1.Функції багатьох змінних. Графік функції двох змінних. Величина z називається ф-цією двох змінних величин x,y, якщо кожній парі чисел, які можуть бути значеннями змінних x,y, відповідає одне або декілька визначених значень величини z. При цьому змінні x,y, назив аргументами. Поняття ф-ції трьох і більше аргументів і її область визначення вводиться аналогічно ф-ції двох аргументів. Ф-цією двох і більше аргументів можна задати таблично у вигляді просторової моделі . Область визначення двох змінних плюс пари тих чисел, які можуть бути значеннями аргументів x,y, функції f(x,y,). Графіком функції двох змінних z=f(x,y,) є деяка повехня S в прямокутній системі координат OXYZ; Проекція точки М поверхні S на площину XOYє зображеннями аргументів x,y, апліката z точки М відображає відповідне значення функції. Які з величин є функціями n змінних? Вказати n. А) Довжина кола l=2ПR – функція однієї змінної n=1. Б) Об’єм конуса V – двох змінних n=2. В) Потенціальна енергія тіла. u=u(u1,u2,u3) – багатьох змінних. 2. Границя функції двох змінних. Неперервність в точці і в області. Поняття границі функції двох аргументів встановлюється так, як і для функції одного аргументу. Число l називається границею функції z=f(x,y,) в точці М0(а,в) якщо z прямує до l коли точка М(х,у) прямує до М0. lim ?????0 f(x,y,) =l або lim х>а у>в ?? ??,у =l Вважається, якщо ф-ція визначена у всіх точках в околі точки М0. Визначення: число l називається границею функції f(x,y,) в точці М0(а,в), якщо значення різниці f(x,y,)- l залишається меншим ніж попередньо встановлене додатнє число Е у випадку коли відстань М0М= (х???) 2 +(у? ??) 2 від точки М0(а,в) до точки М(х,у) менше за деяке додатне число Е . Геометричний зміст. Апліката поверхні z=f(x,y,) відрізняються від l менше ніж на Е як тільки проекція точки, яка лежить на поверхні, потрапляє в середину кола радіуса ?? з центром в точці М0(а,в) А) Намалювати окіл точки М(3,2) при Е=1/2. у 2 . 3 х Б) Знайти границю ф-ції в точці за теоремою про арифметичні дії з границями: lim х,у > ?1,0 ?? 2 +3у у 2 = lim (х,у)> 1,0 ?? 2 + lim (х,у)> 1,0 3у lim (х,у)> 1,0 у 2 = 1+0 0 = ? Відповідь: ? 3. Часткові прирости. Частинні похідні, градієнт. Нехай функція f кількох змінних визначена в точках (х0,у0,….z0) є Rn та (х,у,…z) є Rn. Тоді різниця ?х=х-х0, ?у = у-у0, ???=z-z0 – називають відповідно приростами відповідних змінних х,у,…z. Якщо ?у = 0……..??? = 0, то різницю: ?х f(х0,у0,….z0)=f(x+?x0, у0,….z0)- f(х0,у0,….z0) – називають частинним приростом ф-ції f по змінній ху трчці (х0,у0,z0). Аналогічно визначаються частинні прирости функції f в точці (х,у,z) по змінній у,….,z. ?у f(х0,у0,….z0),…., ??? f(х0,у0,….z0) Частинною похідною по змінній х ф-ції в точці (х0,у0,….z0) називають число f’(х0,у0,….z0)= lim ?х>0 ?х f(х0,у0,….z0) ?х = ??f(х0,у0,….z0) ?х . Якщо частинні похідні позначають у будь-якій точці з області визначення ф-ції, то їх позначають так: f’х, f’у,…., f’z або ???? ???? , ???? ??у ,…, ???? ???? . Градієнт – вектор визначений у кожній точці скалярного поля формулою. gradf= ???? ???? ?? + ???? ??у ?? + ???? ???? ?? У кожній точці скалярного поля вектор gradf напрямлений до нормалі до поверхні рівня , що проходить через дану точку М. Знайти частковий приріст і похідну по змінній х за означенням, якщо z=x2+2xy ?х f(х,у)= ?х Z=((x+?х )y=х2+2х?х +?х 2+2ху+2?х у=х2+2?х (х+у)+ ?х2+2ху f’х = Z’x+ lim ?х>0 ?х Z ?х = lim ?х>0 ?? 2 +2????+2?х (??+??) ?х +?х 2 = lim ?х>0 ( ?? 2 ?х + 2???? ?х +2xy+?х)= 2(x+y).