

Рис. 6.7. Эффект Холла при наличии двух типов носителей заряда
Під дією електричного поля носії заряду будуть прискорюватися. У міру збільшення дрейфової швидкості на носій заряду буде діяти відхильна сила Лоренца. Траєкторія носія заряду під дією магнітного поля викривляється до тих пір, поки він не відчуває зіткнення з дефектами кристалічної решітки (магнітне поле слабке і l « r). При зіткненні носій заряду передасть решітці енергію, накопичену в електричному полі, а потім знову буде рухатися під дією поля ?. В результаті щільність струму дірок J відхиляється від напрямку електричного поля на кут . Електрони під дією магнітного поля відхиляються в ту ж сторону, що і дірки, а щільність електронного струму J відхиляється від напрямку електричного поля в протилежну сторону на кут (рис. 6.7).
При цьому сумарна щільність струму, якщо використовувати співвідношення (6.32), буде дорівнює:

Обчислення щільності електронного J і діркового J струмів проведемо для однорідного напівпровідника зі сферичними ізоенергетіческімі поверхнями при відсутності градієнта температури, що знаходиться в слабкому магнітному полі. Так як
f = а ?=- то для слабкого магнітного поля, коли«1(6.25) и (6.26) візьмуть вигляд

Знаходимо тепер електронну складову струму, використовуючи (6.91):

Якщо врахувати (6.40), (6.41), (6.42), то рівняння (6.93) запишеться у вигляді
Вводячи середнє значення часу релаксації для електронів

і середнє значення квадрата часу релаксації

а також враховуючи, що /отримуємо для щільності електронної складової струму:

де

За аналогією щільність діркової складової струму запишеться у вигляді

Де

Повна щільність струму

В (6.101) коефіцієнти і залежать від механізму розсіювання носіїв заряду, який визначає час релаксації т (к). . У разі пружного розсіяння, коли до k'= k і Е' = Е, для будь-якого механізму розсіювання ставлення

Позначаючи rn = r і враховуючи (6.102), будемо мати:

Припустимо, що щільність струму направлена ??вздовж осі х, тобто Jx = / і Jv = Jz = 0, а магнітне поле вздовж осі z, тобто Bz = В і Ву = Вх = 0 (рис. 6.7), при цьому рівність (6.103) розпадається на два рівняння:

Вирішуючи ці рівняння щодо ?, у разі слабкого магнітного поля отримуємо для'напряженності поля Холла:

де коефіцієнт Холла для напівпровідника з двома типами носіїв заряду

Для власного напівпровідника, у якого n=p=n

Так як завжди b =>1, то Ri <0.
Як бачимо, коефіцієнт Холла залежить від механізму розсіяння, що враховується співмножником r, який носить назву Холл-фактора. Визначимо r для різних механізмів розсіювання. При розсіянні на акустичних коливаннях грат час релаксації (5.96) з урахуванням Е = kTa одно:

на підставі (6.95), (6.96) і (6.98) знайдемо:

При розсіянні на іонах домішки, використовуючи співвідношення (5.70), отримуємо:

Оскільки розсіювання носіїв заряду залежить від температури, то при визначенні коефіцієнта Холла при низьких температурах, коли основну роль в рассеянііТіграют іони домішки, необхідно вважати r = 1,93. Для температур, при яких має місце розсіювання на акустичних фононах, r = З/8. У тому випадку, коли в процесі розсіяння одночасно беруть участь як коливання решітки, так ; і іони домішки, r має более'сложное вираз. На рис. 6.8 показана залежність r від ставлення питомого опору напівпровідника р при розсіюванні тільки на іонах приміси до повного опору р при розсіюванні на іонах і на фотонах.
Для електронного напівпровідника, у якого п»р, коефіцієнт Холла на підставі (6.107) має вигляд:

У той же час питома провідність такого напівпровідника, обумовлена ??дрейфовой рухливістю дорівнює а = епца. Отже,

Але за допомогою рівності

можна визначити має розмірність рухливості і внаслідок цього звану холлівською рухливістю. З (6.113) і (6.114) випливає, що

тобто холлівська рухливість, що визначає кут Холла, пропорційна дрейфовій рухливості.
У випадку, коли час релаксації = const, тобто не залежить від енергії,
r = 1, (6.116)
тому

Це має місце у металів і вироджених напівпровідників. У них коефіцієнт Холла R не залежить від механізму розсіювання.
Оскільки n і p є функціями температури, то R також залежить від температури. Як приклад на рис. 6.9 представлена ??температурна залежність коефіцієнта Холла для зразків антимонида індію n- і р-типу. Як видно, в області низьких температур концентрація електронів і дірок залишається постійною, що відповідає області виснаження домішки. В області власної електропровідності 1n | R | лінійно залежить від зворотної температури (криві 1 n, Зn і 6n). Так як у акцепторного напівпровідника R> 0, то зі зростанням температури R зменшується, проходить через нуль і стає негативним. Температуру, при якій R = 0, називають температурою інверсії. З кривих рис. 6.9 для зразків 2р, 4р, 5р і 7р випливає, що температура інверсії, так само як і температура переходу до власної електропровідності, тим вище, чим більше концентрація акцепторної домішки.
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1)Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теоретична фізика, т. VIII. Електродинаміка суцільних середовищ (М., Наука, 1982)с. 309.
2) Фізика і техніка напівпровідників, 1997, том 31, № 4
3) Велика радянська енциклопедія, том 28, третє видання (М., видавництво «Радянська енциклопедія», 1978) с.338-339.
4) К.В.Шалимова Фізика напівпровідників (М.: Энергоатомиздат, 1985. — 392 с., ил.)