1.Функції багатьох змінних. Графік функції двох змінних.
Величина z називається ф-цією двох змінних величин x,y, якщо кожній парі чисел, які можуть бути значеннями змінних x,y, відповідає одне або декілька визначених значень величини z. При цьому змінні x,y, назив аргументами.
Поняття ф-ції трьох і більше аргументів і її область визначення вводиться аналогічно ф-ції двох аргументів.
Ф-цією двох і більше аргументів можна задати таблично у вигляді просторової моделі .
Область визначення двох змінних плюс пари тих чисел, які можуть бути значеннями аргументів x,y, функції f(x,y,).
Графіком функції двох змінних z=f(x,y,) є деяка повехня S в прямокутній системі координат OXYZ; Проекція точки М поверхні S на площину XOYє зображеннями аргументів x,y, апліката z точки М відображає відповідне значення функції.
Які з величин є функціями n змінних? Вказати n.
А) Довжина кола l=2ПR – функція однієї змінної n=1.
Б) Об’єм конуса
V – двох змінних n=2.
В) Потенціальна енергія тіла.
u=u(u1,u2,u3) – багатьох змінних.
2. Границя функції двох змінних. Неперервність в точці і в області.
Поняття границі функції двох аргументів встановлюється так, як і для функції одного аргументу. Число l називається границею функції z=f(x,y,) в точці М0(а,в) якщо z прямує до l коли точка М(х,у) прямує до М0.
lim
?????0
f(x,y,)
=l або
lim
х>а
у>в
??
??,у
=l
Вважається, якщо ф-ція визначена у всіх точках в околі точки М0.
Визначення: число l називається границею функції f(x,y,) в точці М0(а,в), якщо значення різниці f(x,y,)- l залишається меншим ніж попередньо встановлене додатнє число Е у випадку коли відстань М0М=
(х???)
2
+(у?
??)
2
від точки М0(а,в) до точки М(х,у) менше за деяке додатне число Е .
Геометричний зміст.
Апліката поверхні z=f(x,y,) відрізняються від l менше ніж на Е як тільки проекція точки, яка лежить на поверхні, потрапляє в середину кола радіуса ?? з центром в точці М0(а,в)
А) Намалювати окіл точки М(3,2) при Е=1/2.
у
2 .
3 х
Б) Знайти границю ф-ції в точці за теоремою про арифметичні дії з границями:
lim
х,у
>
?1,0
??
2
+3у
у
2
=
lim
(х,у)>
1,0
??
2
+
lim
(х,у)>
1,0

lim
(х,у)>
1,0
у
2
=
1+0
0
= ?
Відповідь: ?
3. Часткові прирости. Частинні похідні, градієнт.
Нехай функція f кількох змінних визначена в точках (х0,у0,….z0) є Rn та (х,у,…z) є Rn. Тоді різниця ?х=х-х0, ?у = у-у0, ???=z-z0 – називають відповідно приростами відповідних змінних х,у,…z.
Якщо ?у = 0……..??? = 0, то різницю:
?х f(х0,у0,….z0)=f(x+?x0, у0,….z0)- f(х0,у0,….z0) – називають частинним приростом ф-ції f по змінній ху трчці (х0,у0,z0).
Аналогічно визначаються частинні прирости функції f в точці (х,у,z) по змінній у,….,z.
?у f(х0,у0,….z0),…., ??? f(х0,у0,….z0)
Частинною похідною по змінній х ф-ції в точці (х0,у0,….z0) називають число
f’(х0,у0,….z0)=
lim
?х>0
?х f(х0,у0,….z0)

=
??f(х0,у0,….z0)

.
Якщо частинні похідні позначають у будь-якій точці з області визначення ф-ції, то їх позначають так:
f’х, f’у,…., f’z або
????
????
,
????
??у
,…,
????
????
.
Градієнт – вектор визначений у кожній точці скалярного поля формулою.
gradf=
????
????
??
+
????
??у
??
+
????
????
??
У кожній точці скалярного поля вектор gradf напрямлений до нормалі до поверхні рівня , що проходить через дану точку М.
Знайти частковий приріст і похідну по змінній х за означенням, якщо z=x2+2xy
?х f(х,у)= ?х Z=((x+?х )y=х2+2х?х +?х 2+2ху+2?х у=х2+2?х (х+у)+ ?х2+2ху
f’х = Z’x+
lim
?х>0
?х Z

=
lim
?х>0
??
2
+2????+2?х (??+??)

+?х
2
=
lim
?х>0
(
??
2

+
2????

+2xy+?х)= 2(x+y).